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3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式及其解法
目标定位 重点难点
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．
2．掌握图象法解一元二次不等式的方法．
3．培养数形结合、分类讨论的思想方法. 重点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．
难点：一元二次不等式的解法及应用.
1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解法
{x|x＜x1或x＞x2}
1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
2．不等式x2＋x－2≥0的解集是( )
A．[－2,1]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，－2]
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
【答案】D
3．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞)
4．判断下列不等式中哪些是一元二次不等式．
①x2＞0；②－x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④mx2－5y＜0(m为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.
【解析】①②是．③不是，因为x3的最高次数是3，不符合定义．④不是，当m＝0时，它是一元一次不等式，当m≠0，它含有两个未知数x，y，不符合定义．⑤不一定是，当a＝0时，它不符合一元二次不等式的定义；当a≠0时，是．
【例1】 解下列不等式．
(1)－x2＋5x－6＞0；(2)3x2＋5x－2＞0；
(3)3x2＋5x－2≤0；(4)9x2－6x＋1＞0；
(5)x2－4x＋5＞0.
【解题探究】本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
一元二次不等式的解法
【解析】(1)不等式可化为x2－5x＋6＜0.
方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.
由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x|2＜x＜3}．
(5)方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图④)．观察图象可得，不等式的解集为R.
【方法规律】通过上面例子，可知当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(a≠0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解；
(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；
(3)由图象得出不等式的解集．
不等式－x2＋3x－2≥0的解集为( )
A．(－∞，1]∪[2，＋∞) B．[1,2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1,2)
【答案】B
【解析】不等式－x2＋3x－2≥0可化为x2－3x＋2≤0，(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，∴不等式的解集为[1,2]．故选B．
【例2】 已知一元二次方程ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，求a，b的值．
【解题探究】由于一元二次不等式的解集是由一元二次方程的根结合二次函数的图象所得，所以可以知道－2和1是方程ax2＋bx＋1＝0的两个根．
一元二次不等式与一元二次方程的关系
【方法规律】由一元二次不等式的解法不难知道，一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系，这种关系体现了不同知识之间内在的联系．
设关于x的不等式(ax－1)(x＋1)＜0(a∈R)的解集为{x|－1＜x＜1}，则a的值是( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
【答案】D
【例3】 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
【解题探究】含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立，常有两种处理方法：一种是利用二次函数在区间上的最值来处理；另一种是先分离出参数，再去求函数的最值来处理．
一元二次不等式中的恒成立问题
【方法规律】1.一般地，若f(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立，求参数的取值范围问题，只要f(x)在x∈[a，b]上的最小值f(x)min≥0即可．同理，若f(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立，只要f(x)在x∈[a，b]上的最大值f(x)max≤0即可．
2．求二次函数f(x)在区间[a，b]上的最值，一般需要讨论对称轴与区间的三种关系，分别求解．
忽视二次项系数为0的情况而致错
【错因分析】错解忽视了k＝0时，kx2－6kx＋(k＋8)≥0也成立，考虑问题不全面导致错误．
1．解一元二次不等式时，必须注意二次项的系数的符号，当a＜0时，可以利用不等式的性质化为正数，然后再求解．
2．解不等式ax2＋bx＋c≥0与ax2＋bx＋c≤0时，要注意解集的端点．
3．如果一元二次不等式可以因式分解为(x－x1)·(x－x2)＞0或(x－x1)(x－x2)＜0的形式，则一元二次方程的两根为x1，x2，可以直接写出不等式的解集{x|x＜x1，或x＞x2}，或{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)．
【答案】A
4．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】(0,8)
【解析】不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，即Δ＝(－a)2－8a<0，∴0
第1课时 一元二次不等式及其解法
【基础练习】
1．集合A＝{x∈N|x2－x－2＜0}的真子集个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】∵集合A＝{x∈N|x2－x－2＜0}＝{x∈N|－1＜x＜2}＝{0,1}，∴集合A＝{x∈N|x2－x－2＜0}的真子集个数为22－1＝3.故选C．
2．不等式x2－2x－15≥0的解集为( )
A．{x|－3≤x≤5} B．{x|x≤－3或x≥5}
C．{x|－5≤x≤3} D．{x|x≤－5或x≥3}
【答案】B
【解析】∵x2－2x－15≥0，∴(x－5)(x＋3)≥0，∴x≥5或x≤－3，故不等式的解集是{x|x≤－3或x≥5}．故选B．
3．已知A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝( )
A．[－1,3] B．[－3,2]
C．[2,3] D．[1,3]
【答案】D
【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，则A∩B＝{x|1≤x≤3}＝[1,3]．故选D．
4．(2019年重庆校级月考)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集为( )
A． B．
C．{x|－3【答案】B
【解析】由题意知ax2－5x＋b＝0的两个根分别为－3,2且a<0，所以－3＋2＝，－3×2＝，解得a＝－5，b＝30.则所求不等式可化为30x2－5x－5>0，即(2x－1)(3x＋1)>0，解得x<－或x>.故选B．
5．关于x的二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则a＋b的值为( )
A．－6 B．6
C．－5 D．5
【答案】C
【解析】∵二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，∴－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的两个实数根且a＜0.∴解得 ∴a＋b＝－5.故选C．
6．不等式x2＋x－2＜0的解集为________．
【答案】{x|－2＜x＜1}
【解析】由x2＋x－2＜0，得(x＋2)(x－1)＜0，∴－2＜x＜1，故原不等式的解集为{x|－2＜x＜1}．
7．已知不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，则实数a＝________.
【答案】－
【解析】∵不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，∴3,4是方程ax2＋bx－1＝0的两个实根且a＜0.∴3×4＝－，解得a＝－.
8．若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是，求不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集．
【解析】由已知条件可知a＜0且，2是方程ax2＋5x－2＝0的两个根，
由根与系数的关系得解得a＝－2.
所以ax2－5x＋a2－1＞0化为2x2＋5x－3＜0，
即(2x－1)(x＋3)＜0.
解得－3＜x＜，
所以不等式的解集为.
9．已知f(x)＝x2－x＋2.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a＞0，解关于x的不等式f(x)≤0.
【解析】(1)当a＝1时，有不等式f(x)＝x2－3x＋2≤0，
∴(x－1)(x－2)≤0.
∴不等式的解集为x∈{x|1≤x≤2}．
(2)f(x)≤0，即(x－a)≤0.
当0＜a＜时，＞a，不等式的解集为；
当a＞时，＜a，不等式的解集为；
当a＝时，不等式的解集为{}．
【能力提升】
10．产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
【答案】C
【解析】由题设，产量x台时，总售价为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，解之得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C．
11．关于x的一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x>4或x<－4}，则关于x的不等式f(x2)>0的解集为( )
A．{x|02}
C．{x|－4【答案】D
【解析】f(x)<0的解集为{x|x>4或x<－4}，则f(x)>0的解集为{x|－40，可得－412．若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．
【答案】[－4,3]
【解析】原不等式即(x－a)(x－1)≤0.当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即113．已知不等式mx2－2x－m＋1＜0.
(1)是否存在实数m，使得不等式对所有实数x恒成立？若存在，求出m的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
【解析】(1)当m＝0时，1－2x＜0，即当x＞时不等式恒成立，不满足条件．
当m≠0时，设f(x)＝mx2－2x－m＋1，由于f(x)＜0恒成立，则有解得m∈?.
综上可知，不存在这样的m使不等式恒成立．
(2)由题意－2≤m≤2，设g(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则由题意可得g(m)＜0，故有即解得＜x＜，
所以x的取值范围为.
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3.2 一元二次不等式及其解法
第2课时 一元二次不等式的解法的应用
目标定位 重点难点
1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．
2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．
3．掌握含参数一元二次不等式有解的讨论方法. 重点：会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．
难点：含参一元二次不等式的应用.
2．含参数一元二次不等式有解的讨论方法
(1)当二次项系数不确定时，要分二次项系数______、________、________三种情况进行讨论．
(2)判别式不确定时，要分判别式大于零、等于零、小于零三种情况进行讨论．
(3)判别式大于零时，只需讨论两根大小．
等于零
大于零
小于零
【答案】B
【答案】B
4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的取值范围为________．
【答案】(－1,0)
【解析】已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意x∈R恒成立，∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0，解得－1＜a＜0.
【解题探究】将分式不等式转化为整式不等式求解．
分式不等式的解法
【方法规律】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
【例2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．
【解题探究】由于a的取值不同会导致不等式的解集变化，故应依据参数a的取值进行分类讨论．
【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，则(ax－2)(x＋1)≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
含参数一元二次不等式的解法
【方法规律】解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次：第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层次是根的大小的讨论．
解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0.
【解析】方程x2－ax－2a2＝0的判别式
Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，
得方程两根x1＝2a，x2＝－a.
①若a＞0，则－a＜x＜2a，
此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；
②若a＜0，则2a＜x＜－a，
此时不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}；
③若a＝0，则原不等式即为x2＜0，
此时解集为?.
综上所述，原不等式的解集为
当a＞0时，{x|－a＜x＜2a}；
当a＜0时，{x|2a＜x＜－a}；
当a＝0时，?.
【示例】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
一元二次不等式的实际应用
【分析】本题的考点是根据实际问题建立函数模型，主要考查二次函数模型，关键是从实际问题中抽象出函数模型，考查学生的分析解决问题的能力．
【类题通法】用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
解答含参数的不等式时，一般需对参数进行讨论，常见的有以下几种情况：
(1)二次项系数含参数时，根据二次不等式化标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数符号进行讨论；
(2)解“Δ”的过程中，若“Δ”表达式含有参数且参数的取值影响“Δ”符号，这时根据“Δ”符号确定的需要，要对参数进行讨论；
(3)方程的两根表达式中如果有参数，必须对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论．
总之，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ”；③根．但未必在这三个地方都进行讨论，是否讨论要根据需要而定．
3．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是( )
A．{x|x＞5a或x＜－a} B．{x|x＞－a或x＜5a}
C．{x|5a＜x＜－a} D．{x|－a＜x＜5a}
【答案】B
【解析】化为(x＋a)(x－5a)＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a，∵a＜0，∴x1＞x2.∴x＜5a或x＞－a.
4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)
第2课时 一元二次不等式的解法的应用
【基础练习】
1．若不等式kx2＋2kx＋2＜0的解集为空集，则实数k的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2)
C．[0,2] D．(2，＋∞)
【答案】C
【解析】当k＝0时，满足题意；当k＞0时，Δ＝4k2－8k≤0，解得0＜k≤2.∴实数k的取值范围是[0,2]．故选C．
2．关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)且x2－x1＝12，则a＝( )
A．4 B．3
C．3或4 D．6
【答案】A
【解析】∵x2－(a＋a2)x＋a3＜0?(x－a)(x－a2)＜0的解集为(x1，x2)，a＞0，∴当0＜a＜1时，x2＝a，x1＝a2，x2－x1＝a－a2＝12，方程无解；当a＞1时，x1＝a，x2＝a2，x2－x1＝a2－a＝12，解得a＝4，a＝－3(舍去)．故选A．
3．(2019年广东佛山期末)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价每提高1元，销售量就要减少10件．要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．10元到14元之间 D．12元到16元之间
【答案】D
【解析】设销售价定为每件x元，利润为y元，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]．依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，即x2－28x＋192<0，解得124．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有( )
A．m≤－3 B．m≥－3
C．－3≤m＜0 D．m≥－4
【答案】A
【解析】令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，因为f(x)在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，f(x)取最小值－3.所以m≤－3.
5．(2019年山东济南模拟)若关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集为________．
【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【解析】因为关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，所以a>0，且＝1，即a＝b.所以关于x的不等式>0可化为>0，其解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
6．(2017年辽宁抚顺期末)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】设函数f(x)＝(a2－1)x2－(a－1)x－1.由题设条件关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R，可得对任意的x∈R，都有f(x)＜0.又当a≠1时，函数f(x)是关于x的抛物线，故抛物线必开口向下，且与x轴无交点，故需满足解得－＜a＜1.当a＝1时，f(x)＝－1＜0恒成立．综上，a的取值范围为.
7．解下列不等式：
(1)＞0；
(2)＜0.
【解析】(1)原不等式等价于(2x－1)(3x＋1)＞0，
∴x＜－或x＞.
故原不等式的解集为.
(2)＜0?ax(x＋1)＜0.
当a＞0时，ax(x＋1)＜0?x(x＋1)＜0?－1＜x＜0，
∴解集为{x|－1＜x＜0}；
当a＝0时，原不等式的解集为?；
当a＜0时，ax(x＋1)＜0?x(x＋1)＞0?x＞0或x＜－1，∴解集为{x|x＞0或x＜－1}．
8．当a为何值时，不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1＜0的解集是R?
【解析】由a2－1＝0，得a＝±1.
当a＝1时，原不等式化为－1＜0恒成立，
∴当a＝1时，满足题意．
当a＝－1时，原不等式化为－2x－1＜0，
∴x＞－，∴当a＝－1时，不满足题意，故a≠－1.
当a≠±1时，由题意，得
解得－＜a＜1.
综上可知，实数a的取值范围是.
【能力提升】
9．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
【答案】D
【解析】a－2＝0，即a＝2时，－4＜0，恒成立；a－2≠0时，解得－2＜a＜2，∴－2＜a≤2.故选D．
10．定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去左端点的值，区间[a，b]，[a，b)，(a，b]，(a，b)的区间长度都是b－a.若关于x的不等式x2－x－6a<0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长度，则实数a的取值范围是( )
A． B．∪[1，＋∞)
C．(0,1] D．[－24,1)
【答案】A
【解析】∵关于x的不等式x2－x－6a<0有解，∴Δ＝1＋24a>0，即a>－.设方程x2－x－6a＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝1，x1x2＝－6a.又|x1－x2|≤5，即＝＝≤5，解得a≤1.故选A．
11．已知函数y＝(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是________．
【答案】[1,19)
【解析】(1)当m2＋4m－5＝0时，m＝－5或m＝1.若m＝－5，则函数化为y＝24x＋3，对任意实数x不恒大于0.若m＝1，则y＝3＞0恒成立．
(2)当m2＋4m－5≠0时，据题意应有
∴
∴1＜m＜19.
综上可知，1≤m＜19.
12．已知关于x的不等式ax2－3x＋2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式＞0(c为常数)．
【解析】(1)由题意知1，b为关于x的方程ax2－3x＋2＝0的两根且a＞0，
则∴a＝1，b＝2.
(2)不等式等价于(x－c)(x－2)＞0，
当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；
当c＝2时解集为{x|x≠2，x∈R}；
当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．
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