(共35张PPT)
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理
目标定位 重点难点
1.了解余弦定理与勾股定理的区别与联系．
2．理解余弦定理的推导过程．
3．掌握余弦定理及其变式，用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 重点：掌握余弦定理的两种表示形式及其推导过程．
难点：利用余弦定理解决具体问题.
1．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的____的____减去这两边与它们的夹角的余弦的____的两倍，即
a2＝__________________，
b2＝__________________，
c2＝___________________.
平方
和
积
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
2．从余弦定理，可以得到它的推论：
cos A＝__________，
cos B＝__________，
cos C＝__________.
3．余弦定理与勾股定理
(1)若一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，则第三边所对的角是______．
(2)若一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，则第三边所对的角是______．
(3)若一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是______．
锐角
钝角
直角
【答案】C
【答案】D
3．已知△ABC三边长分别为a，b，c且a2＋b2－c2＝ab，则∠C＝________.
【答案】60°
【解题探究】已知两边及其中一边的对角，先由余弦定理列方程求c，然后由余弦定理的推论求A，C．
已知两边和一角解三角形
【方法规律】已知两边及一角解三角形的方法：
(1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解；
(2)当已知两边及其一边的对角时，可用正弦定理求解，也可用余弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定理求解相对简便．
已知三边解三角形
【方法规律】用正弦定理求角时，要注意根据大边对大角的原理，确定角的大小，以防增解或漏解．
【例3】 在△ABC中，已知a＝2bcos C，那么这个三角形一定是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【解题探究】利用余弦定理将已知等式化为边的关系．
【答案】C
判断三角形的形状
【方法规律】已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形方法，当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形等等．
正弦、余弦定理的综合应用
【点评】三角形中的三角变换常用到公式：sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C，tan (A＋B)＝－tan C．另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式，常考虑对其实施“边化角”或“角化边”．
由三角形已知的边和角求未知的边和角的过程叫解三角形．解三角形可以分成以下四种类型：
(1)已知两角及一边，解三角形(先用正弦定理求出一边，再求其余边和角)；
(2)已知两边及一边的对角，解三角形(先用正弦定理求出另一边的对角．再用正弦定理或余弦定理求第三边)；
(3)已知两边及其夹角，解三角形(先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求出另两角)；
(4)已知三边，解三角形(先用余弦定理的推论，求出一角，再用正弦定理求另外的角)．
1．在△ABC中，若a＜b＜c且c2＜a2＋b2，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
【答案】B
【解析】∵c2＜a2＋b2，∴∠C为锐角．∵a＜b＜c，∴∠C为最大角．∴△ABC为锐角三角形．
4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
【答案】A
1.1.2 余弦定理
【基础练习】
1．在△ABC中，a2等于( )
A．a2＋b2－2abcos C B．b2＋c2－2bcsin C
C．a2＋c2－2accos B D．b2＋c2－2bccos A
【答案】D
【解析】利用余弦定理的定义判断即可．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8，则△ABC的面积等于( )
A．2 B．4
C．4 D．8
【答案】A
【解析】∵b2＋c2＝a2＋bc，可得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝，∴S△ABC＝bcsin A＝×8×＝2.故选A．
3．(2019年山西太原期末)如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3，BD＝5，sin∠ABC＝，则CD的长度等于( )
A．4 B．5
C．4 D．5
【答案】A
【解析】由题知sin∠ABC＝＝sin＝cos∠CBD，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝27＋25－2×3×5×＝16.∴CD＝4.
4．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
【答案】0
【解析】∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2ac·cos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
5．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为________．
【答案】
【解析】∵A＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b，c.又b＋c＝9，bc＝8，∴BC2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A＝92－2×8－2×8×cos 60°＝57，∴BC＝.
6．在△ABC中，S△ABC＝15，a＋b＋c＝30，A＋C＝，求三角形各边边长．
【解析】∵A＋C＝，∴＝180°，B＝120°.
由S△ABC＝acsin B＝ac＝15，得ac＝60，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos 120°)＝(30－b)2－60，得b＝14，∴a＋c＝16.
∴a，c是方程x2－16x＋60＝0的两个根．
∴或
∴该三角形各边长为a＝6，b＝14，c＝10或a＝10，b＝14，c＝6.
7．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝5.
(1)若∠A＝60°，求cos B的值；
(2)若cos (A－B)＝，点D在边BC上，满足DB＝DA，求CD的长度．
【解析】(1)由正弦定理知＝，即＝，
解得sin B＝.
∵AC∴∠B为锐角．
∴cos B＝＝.
(2)∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠B．
∴cos ∠CAD＝cos (A－B)＝.
在△CAD中，设AD＝x，则CD＝5－x.
由余弦定理得(5－x)2＝42＋x2－2×4×x×，
解得x＝3，则AD＝3，CD＝2.
8．在△ABC中，A＝30°，BC＝2，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD＝2，△BCD的面积为4.
(1)求cos∠BCD的值；
(2)求边AC的长．
【解析】(1)∵BC＝2，CD＝2，
则S△BCD＝BC·CD·sin ∠BCD＝4，
∴sin ∠BCD＝.
∴cos ∠BCD＝.
(2)在△BCD中，CD＝2，BC＝2，cos ∠BCD＝，
由余弦定理得DB2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cos ∠BCD＝16，即DB＝4.
∵DB2＋CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，
即△ACD为直角三角形，
∵A＝30°，∴AC＝2CD＝4.
【能力提升】
9．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，又b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c.∵B＝60°，∴A＝C＝60°.故△ABC是等边三角形．
10．在△ABC中，有下列关系式：
①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；
③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin C．
一定成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos Csin A＋cos Asin C，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C．
11．已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为________．
【答案】1
【解析】如图，AB＝1，BD＝1，BC＝，设AD＝DC＝x，在△ABD中，cos ∠ADB＝＝，在△BDC中，cos ∠BDC＝＝，∵∠ADB与∠BDC互补，∴cos ∠ADB＝－cos ∠BDC，∴＝－，∴x＝1，∴∠A＝60°，由＝2R得R＝1.
12．已知△ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c.若csin A＝acos C．
(1)求角C；
(2)若c＝且sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，求△ABC的面积．
【解析】(1)∵csin A＝acos C，由正弦定理可得sin Csin A＝sin Acos C，sin A≠0，
∴sin C＝cos C，得tan C＝＝.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，sin C＝sin(A＋B)，
∴sin(A＋B)＋sin(B－A)＝5sin 2A，
∴2sin Bcos A＝2×5sin Acos A．
∵△ABC为斜三角形，
∴cos A≠0，∴sin B＝5sin A．
由正弦定理可知b＝5a，①
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得21＝a2＋b2－2ab×，②
联立①②，得a＝1，b＝5.
∴S△ABC＝absin C＝×1×5×＝.
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