第一章 计数原理、概率、随机变量及分布列 同步测试题（含答案解析）

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计数原理、概率、随机变量及分布列 测试题
1.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A，B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为(　　)
A.12 B.24
C.36 D.48
2.在二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式的第4项为(　　)
A.7x6 B.－7x
C.x D.－x7
3.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)
A.0.6 B.0.5
C.0.4 D.0.3
4.在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
6.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)
A.－40 B.－20
C.20 D.40
7.已知随机变量X服从二项分布B，则E(3X＋1)＝(　　)
A.3 B.4
C.6 D.7
8.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)＝sin x，x∈(0，π)，及直线x＝a，a∈(0，π)与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是(　　)
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A.π B.π
C.π D.π
9.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为，他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为________.
10.若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________(用数字作答).
11.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为Y，若Y的数学期望E(Y)>，则p的取值范围是________.

12.有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的概率分布列.



13.某省会城市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量 [0，1 000] (1 000，3 000] (3 000，＋∞)
节数 6 18 12
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000，3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列与数学期望.



14.某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利润200元.
(1)若该商场周初购进20台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)；
(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n(单位：台)，整理得下表：
周需求量n 18 19 20 21 22
频数 1 2 3 3 1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调，X表示当周的利润(单位：元)，求X的分布列及数学期望.












答案解析
1.解析　因为A，B两型号的种子试种方法数为2×2＝4，所以一共有4A＝24(种)试种方法.
答案　B
2.解析　由二项式系数的性质，知n＝8，
则Tr＋1＝C()8－r＝Cx，
∴展开式中第4项T4＝Cx＝－7x.
答案　B
3.解析　2名男同学和3名女同学，共5名同学，从中取出2人，有C＝10种情况，2人都是女同学的情况有C＝3种，故选中的2人都是女同学的概率为＝0.3.
答案　D
4.解析　由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，
解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”发生的
概率为＝.
答案　A
5.解析　袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率p1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是p＝C＝.
答案　D
6.解析　令x＝1，则(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.
∴原式＝.
又展开式的通项Tr＋1＝(－1)rC·25－rx5－2r，
令5－2r＝1，得r＝2，对应的常数(－1)2C·23x·＝80，
令5－2r＝－1，得r＝3，对应的常数(－1)3C·22·x＝－40，
故所求展开式中常数项为80－40＝40.
答案　D
7.解析　∵随机变量X服从二项分布B，
∴E(X)＝4×＝2，则E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝7.
答案　D
8.解析　S阴影＝sin xdx＝(－cos x)＝1－cos a.
又S矩形＝a·＝6.
由几何概型p＝＝＝，
∴cos a＝－，由a∈(0，π)，得a＝π.
答案　B
9.解析　设该篮球运动员投进第n－1(n≥2，n∈N*)个球的概率为pn－1，第n－1个球投不进的概率为1－pn－1，则他投进第n个球的概率为pn＝pn－1＋(1－pn－1)＝＋pn－1，∴pn－＝.
∴pn－＝·＝×＝.
∴pn＝＋(n∈N*)，∴p2＝.
答案　
10.解析　f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tk＋1＝C(1＋x)5－k·(－1)k，令5－k＝3，则k＝2.
所以T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.
答案　10
11.解析　依题意，P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，
P(Y＝3)＝(1－p)2，
则E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>，
解之得p>或p<，
又p∈(0，1)，所以p∈.
答案　
12.解　(1)因为当X＝2时，有C种坐法，
所以C＝6，即＝6，
n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，
由题意知X的可能取值是0，2，3，4，
所以P(X＝0)＝eq \f(1,A)＝，
P(X＝2)＝eq \f(C×1,A)＝＝，
P(X＝3)＝eq \f(C×2,A)＝＝，
P(X＝4)＝1－－－＝，
所以X的概率分布列为：
X 0 2 3 4
P
13.解　(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6＝2.
(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0，1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000，3 000]内的有3节，点击量在(3 000，＋∞)内的有2节，故X的可能取值为0，20，40，60.
P(X＝0)＝eq \f(C,C)＝，
P(X＝20)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(X＝40)＝eq \f(C＋C,C)＝＝，
P(X＝60)＝eq \f(C,C)＝＝，
则X的分布列为
X 0 20 40 60
P
即E(X)＝0×＋20×＋40×＋60×＝.
14.解　(1)当n≥20时，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6 000；
当n≤19时，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2 000，
∴f(n)＝(n∈N).
(2)由(1)得f(18)＝8 800，f(19)＝9 400，
f(20)＝10 000，f(21)＝10 200，f(22)＝10 400，
∴P(X＝8 800)＝0.1，P(X＝9 400)＝0.2，P(X＝10 000)＝0.3，P(X＝10 200)＝0.3，P(X＝10 400)＝0.1，
X的分布列为
X 8 800 9 400 10 000 10 200 10 400
P 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1
∴数学期望E(X)＝8 800×0.1＋9 400×0.2＋10 000×0.3＋10 200×0.3＋10 400×0.1＝9 860.




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