(共34张PPT)
目标定位 重点难点
1.了解基本不等式的代数和几何背景．
2．会用基本不等式进行代数式大小的比较及求解简单的最值问题．
3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
4．能够运用基本不等式解决简单的实际应用问题. 重点：会用基本不等式进行代数式大小的比较及求解简单的最值问题．
难点：用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
≥
a＝b
≤
a＝b
2．应用基本不等式求最值
已知x，y都为正数，则
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当______时，积xy取得最大值________．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当______时，和x＋y取得最小值________．
x＝y
x＝y
利用基本不等式求函数的最值
【规律总结】本题充分考查了基本不等式这一基础知识的应用：两个正数，和为定值时，积有最大值；积为定值时，和有最小值．
基本不等式的灵活运用
【方法规律】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：一是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．二是条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
【例3】 为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为40 000 m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽3 m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．
利用基本不等式解决实际问题
【解题探究】设矩形鱼塘长为a m，宽为b m，面积ab＝40 000 m2，则所选农田的长为(a＋6)m，宽为(b＋6)m，农田面积为(a＋6)·(b＋6)＝40 036＋6(a＋b)(m2)，由此利用基本不等式能求出农田的最小面积．
【规律方法】在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)根据实际背景写出答案．
【答案】B
基本不等式的三个条件不能忽视
【错因分析】解答本题易两次利用基本不等式，但它们成立的条件不同，一个是a＝b，另一个是b＝4a，这显然是不能同时成立的，故不正确．
【警示】1.使用基本不等式求最值，容易对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
2．在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足“正”“定”“等”的条件．
【答案】D
【解析】a＝b时，A不成立；a，b＜0时，B，C都不成立，故选D．
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】D
3．(2019年江苏苏州模拟)要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的左右两侧各留出宽为2米的小路，在鱼池的前后两侧各留出宽为1米的小路，则鱼池与路的占地总面积的最小值是________平方米．
【答案】968
3.4 基本不等式
【基础练习】
1．下列函数中，最小值为2的是( )
A．y＝＋ B．y＝lg x＋(1＜x＜10)
C．y＝3x＋3－x(x∈R) D．y＝sin x＋
【答案】C
【解析】＋≥2，当且仅当＝，即x2＋2＝1时，等号成立，但x2＋2＝1显然不成立，∴A不正确．lg x＋≥2，当且仅当lg x＝，即x＝10时，等号成立，而1＜x＜10，故等号不成立，∴B不正确.3x＋3－x≥2，当且仅当3x＝3－x，即x＝0时取等号，∴C正确．sin x＋≥2，当且仅当sin x＝1时取等号，而0＜x＜，等号不成立，∴D不正确．
2．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D．
【答案】B
【解析】根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥4.当a＝b＝时“＝”成立．故选B．
3．已知x＋3y＝2，则3x＋27y的最小值为( )
A．2 B．4
C．3 D．6
【答案】D
【解析】∵x＋3y＝2，∴3x＋27y≥2＝2＝2＝6，当且仅当x＝3y＝1时等号成立．故选D．
4.(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B．
C．3 D．
【答案】B
【解析】因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．
5．已知t＞0，则函数y＝的最小值是________．
【答案】－2
【解析】∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．
6．设a，b都是正数且满足＋＝1，则使a＋b＞c恒成立的实数c的取值范围是________．
【答案】(－∞，9)
【解析】∵a，b均为正数，＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9.当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时取等号．∴a＋b＞c恒成立的实数c的取值范围是(－∞，9)．
7．已知x＞0，y＞0.
(1)若2x＋5y＝20，求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)若lg x＋lg y＝2，求5x＋2y的最小值．
【解析】(1)∵x＞0，y＞0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·.
又2x＋5y＝20，∴20≥2·，
∴≤，∴xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.
这样u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，umax＝1.
(2)由已知，得xy＝100，
5x＋2y≥2＝2＝20.
∴当且仅当5x＝2y＝10，即当x＝2，y＝5时，等号成立．
∴5x＋2y的最小值为20.
8．已知直角三角形两条直角边长的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．
【解析】设一条直角边长为x cm，(0＜x＜10)，则另一条直角边长为(10－x)cm，
面积S＝x(10－x)≤2＝(cm2)，
等号在x＝10－x即x＝5时成立，
∴面积最大时斜边长L＝＝5(cm)．
【能力提升】
9．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1
C． D．3
【答案】B
【解析】＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立．故所求的最大值为1.
10．若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为( )
A．1 B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得a≥恒成立．由于＝≤(当且仅当x＝1时，取等号)，故的最大值为，∴a≥，即a得最小值为.故选C．
11．(2019年山东潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则的最小值是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】A
【解析】∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，∴d＝＝，∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1.∴＝＝2a＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当2a＝，即a＝时等号成立．∴的最小值为4.
12．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以＝·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，所以的最小值为9.
13．(2019年黑龙江齐齐哈尔校级月考)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
【解析】(1)设该厂应x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，
则面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝＋1 800×6＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2)∵不少于210吨，每天用面粉6吨，∴至少每隔35天购买一次面粉．
设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，
则y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝＋9x＋9 729(x≥35)．
令f(x)＝x＋(x≥35)，x2>x1≥35，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x2>x1≥35，∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)则当x＝35时，f(x)有最小值，此时y2<10 989.
∴该厂应接受此优惠条件．
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