2.3.1-数学归纳法-同步测试(解析版)

3.1　数学归纳法
1.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式为(　　)
A.1 B.1+3
C.1+2+3 D.1+2+3+4
解析:当n=1时左边有2n+1=2×1+1=3,所以左边所得的代数式为1+2+3.
答案:C
2.已知n是正奇数,用数学归纳法证明时,若已假设当n=k(k≥1且为奇数)时命题为真,则还需证明(　　)
A.n=k+1时命题成立
B.n=k+2时命题成立
C.n=2k+2时命题成立
D.n=2(k+2)时命题成立
解析:因为n是正奇数,所以只需证明等式对所有奇数都成立,又k的下一个奇数是k+2,故选B.
答案:B
3.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时,由n=k(k≥1)的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是(　　)
A.(k+1)2+2k2
B.(k+1)2+k2
C.(k+1)2
D.(k+1)[2(k+1)2+1]
解析:当n=k(k≥1)时,左边为12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,当n=k+1时,左边为12+22+…+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k+1)2+k2.
答案:B
4.下列代数式(其中k∈N+)能被9整除的是(　　)
A.6+6·7k
B.2+7k-1
C.2(2+7k+1)
D.3(2+7k)
解析:(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N+,n≥1)时,命题成立,即3(2+7k)能被9整除,则当k=n+1时,3(2+7k+1)=21(2+7k)-36也能被9整除,即当k=n+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k∈N+都成立.
答案:D
5.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1(n∈N+)”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为(　　)
A.1 B.1+2
C.1+2+22 D.1+2+22+23
解析:当n=1时,左边为1+2+22+23.
答案:D
6.设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k+1)与f(k)的关系是(　　)
A.f(k+1)=f(k)+k+1
B.f(k+1)=f(k)+k-1
C.f(k+1)=f(k)+k
D.f(k+1)=f(k)+k+2
解析:当n=k+1时,任取其中1条直线,记为l,则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k),因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点).又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是f(k)+k=f(k+1).
答案:C
7.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+都成立,则a,b,c的值为(　　)
A.a=,b=c=
B.a=b=c=
C.a=0,b=c=
D.不存在这样的a,b,c
解析:由于该等式对一切n∈N+都成立,不妨取n=1,2,3,
则有
解得a=,b=c=.
答案:A
8.用数学归纳法证明:1-+…++…+,第一步应验证的等式是　　　　　　　　.?
解析:当n=1时,等式的左边为1-,右边=,所以左边=右边.
答案:1-
9.若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)为　　　　　　　　.?
解析:由题意知f(n+1)-f(n)=n-1,故f(n+1)=f(n)+n-1.
答案:f(n)+n-1
10.若s(n)=1++…+(n∈N+),则s(5)-s(4)=　　　　　　　　.?
解析:依题意,s(5)=1++…+,s(4)=1++…+,于是s(5)-s(4)=.
答案:
11.已知f(n)=(2n+7)×3n+9(n∈N+),用数学归纳法证明f(n)能被36整除.
证明(1)当n=1时,f(1)=(2+7)×3+9=36,能被36整除,结论成立.
(2)假设当n=k(k∈N+,k≥2)时,结论成立,即f(k)=(2k+7)×3k+9能被36整除,
则当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]×3k+1+9=(2k+7)×3k+1+2×3k+1+9=(2k+7)×3k×3+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]-27+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]+18(3k-1-1).
因为3k-1-1(k∈N+,k≥2)是2的倍数,所以18(3k-1-1)能被36整除,即当n=k+1时,结论也成立.
根据(1)和(2),可知对一切正整数n,都有f(n)=(2n+7)×3n+9能被36整除.
12.用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N+).
证明(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×=1,左边=右边,等式成立.
(2)假设n=k(k∈N+)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·.
则当n=k+1时,
12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2
=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2
=(-1)k(k+1)·
=(-1)k·.
因此当n=k+1时,等式也成立,
根据(1)(2)可知,对于任何n∈N+等式成立.
13.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且+2an=4Sn.
(1)计算a1,a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论.
解(1)当n=1时,+2a1=4S1,即+2a1=4a1,即-2a1=0,解得a1=2(a1=0舍去);
当n=2时,+2a2=4S2,即+2a2=4(2+a2),即-2a2-8=0,解得a2=4(a2=-2舍去);
当n=3时,+2a3=4S3,即+2a3=4(2+4+a3),即-2a3-24=0,解得a3=6(a3=-4舍去);
当n=4时,+2a4=4S4,即+2a4=4(2+4+6+a4),即-2a4-48=0,解得a4=8(a4=-6舍去).
由以上结果猜想数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N+).
(2)下面用数学归纳法证明{an}的通项公式为an=2n(n∈N+).
①当n=1时,a1=2,由(1)知,结论成立.
②假设当n=k(k∈N+)时,结论成立,即ak=2k,
这时有+2ak=4Sk,即Sk=k2+k.
则当n=k+1时,+2ak+1=4Sk+1,即+2ak+1=4(Sk+ak+1),
所以-2ak+1=4k2+4k,解得ak+1=2k+2=2(k+1)(ak+1=-2k舍去).
故当n=k+1时,结论也成立.
由①②可知,结论对任意n∈N+都成立.
14.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an(n∈N+),通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为　.?
解析:由a1=,Sn=n(2n-1)an求得a2=,a3=,a4=.
猜想an=(n∈N+).
答案:an=(n∈N+)
15.已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).
(1)求a2,a3;
(2)证明:an=(n∈N+).
(1)解由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13.
(2)证明①当n=1时,a1=1=.
故命题成立.
②假设当n=k(k≥1)时命题成立,
即ak=.
那么当n=k+1时,ak+1=ak+3k=+3k
=,
即当n=k+1时,命题也成立.
由①②知,命题对n∈N+都成立,
即an=(n∈N+).
16.设an=1++…+(n∈N+),是否存在关于n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)·(an-1)对大于1的一切自然数n都成立?证明你的结论.
解假设g(n)存在,则当n=2时,a1=g(2)(a2-1),
即1=g(2),故g(2)=2.
当n=3时,a1+a2=g(3)(a3-1),
即1+=g(3),
故g(3)=3.
当n=4时,a1+a2+a3=g(4)(a4-1),
即1+
=g(4),
故g(4)=4.
由此猜想g(n)=n(n≥2,n∈N+).
下面用数学归纳法证明当n≥2,n∈N+时,等式a1+a2+…+an-1=n(an-1)成立.
(1)当n=2时,a1=1,g(2)(a2-1)=2×=1,结论成立.
(2)假设当n=k(k∈N+,k≥2)时结论成立,
即a1+a2+…+ak-1=k(ak-1)成立.
那么当n=k+1时,a1+a2+…+ak-1+ak=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1=(k+1)·=(k+1)(ak+1-1),说明当n=k+1时,结论成立.
由(1)(2)可知,对一切大于1的自然数n,存在g(n)=n,使等式a1+a2+…+an-1=g(n)(an-1)成立.

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