(共31张PPT)
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
第1课时 正弦定理
目标定位 重点难点
1.了解正弦定理的推导过程．
2．掌握正弦定理并能解一些简单的三角形度量问题. 重点：正弦定理的推导及其应用．
难点：正弦定理的应用.
1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等，即_____________________．
2．解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的__________，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做___________．
正弦
元素
解三角形
3．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是( )
A．a＞bsin A B．a＝bsin A
C．a＜bsin A D．a≥bsin A
【答案】D
4．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【例1】 在△ABC中，已知a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c.
【解题探究】解答本题先用内角和定理求出角B，再由正弦定理求出b和c.
已知两角及一边解三角形
【方法规律】如果已知三角形的两角及一边，由三角形内角和定理可以求出另一个角，再由正弦定理求出另两边．
注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的转化，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝30°＋45°)，再根据上述思路求解．
【解题探究】由正弦定理可求出sin B，从而得出B的大小．
【答案】C
已知两边及一边的对角解三角形
【方法规律】已知三角形两边和其中一边的对角，解斜三角形问题，首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论，若有解，则是一解或是两解．
【例3】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝5，b＝2，B＝120°，求解三角形．
【解题探究】一般来说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，应用正弦定理解三角形．在三角形中，“大边对大角”“内角和等于180°”也可能用得上．
利用正弦定理判断三角形的解的情况
【温馨提示】已知三角形的两边和其中一边的对角时，这个三角形是不确定的，因此解三角形时，可能会出现一解、两解、无解的情况．判断三角形解的个数问题，方法较多，在解题时，要灵活应用．
在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．a＝7，b＝14，A＝30°
B．a＝30，b＝25，A＝150°
C．a＝6，b＝9，A＝45°
D．a＝30，b＝40，A＝30°
【答案】D
涉及两边及一边对角容易漏解出现错误
1．利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题
(1)已知任意两角与一边，求其他两边和一角；
(2)已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)；
(3)已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数的方法：应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
2．三角形解的情况分析
对于任意给定的a，b，A的值，能否确定一个三角形？
(1)A为锐角时：
(2)当A为直角或钝角时：
4．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
第1课时 正弦定理（一）
【基础练习】
1．(2019年湖南衡阳期末)若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A． B．
C．2 D．4
【答案】C
【解析】在△ABC中，由＝，得b＝＝＝＝2.
2．在△ABC中，若a＝5，b＝3，c＝7，则sin A∶sin B的值是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在△ABC中，由正弦定理得＝＝.
3．在△ABC中，若＝，则∠B的值为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】B
【解析】∵＝＝，∴cos B＝sin B，从而tan B＝1.又0°＜B＜180°，∴B＝45°.
4．以下关于正弦定理的叙述或变形中，错误的是( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C．在△ABC中，＝
D．在△ABC中，正弦值较大的角所对的边也较大
【答案】B
【解析】对于B，若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，∴B选项错误．
5．在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b且A＝2B，sin B＝，则的值是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵A＝2B，sin B＝，∴cos B＝＝.由正弦定理得＝＝＝＝2cos B＝，故选D．
6．若△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC的值为________．
【答案】
【解析】∵AC＝，A＝45°，C＝75°，B＝180°－A－C＝60°，∴由正弦定理＝，可得BC＝＝＝.
7．根据下列条件，解三角形．
(1)△ABC中，已知b＝，B＝60°，c＝1；
(2)△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2.
【解析】(1)由正弦定理，得sin C＝·sin B＝×＝.∴C＝30°或C＝150°.
∵A＋B＋C＝180°，故C＝150°不合题意，舍去．
∴A＝90°，a＝＝2.
(2)由正弦定理，得sin C＝＝＝.
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1.
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且C＝2A，tan A＝，a＋c＝5.
(1)求sin A，cos A；
(2)求b.
【解析】(1)∵tan A＝＝，且sin2A＋cos2A＝1，
∴sin A＝，cos A＝.
(2)＝＝＝＝，
又a＋c＝5，∴a＝2，c＝3，
sin C＝2sin Acos A＝，cos C＝2cos2A－1＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又＝，∴b＝＝.
【能力提升】
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B＝( )
A．－ B．
C．－1 D．1
【答案】D
【解析】∵acos A＝bsin B，∴sin Acos A＝sin2B＝1－cos2B．∴sin Acos A＋cos2B＝1.
10．设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】C
【解析】∵k1＝－，k2＝，∴k1·k2＝－1.∴两直线垂直．
11．(2019年云南昆明模拟)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若该三角形有两个解，则x的取值范围是________．
【答案】(2,2)
【解析】已知a＝x，b＝2，B＝45°，若该三角形有两个解，则asin B
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3，sin B＝cos A＝，B为钝角．
(1)求a的值；
(2)求cos C的值．
【解析】(1)在△ABC中，∵cos A＝，
∴sin A＝＝＝.
由＝，得a＝＝＝3.
(2)∵B为钝角，
∴cos B＝－＝－＝－.
又sin B＝cos A＝，sin A＝，
∴cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos A·cos B＋sin Asin B＝－×＋×＝.
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(共27张PPT)
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
第2课时 正弦定理
目标定位 重点难点
1.掌握三角形面积的求解公式．
2．灵活运用正弦定理解三角形. 重点：运用正弦定理解三角形．
难点：三角形面积的求解公式.
sin A∶sin B∶sin C
【解题探究】本题由已知条件可求出边a，c的关系，再利用三角形面积公式求解．
运用正弦定理求有关三角形的面积问题
【温馨提示】三角形的面积公式在求解与三角形面积有关的问题中的作用是非常重要的，要熟练掌握．
【例2】 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
【解题探究】观察条件等式的特点，为边角关系，首先应用正弦定理将边化为角，再利用三角公式求解，亦可应用正弦定理将角化为边的关系进行整理．
判断三角形的形状
【温馨提示】已知三角形中的边和角的“混合”关系等式，判断三角形的形状时，有两种方法：
(1)化边的关系为角的关系，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；
(2)化角的关系为边的关系，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式．
忽视三角形中角的限制导致出错
【错解】由已知得(a2＋b2)·(sin Acos B－cos Asin B)＝(a2－b2)·(sin Acos B＋cos Asin B)，
化简得a2cos Asin B＝b2sin Acos B，
由正弦定理得sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
即sin Acos A＝sin Bcos B，所以sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B，即A＝B，故三角形是等腰三角形．
1．已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的面积，解题的一般方法是利用正弦定理求出另一条边的对角，然后再用面积公式求解．
2．已知三角形中的边和角的“混合”关系等式，判断三角形的形状时，有两种方法：
(1)化边的关系为角的关系；
(2)化角的关系为边的关系．
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
3．已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边长为__________．
【答案】1
第2课时 正弦定理（二）
【基础练习】
1．(2019年辽宁大连双基训练)在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理知sin A＝sin C?a＝c，故△ABC为等腰三角形．
2．已知△ABC的面积为4且a＝4，b＝，则sin C＝( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知，得4＝×4××sin C，∴sin C＝.
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2
C．4 D．
【答案】C
【解析】∵cos C＝，∴sin C＝＝.又∵a＝3，b＝2，∴S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4.故选C．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，∠B＝45°，△ABC的面积S＝2，则c＝______.
【答案】4
【解析】∵a＝1，∠B＝45°，根据三角形的面积公式可得S＝acsin B＝×1×c＝2，∴c＝4.
5．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大的角度数为________．
【答案】75°
【解析】设C为最大角，则A为最小角，A＋C＝120°，∴＝＝＝＝·＋＝＋.∴＝1.∴tan A＝1.∴A＝45°，C＝75°.
6．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且asin C＝ccos A．
(1)求角A；
(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a.
【解析】(1)由asin C＝ccos A及正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos A．
∵sin C>0，∴上式可化为tan A＝，∴A＝.
(2)由S△ABC＝得bcsin A＝，
将b＝2，A＝代入，解得c＝2.
∴△ABC为正三角形，∴a＝2.
7．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
【解析】∵A，B，C是三角形的内角，∴A＝π－(B＋C)．
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C．
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，∴sin(B－C)＝0.
又0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜B－C＜π，∴B＝C．
又sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∴△ABC是等腰直角三角形．
8．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acos B＝1，bsin A＝，A－B＝.
(1)求a的值；
(2)求tan A的值．
【解析】(1)由正弦定理知，bsin A＝asin B＝，
又acos B＝1，
∴(asin B)2＋(acos B)2＝3.
∵sin2B＋cos2B＝1，∴a＝(舍去负值)．
(2)＝，即tan B＝，
∵A－B＝，∴A＝B＋.
∴tan A＝tan＝＝＝－3－2.
【能力提升】
9．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A． B．(10，＋∞)
C． D．(0,10)
【答案】C
【解析】∵在△ABC中，sin A＝，a＝10，∴由正弦定理＝，得c＝＝＝sin C，∵0＜sin C≤1，∴c的取值范围是.故选C．
10．在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝________.
【答案】1
【解析】在△ABC中，由正弦定理，得＝，解得sin B＝，因为b＜c，故角B为锐角，所以B＝，则A＝，即a＝b＝1.
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2A＋＝2cos A．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．
【解析】(1)2cos2A＋＝2cos A，
即4cos2A－4cos A＋1＝0，
∴(2cos A－1)2＝0，cos A＝.
∵0＜A＜π，∴A＝.
(2)∵a＝1，
∴根据正弦定理＝＝，得b＝sin B，c＝sin C．
∴l＝1＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C)．
∵A＝，∴B＋C＝.
∴l＝1＋＝1＋2sin.∵0＜B＜，∴l∈(2,3]．
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