沪科版八下：17.4 一元二次方程的根与系数的关系 学案（无答案）

一元二次方程的根与系数的关系
【学习目标】
1．掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系。
2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数。
【学习重难点】
重点：一元二次方程根与系数的关系及应用。
难点：探索一元二次方程根与系数的关系。
【学习过程】
一、课前预习
1．一元二次方程的一般形式是什么？
2．一元二次方程的求根公式是什么？
3．如何判断一元二次方程根的情况？
二、探究新知
1．议一议：补全下列表格，并回答问题
方程
方程的两根
x1+x2
x×x2
①x2+2x-15=0
x1= x2=
②x2-4x+1=0
x1= x2=
③2x2-5x+1=0
x1= x2=
问题：观察两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？
2．猜一猜：请根据以上的观察猜想。
方程x2+px+q =0的两根x1，x2与p，q之间的关系：____________。
方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
3．验证结论：
设x1，x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，证明上述结论。
（1）当满足条件 时，方程的两根是x1= ，x2=
（2）两根之和x1+x2= 两根之积x1x2=
4．归纳结论：
一元二次方程根与系数的关系：
如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1+x2= ，x1x2=
如果x1，x2是一元二次方程x2+px+q =0的两个根，那么x1+x2= ，x1x2=
为了纪念在研究和推广这个定理中做出贡献的法国数学家韦达，又把这个定理叫做韦达定理。
三、应用新知
基础练习：不解方程，求下列方程两根的和与两根的积各是多少？
（1）x2-3x+1=0 （2）3x2-2x=2
（3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
（5）x2-3x+4=0
四、变式练习
1．已知方程5x2-7x+k=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值；
2．设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。
【巩固练习】
1．如果2是方程x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值；
2．设x1，x2是方程2x2- 6x+3=0的两个根，利用根与系数关系，求下面式子的值：
x12x2+x1x22.
3．如果x=1是方程2x2-3mx+1=0的一个根，求m的值并求另一个根。
4．关于x的一元二次方程（k-1）x2-3x-4=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是？
5．已知x1，x2是方程x2-3x-2=0的两个实数根，则（x1-2）（x2-2）的值？
6．一元二次方程3(m+1)x2-5mx+3m=2的两根互为相反数，则m的值为？
7．思考题：在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为1与-3；乙同学看错了q，解得方程的根为4与-2，你认为方程中的p= ，q= 。
8．自己写一个一元二次方程分别使它的两个根为5与-3。