2020中考数学总复习 第三章 函数
3.1 平面直角坐标系与函数
课标解读
能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值.
结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.
知识梳理
知识点一 平面直角坐标系及点的坐标特征
1.平面直角坐标系：平面内两条有 公共 原点且互相 垂直 的数轴构成的图形.
2.点的坐标：坐标平面上的点与 有序实数对 一一对应.
3.平面直角坐标系中点的坐标特征：设点P（a,b）.
点P在第一象限，则a ＞ 0,b ＞ 0;
点P在第二象限，则a ＜ 0,b ＞ 0;
点P在第三象限，则a ＜ 0,b ＜ 0;
点P在第四象限，则a ＞ 0,b ＜ 0;
点P在x轴上，则 b =0;
点P在y轴上，则 a =0;
点P在第一、三象限内坐标轴夹角平分线上，则 a=b ;
点P在第二、四象限内坐标轴夹角平分线上，则 a+b=0 .
4.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：
已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),
当AB∥x轴时， y1=y2 且 x1≠x2 ;
当AB∥y轴时, x1=x2 且 y1≠y2 .
5.对称问题：
点（x,y）关于x轴对称的点为 (x,-y)
点（x,y）关于y轴对称的点为 (-x,y)
点（x,y）关于原点对称的点为 (-x,-y)
6.距离问题
点P（a,b）到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，到原点的距离为.
知识点二 函数及自变量的取值范围
函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x为自变量，y是的函数.
函数的图像：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形就是函数的图像.
函数的表示方法： 解析式法、列表法、图象法 .
函数自变量的取值范围：
（1）整式函数：自变量的取值范围为 任意实数 ；
（2）分式函数：自变量的取值范围为 使分母不为零的实数 ；
（3）含二次根式的函数：自变量的取值范围为 使被开方数大于或等于零的实数 ；
（4）实际问题中的函数：自变量必须使实际问题有意义.
基础训练
1.在平面直角坐标系中,若点P（-a,b）在第三象限，则点Q（a,b）所在的象限是（ ）
A.第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
2.平面直角坐标系中，点A（-1,2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A(-1,-2) B(1,2) C(1,-2) D(-1,-2)
3.在平面直角坐标系中，第四象限有一点M，点M到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点M的坐标为（ ）
A.(-4,5) B.(4,-5) C.(-5,4) D(5,-4)
4.对任意实数x，点（2x-1,1-x）一定不在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
如图，正方形ABCD的边长为3，B点的坐标为（2，1），AB∥X轴，则点C的坐标为
若平面直角坐标系中有两点M（-3,2），N（-2，1），将线段MN平移使点M与原点重合，则平移后点N的对应点的坐标为
2018年在野三关举行的马拉松长跑比赛中，赛道全长20km，图中有一处休息点A，距离起点15km，甲乙两名运动员同时从起点出发，甲以15km/h的速度匀速跑至点A，原地休息半小时后，再以10km/h匀速跑至终点；乙以12km/h的速度匀速跑至终点，下列选项中，能正确反映甲乙两人运动路程y(km)与时间t(h)函数关系的图像是（ ）
A B C D
已知两点A（8，m），B（n，-5），根据下列要求确定m,n的值.
（1）A、B两点关于x轴对称；
（2）A、B两点关于原点对称；
（3）AB∥x轴，且A、B两点相距3个单位长度；
（4）A、B两点在一、三象限两坐标轴夹角平分线上.
能力提升
1.函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A.且 B.且 C. 且 D. 且
2.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a,b），若规定以下两种变换：①f(a,b)=(-a,b).如.f(1,3)=(-1,3).②g(a,b)=(-a,-b).如g(1,3)=(-1,-3).那么f(g(5,-3))等于（ ）
A.(-5,-3) B.(5,3) C.(5,-3) D(-5,3)
3.在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，动点P从点B出发，沿路线BCD作匀速运动，那么△ABP的面积S与运动路程x之间的函数图象大致是（ ）.
A B C D
4.等边△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A、B的坐标分别为（-2,0）和（2,0），点C在y轴的正半轴上，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1,则点C的对应点C1的坐标为（ ）
A.（4，2） B.（4， ） C.（2，4 ） D.（，4 ）
5.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），E是OC的中点，点F在BC上，当△AEF的周长最小时，点F的坐标为（ ）
A.(3,2) B. (3,1) C. (3,) D. (3,)
6.小刚和小强下棋，小刚执白子，小强执黑子。如图，棋盘中心的黑子的位置用（-1，0）表示，右下角的黑子用（0，-1）表示，小刚将第四枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形。他放的位置是（ ）
A.(-2,1) B.(-1,1) C. (1,-2) D.(-1,-2)
7.某公司对于宽带上网推出A、B、C三种月收费方式，这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列推断错误的是（ ）
每月上网时间不足25h时，选择A方式省钱.
每月上网费用为60元时B方式可上网的时间比A方式多.
每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱.
每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱.
8.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，6）、（-8，0），求Rt△ABO的内心的坐标.
中考真题
1.（2016，恩施）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.（2019，宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，,OA=2.将△AOB绕点O逆时针旋转，点B的对应点B，的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
3.（2019，武汉）“漏壶”是中国古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间.用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度.下列图像适合表示y与x的对应关系的是（ ）
漏壶 A B C D
4.（2019，随州）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且很骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢，结果兔子再一次输掉了比赛，则下列函数图像可以体现这次比赛过程的是（ ）
A B C D
5.(2018，恩施)函数的自变量x的取值范围是
6.（2019，随州）如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”，目前，已被译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”。若“今”所处的位置为（），你找到的密码钥匙是 .破译“正做数学”的真实意思是 .
2020中考数学总复习 第三章 函数
3.1 平面直角坐标系与函数
课标解读
能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值.
结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.
知识梳理
知识点一 平面直角坐标系及点的坐标特征
1.平面直角坐标系：平面内两条有 公共 原点且互相 垂直 的数轴构成的图形.
2.点的坐标：坐标平面上的点与 有序实数对 一一对应.
3.平面直角坐标系中点的坐标特征：设点P（a,b）.
点P在第一象限，则a ＞ 0,b ＞ 0;
点P在第二象限，则a ＜ 0,b ＞ 0;
点P在第三象限，则a ＜ 0,b ＜ 0;
点P在第四象限，则a ＞ 0,b ＜ 0;
点P在x轴上，则 b =0;
点P在y轴上，则 a =0;
点P在第一、三象限内坐标轴夹角平分线上，则 a=b ;
点P在第二、四象限内坐标轴夹角平分线上，则 a+b=0 .
4.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：
已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),
当AB∥x轴时， y1=y2 且 x1≠x2 ;
当AB∥y轴时, x1=x2 且 y1≠y2 .
5.对称问题：
点（x,y）关于x轴对称的点为 (x,-y)
点（x,y）关于y轴对称的点为 (-x,y)
点（x,y）关于原点对称的点为 (-x,-y)
6.距离问题
点P（a,b）到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，到原点的距离为.
知识点二 函数及自变量的取值范围
函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x为自变量，y是的函数.
函数的图像：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形就是函数的图像.
函数的表示方法： 解析式法、列表法、图象法 .
函数自变量的取值范围：
（1）整式函数：自变量的取值范围为 任意实数 ；
（2）分式函数：自变量的取值范围为 使分母不为零的实数 ；
（3）含二次根式的函数：自变量的取值范围为 使被开方数大于或等于零的实数 ；
（4）实际问题中的函数：自变量必须使实际问题有意义.
基础训练
1.在平面直角坐标系中,若点P（-a,b）在第三象限，则点Q（a,b）所在的象限是（D ）
A.第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
2.平面直角坐标系中，点A（-1,2）关于x轴对称的点的坐标为（ D ）
A(-1,-2) B(1,2) C(1,-2) D(-1,-2)
3.在平面直角坐标系中，第四象限有一点M，点M到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点M的坐标为（ D ）
A.(-4,5) B.(4,-5) C.(-5,4) D(5,-4)
4.对任意实数x，点（2x-1,1-x）一定不在（ C ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
如图，正方形ABCD的边长为3，B点的坐标为（2，1），AB∥X轴，则点C的坐标为 (-1,-2)
若平面直角坐标系中有两点M（-3,2），N（-2，1），将线段MN平移使点M与原点重合，则平移后点N的对应点的坐标为 (1,-1)
2018年在野三关举行的马拉松长跑比赛中，赛道全长20km，图中有一处休息点A，距离起点15km，甲乙两名运动员同时从起点出发，甲以15km/h的速度匀速跑至点A，原地休息半小时后，再以10km/h匀速跑至终点；乙以12km/h的速度匀速跑至终点，下列选项中，能正确反映甲乙两人运动路程y(km)与时间t(h)函数关系的图像是（A ）
A B C D
已知两点A（8，m），B（n，-5），根据下列要求确定m,n的值.
（1）A、B两点关于x轴对称；
（2）A、B两点关于原点对称；
（3）AB∥x轴，且A、B两点相距3个单位长度；
（4）A、B两点在一、三象限两坐标轴夹角平分线上.
解：（1）m=5,n=8 (2) m=5,n=-8
(3) m=-5,n=11或5 （4）m=8,n=-5
能力提升
1.函数中，自变量x的取值范围是（ B ）
A.且 B.且 C. 且 D. 且
2.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a,b），若规定以下两种变换：①f(a,b)=(-a,b).如.f(1,3)=(-1,3).②g(a,b)=(-a,-b).如g(1,3)=(-1,-3).那么f(g(5,-3))等于（ B ）
A.(-5,-3) B.(5,3) C.(5,-3) D(-5,3)
3.在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，动点P从点B出发，沿路线BCD作匀速运动，那么△ABP的面积S与运动路程x之间的函数图象大致是（ C ）.
A B C D
4.等边△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A、B的坐标分别为（-2,0）和（2,0），点C在y轴的正半轴上，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1,则点C的对应点C1的坐标为（ B ）
A.（4，2） B.（4， ） C.（2，4 ） D.（，4 ）
5.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），E是OC的中点，点F在BC上，当△AEF的周长最小时，点F的坐标为（ C ）
A.(3,2) B. (3,1) C. (3,) D. (3,)
6.小刚和小强下棋，小刚执白子，小强执黑子。如图，棋盘中心的黑子的位置用（-1，0）表示，右下角的黑子用（0，-1）表示，小刚将第四枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形。他放的位置是（ A ）
A.(-2,1) B.(-1,1) C. (1,-2) D.(-1,-2)
7.某公司对于宽带上网推出A、B、C三种月收费方式，这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列推断错误的是（ D ）
每月上网时间不足25h时，选择A方式省钱.
每月上网费用为60元时B方式可上网的时间比A方式多.
每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱.
每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱.
8.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，6）、（-8，0），求Rt△ABO的内心的坐标.
解：过△ABO的内心作三边的垂线段，设垂线段的长为x.
∵A(0,6),B(-8,0)
∴OA=6,OB=8
∴AB=10
∴
∴x=2
∴内心的坐标为（-2，2）
中考真题
1.（2016，恩施）函数的自变量x的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
2.（2019，宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，,OA=2.将△AOB绕点O逆时针旋转，点B的对应点B，的坐标是（ B ）
A. B.
C. D.
3.（2019，武汉）“漏壶”是中国古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间.用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度.下列图像适合表示y与x的对应关系的是（ A ）
漏壶 A B C D
4.（2019，随州）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且很骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢，结果兔子再一次输掉了比赛，则下列函数图像可以体现这次比赛过程的是（ B ）
A B C D
5.(2018，恩施)函数的自变量x的取值范围是
6.（2019，随州）如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”，目前，已被译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”。若“今”所处的位置为（），你找到的密码钥匙是 对应文字横坐标加1，纵坐标加2 .破译“正做数学”的真实意思是 祝你成功 .
