第2课时 应用举例（二）
【基础练习】
1．在钝角△ABC中，若sin A＜sin B＜sin C，则( )
A．cos A·cos C＞0 B．cos B·cos C＞0
C．cos A·cos B＞0 D．cos A·cos B·cos C＞0
【答案】C
【解析】由正弦定理得a＜b＜c，∴角C是最大角，∴角C为钝角，∴cos C＜0，cos A＞0，cos B＞0.故选C．
2．(2019年湖南衡阳期末)已知△ABC的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设三边分别为x－1，x，x＋1，最小内角为A，则由正弦定理得＝＝，所以cos A＝＝，解得x＝5.故cos A＝.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为sin C＝2sin B，所以由正弦定理得c＝2b，所以a＝b.再由余弦定理可得cos A＝，所以A＝.故选A．
4．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，B＝，cos A＝，则△ABC的面积S＝( )
A． B．10
C．10 D．20
【答案】C
【解析】由cos A＝可得sin A＝＝，由正弦定理可得b＝＝＝7，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，则△ABC的面积为S＝absin C＝×5×7×＝10.故选C．
5．(2019年广东惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为________．
【答案】或
【解析】由余弦定理得＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝，∴sin B＝，∴B＝或.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝2sin B，且a＋b＝c，则角C的大小为________．
【答案】60°
【解析】∵sin A＝2sin B，∴由正弦定理得a＝2b，即a2＝4b2.又a＋b＝c，即3b＝c，∴c＝b.由余弦定理，得cos C＝＝.∵0＜C＜π.∴C＝60°.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且cos A＝，a＝4，b＋c＝6且b＜c，求b，c的值．
【解析】∵a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc，a＝4，cos A＝，∴16＝(b＋c)2－2bc－bc.
又b＋c＝6，∴bc＝8.
解方程组得b＝2，c＝4或b＝4，c＝2.
又b＜c，∴b＝2，c＝4.
8．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足＝，D是BC边上的一点．
(1)求∠B的大小；
(2)若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求AB的长．
【解析】(1)由＝，得ccos B－acos B＝bcos A，
即ccos B＝bcos A＋acos B．
根据正弦定理得sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin (A＋B)＝sin C，解得cos B＝.
又0°(2)在△ADC中，AC＝7，AD＝5，DC＝3，
由余弦定理得cos ∠ADC＝＝＝－，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝.
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且＝.
(1)求角A的值；
(2)若B＝，BC边上中线AM＝，求△ABC的面积．
【解析】(1)∵＝，
∴由正弦定理，得＝，化简得cos A＝，∴A＝.
(2)∵B＝，∴C＝π－A－B＝.
可知△ABC为等腰三角形，
在△AMC中，由余弦定理，得AM2＝AC2＋MC2－2AC·MC·cos 120°，即7＝b2＋2－2×b××cos 120°，解得b＝2，
∴△ABC的面积S＝b2sin C＝×22×＝.
【能力提升】
10．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足＋≥1，则角A的范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由＋≥1得b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得b2＋c2－a2≥bc，∴≥，即cos A≥.∵A为三角形内角，∴0＜A≤.故选A．
11．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，则c＝________.
【答案】5
【解析】由正弦定理＝得＝，解得cos A＝.由余弦定理得a2＝c2＋24－4c×＝9，解得c＝3或c＝5.当c＝3时，a＝c＝3，∠C＝∠A，∠B＝2∠A，则4∠A＝π，∠B＝，而a2＋c2≠b2，矛盾，舍去．∴c＝5.
12．在△ABC中，2sin2＝sin A，sin (B－C)＝2cos Bsin C，则＝________.
【答案】
【解析】∵2sin2＝sin A，∴1－cos A＝sin A，∴sin＝.又0＜A＜π，∴A＝.将sin(B－C)＝2cos Bsin C展开得sin Bcos C＝3cos Bsin C，所以b·＝3··c，即2b2－2c2＝a2.由余弦定理，得a2＝b2＋c2＋bc，∴b2－3c2－bc＝0，左右两边同除以c2，得2－－3＝0，解得＝，∴＝.
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2c－a)cos B－bcos A＝0.
(1)求角B的大小；
(2)求sin A＋sin的取值范围．
【解析】(1)∵(2c－a)cos B－bcos A＝0，
∴2sin Ccos B－sin Acos B－sin Bcos A＝0，
即2sin Ccos B－sin(A＋B)＝0，
即sin C(2cos B－1)＝0.
∵sin C≠0，∴cos B＝，∴B＝.
(2)由(1)知C＋A＝，则C－＝－A，
∴sin A＋sin＝sin A＋cos A＝2sin.
∵A∈，
∴A＋∈，sin∈.
∴2sin∈(1,2]，即sin A＋sin的取值范围是(1,2]．
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(共39张PPT)
1.2 应用举例
第1课时 应用举例(一)
目标定位 重点难点
1.熟练掌握正弦定理及余弦定理．
2．能够应用正、余弦定理等知识和方法求距离问题、角度、高度问题. 重点：掌握正弦定理及余弦定理．
难点：实际应用问题的处理.
1．方位角
定义：从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫________．
2．方向角
定义：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫________．
方位角
方向角
3．基线
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做________．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的准确度．一般来说，基线越________，测量的精确度越高．
基线
长
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
【答案】B
【答案】D
4．为了开凿隧道，要测量隧道上D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，又测得A，B两点到隧道口的距离AD＝80 m，BE＝40 m(A，D，E，B在一条直线上)，计算隧道DE的长．
距离问题
【解题探究】要求出A，B之间的距离，把AB放在△ABC(或△ADB)中，但不管在哪个三角形中，AC，BC(或AD，BD)这些量都是未知的．再把AC，BC(或AD，BD)放在△ACD，△BCD中求出它们的值．
【方法规律】测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，然后把未知的另外边长转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题．测量长度、距离是解三角形应用题的一种基本题型，在解这类问题时，首先要分析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解．
如图所示，设A(可达到)，B(不可达到)是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，测量者在A点的附近选定一点C，测出AC的距离为a m，∠A＝α，∠C＝β.求A，B两点间的距离．
正、余弦定理在高度测量上的应用
【方法规律】测量高度的方法：对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形．其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理求解即可．
【例3】 如图所示，当甲船位于A处时，获悉在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，求sin θ的值．
正、余弦定理在角度测量上的应用
【解题探究】本题主要考查解斜三角形的有关知识，重点在于正弦定理及余弦定理，正确理解方位角的概念是解题关键．
【特别提醒】为什么作辅助线CM？∠ACB并不是θ角，题目要求的方位角是北偏东多少度，需要作出正北方向线．在点C正北方向线与CB所成的角才是要求的角，即∠BCM＝θ.
如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向、相距12海里的B处有蓝方一艘小艇正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以14海里/小时的速度，沿北偏东(45°＋α)方向拦截蓝方的小艇，设红方侦察艇在C处追上蓝方小艇，若要使时间最短，则α的正弦值为________．
【示例】某观测站C在城市A的南偏西20°的方向上，由城市A出发的一条笔直公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上距C为31 km的B处有一辆汽车正沿公路向城市A行驶，行驶了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，则此汽车还要行驶多远才能到达城市A?
结果不符合实际意义导致错误
【错因分析】解△ACD时，用到的条件是CD，AC，∠CAD，即两边和其中一边的对角，可能产生两个解．此题中△BCD是固定的，则∠BDC是一定的，那么∠ACD也是一定的，由∠CAD，∠ACD，CD，可得△ACD只有一解．错解产生了增根却没有检验排除．
【点评】在解决实际问题时，画出图形后应用正弦定理或余弦定理进行求解，得到的结果要检验其是否符合实际意义，这点容易被忽略而造成多解．
解三角形应用题的一般思路
(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成三角形模型；
(3)选择正弦定理和余弦定理求解；
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位和近似计算要求．
这一思路描述如下：
1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的( )
A．北偏西35° B．北偏东55°
C．南偏西35° D．南偏西55°
【答案】D
【解析】根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°.故选D．
2．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300 m和500 m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C的正西方向，则两灯塔A，B间的距离为( )
A．500 m B．600 m
C．700 m D．800 m
【答案】C
【答案】A
4．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D点，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )
A．15米 B．5米
C．10米 D．12米
【答案】C
第1课时 应用举例（一）
【基础练习】
1．如图，从气球A测得正前方的两个场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h，则两个场馆B，C间的距离为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过A作垂线AD交BC的延长线于D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝α，AB＝.又在△ACB中，∠ACB＝π－β，∠BAC＝β－α，由正弦定理，得BC＝，即两个场馆B，C间的距离为.故选B．
2．某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )
A．100 m B．100 m
C．50(＋) m D．200 m
【答案】A
【解析】如图，由条件知，AC＝100 m，∠B＝30°，∠ACD＝75°，∴∠BAC＝45°.由正弦定理得＝，∴BC＝＝100(m)．
3．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
【答案】A
【解析】在△ABC中，AB＝10(km)，BC＝20(km)，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ∠ABC＝100＋400－2×10×20cos 120°＝100＋400－2×10×20×＝700，∴AC＝10 km，即A，C两地的距离为10 km.
4．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是(单位：米)( )
A．10 B．10
C．10 D．10
【答案】B
【解析】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝x，从而有BC＝x.在△BCD中，CD＝10，∠BCD＝90°＋15°＝105°，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，由正弦定理得＝，BC＝＝10＝x，解得x＝10，所以塔AB的高是10米．故选B．
5．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.
【答案】30°
【解析】如图，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10.∵∠DBC＝30°，∴BC＝10，cos ∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°.
6．(2019年广西南宁期末)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α＝30°，沿倾斜角β＝15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角γ＝60°，则山高PQ＝________米．
【答案】a
【解析】在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，∠PBA＝135°，所以＝，则PA＝a.所以PQ＝PAsin α＝asin 30°＝a(米)．
7．如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声检测点，B，C到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值；
(2)求P到海防警戒线AC的距离．
【解析】(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.
在△PAB中，AB＝20，cos ∠PAB＝＝＝，
同理，在△PAC中，AC＝50，cos ∠PAC＝＝＝.
∵cos ∠PAB＝cos ∠PAC，∴＝，解得x＝31.
(2)如图，过点P作PD⊥AC于交AC于点D．
由PA＝PC，可得AD＝AC＝25.
又PA＝31，∴PD＝＝＝4.
故P到海防警戒线AC的距离为4 千米．
【能力提升】
8．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10 km，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，在甲船到达B之前，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )
A． min B． h
C．21.5 min D．2.15 h
【答案】A
【解析】设航行时间为t，如图，∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100.
当t＝＝(h)，即 min时，CD2最小．
9．(2019年浙江宁波期末)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺测得BC＝9米，利用测角仪器测得仰角∠ACB＝45°，测得视角∠ACD后通过计算得到sin∠ACD＝，则AD的高度为( )
A．2米 B．2.5米
C．3米 D．4米
【答案】C
【解析】设AD＝x，则BD＝9－x，CD＝，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，所以2[92＋(9－x)2]＝26x2.整理得2x2＋3x－27＝0，即(2x＋9)(x－3)＝0，所以x＝3(米)．
10．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为( )
A．20 海里 B．40 海里
C．20(1＋) 海里 D．40海里
【答案】A
【解析】连接AB．由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°.在△ACD中，由正弦定理得＝，∴AD＝20.在Rt△BCD中，BD＝CD＝40.在△ABD中，由余弦定理得AB＝＝20.故选A．
11．(2019年陕西西安模拟)游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________．
【答案】
【解析】设乙的速度为x m/s，则甲的速度为x m/s.因为AB＝1 040，BC＝500，所以＝，解得AC＝1 260.在△ABC中，由余弦定理可知cos∠BAC＝＝＝，所以sin∠BAC＝＝＝.
12．如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
【解析】(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1，
∴AB＝.
在Rt△PAC中，∠APC＝30°，∴AC＝.
在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，
∴BC＝＝＝.
则船的航行速度为÷＝2(千米/时)．
(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，
sin ∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin ∠ACB＝＝＝，
sin ∠CDA＝sin(∠ACB－30°)
＝sin ∠ACB·cos 30°－cos ∠ACB·sin 30°
＝×－×
＝.
由正弦定理得＝.
∴AD＝＝＝.
故此时船距岛A有 千米．
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(共39张PPT)
1.2 应用举例
第2课时 应用举例(二)
目标定位 重点难点
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变式．
2．巩固用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的几何计算问题. 重点：正弦定理、余弦定理及其变式．
难点：解决三角形中的几何计算问题.
解三角形问题的几种类型．
在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况：
已知条件 应用定理 一般解法
一边和两角
(如a，B，C) 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解
已知条件 应用定理 一般解法
两边和夹角
(如a，b，C) 余弦定理
正弦定理 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解
三边(a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C，在有解时只有一解
两边和其中
一边的对角
(如a，b，A) 正弦定理
余弦定理 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解
1．在△ABC中，已知2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
【答案】B
【解析】∵2sin Acos B＝sin(A＋B)，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
【例1】 设△ABC的三内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知bcos C＝(2a－c)cos B．
(1)求角B的大小；
(2)若x∈[0，π)，求函数f(x)＝sin(x－B)＋sin x的值域．
三角形中的三角函数
【方法规律】本题给出三角形的边角关系，求B的大小，并依此求一个三角函数式的值域．着重考查了正弦定理、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
【解题探究】(1)运用诱导公式和二倍角的余弦公式，结合二次函数的最值求法，即可得到；
(2)由三角形的余弦定理和面积公式，结合条件计算即可得到面积．
正、余弦定理的综合问题
【方法规律】解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理，运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
【例3】 已知钝角三角形的三边长分别是a，a＋1，a＋2，其最大内角不超过120°，则a的取值范围是______．
【解题探究】本题考查的知识点是余弦定理的应用，由钝角三角形的任意两边之和大于第三边及其最大内角不超过120°，我们可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．
求最值及范围问题
【方法规律】(1)求与已知有关的参数的范围或者最值问题，要注意条件中的范围限制以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围找完善，避免结果的范围过大；
(2)三角形中边、角的最值或范围求法除利用三角形的性质数形结合外，也可通过建立目标函数转化为函数的最值问题(形如y＝asin α＋bcos α)求解．
【示例】在△ABC中，角A，B，C满足2B＝A＋C，B的对边b＝1，求a＋c的取值范围．
忽略范围而致错
【警示】本题主要考查正弦定理的应用，利用条件将a＋c转化为三角函数是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和差的三角公式以及辅助角公式的应用．
在解三角形时，选择正弦定理还是余弦定理？
根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦值对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论．
【答案】B
