6.4.2 多边形内角和与外角和 导学案
课题
6.4.2 多边形内角和与外角和
课型
新授课
学习目标
（1）经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题；
（2） 培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力．
（3）让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．
重点难点
多边形外角和定理的探索和应用．
感知探究
自自主学习
多边形的外角和怎么求?
自自学检测
若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是
A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形
已知一个多边形的内角和与外角和的比是9：2，则这个多边形的边数是
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
合合作探究
探究一：
如图 6-25，小刚沿一个五边形广场周围 的小路，按逆时针方向跑步．
（1）小刚每从一条小路转到下一条小路时， 跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角．
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一 共有几个？它们的和是多少？
小刚是这样思考的：
如图 6-26，跑步方向改变的角分别是 ∠ 1，∠ 2， ∠ 3，∠ 4，∠ 5．
∵ ∠ 1 + ∠ EAB = 180°，
?? ∠ 2 + ∠ ABC = 180°，
?? ∠ 3 + ∠ BCD = 180°，
?? ∠ 4 + ∠ CDE = 180°，
?? ∠ 5 + ∠ DEA = 180°，
∴∠ 1 + ∠ EAB + ∠ 2 + ∠ ABC + ∠ 3 + ∠ BCD + ∠ 4 + ∠ CDE + ∠ 5 + ∠ DEA = 900°.
∵ 五边形的内角和为（5 - 2）× 180° = 540°，
即 ∠?EAB + ∠ ABC + ∠?BCD + ∠ CDE + ∠ DEA = 540°，
∴ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5
= 900° - 540°
= 360°．
探究二：
一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？
感知
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角（exterior angle）．
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
四、
当堂检测
1、如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是( )
A. 四边形 B. 六边形 C. 八边形 D. 十边形
2、一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是( )
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形
如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为何？
A. B. C. D.
4四边形ABCD中，，． 如图1，若，试求出的度数； 如图2，若的角平分线BE交DC于点E，且，试求出的度数； 如图3，若和的角平分线交于点E，试求出的度数．
作业：
必做题：
课本P157练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P157练习第3、4题
课堂小结：师生互动，本节课你学到了什么
参考答案：
自学检测
1解：多边形的每个外角相等，且其和为， 据此可得， 解得． 故选C．
2解：设这个多边形的边数是n，由题意得 ：：2． 解得， 故选C．
合作探究
探究一：
探究二：
解：设这个多边形是 n 边形，
则它的内角和是（n - 2）·180°，
外角和等 于 360°．
根据题意，得（n - 2）·180° = 3 × 360°．
解得 n = 8.
所以，这个多边形是八边形．
当堂检测
1解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，(n-2)?180°=3×360°，
解得n=8．
故选C．
2解：设所求多边形边数为n，
由题意得
(n-2)?180°=360°×2
解得n=6．
则这个多边形是六边形．
故选：C．
3解：在DO延长线上找一点M，如图所示． 多边形的外角和为， ． ， ． 故选：A．
4解：因为，， 所以； ， ， ． 又平分， ， ? ? ?． 或解：， ， 又平分， ， ； ， ． ，， ．
课件23张PPT。6.4.2 多边形内角和与外角和北师大版 八年级下复习导入在上一节课中，我们学习了多边形内角和。请同学回忆一下。亲爱的同学们复习导入多边形的内角和公式正n边形的内角多边形内角和与外角和(n－2)·180°新知讲解如图 6-25，小刚沿一个五边形广场周围 的小路，按逆时针方向跑步．
（1）小刚每从一条小路转到下一条小路时， 跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角．
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一 共有几个？它们的和是多少？新知讲解小刚是这样思考的：
如图 6-26，跑步方向改变的角分别是 ∠ 1，∠ 2， ∠ 3，∠ 4，∠ 5．
∵ ∠ 1 + ∠ EAB = 180°，
?? ∠ 2 + ∠ ABC = 180°，
?? ∠ 3 + ∠ BCD = 180°，
?? ∠ 4 + ∠ CDE = 180°，
?? ∠ 5 + ∠ DEA = 180°，ABCDE12345新知讲解∴∠ 1 + ∠ EAB + ∠ 2 + ∠ ABC + ∠ 3 + ∠ BCD + ∠ 4 + ∠ CDE + ∠ 5 + ∠ DEA = 900°.
∵ 五边形的内角和为（5 - 2）× 180° = 540°，
即 ∠?EAB + ∠ ABC + ∠?BCD + ∠ CDE + ∠ DEA = 540°，
∴ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5
= 900° - 540°
= 360°．ABCDE12345你的思路与小刚一样吗？与同伴交流.想一想如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？新知讲解多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角（exterior angle）．
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．定理 多边形的外角和等于360°新知讲解一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？
解：设这个多边形是 n 边形，
则它的内角和是（n - 2）·180°，
外角和等 于 360°．
根据题意，得（n - 2）·180° = 3 × 360°．
解得 n = 8.
所以，这个多边形是八边形． 课堂练习1、如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是( )
A. 四边形 B. 六边形 C. 八边形 D. 十边形解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，(n-2)?180°=3×360°，
解得n=8．
故选C． 课堂练习2、一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是( )
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形
解：设所求多边形边数为n，
由题意得
(n-2)?180°=360°×2
解得n=6．
则这个多边形是六边形．
故选：C． 课堂练习3、如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？( )
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
课堂练习解：在DO延长线上找一点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠BOM=360°-220°=140°．
∵∠BOD+∠BOM=180°，
∴∠BOD=180°-∠BOM
=180°-140°
=40°．
驶向胜利的彼岸中考链接四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°．
(1)如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
(2)如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE//AD，试求出∠C的度数；
(3)如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．驶向胜利的彼岸中考链接解：(1)
因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∠B=∠C，
所以 驶向胜利的彼岸中考链接(2)方法一：
∵BE//AD，
∴∠BEC=∠D=80°，
∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°．
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
∴∠C=180°-∠EBC-∠BEC
=180°-40°-80°=60°．驶向胜利的彼岸中考链接(2)方法二：
解：∵BE//AD，
∴∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=80°，
∴∠C=360°-∠ABC-∠A-∠D=60°；驶向胜利的彼岸中考链接(3)∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D
=360°-140°-80°=140°．
∵∠EBC= ∠ABC，∠BCE= ∠BCD，
∴∠E=180°-∠EBC-∠BCE
=180°- (∠ABC+∠BCD)
=180°- ×140°=110°．课堂总结定义正n边形的外角多边形外角和在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.多边形的外角和等于360°上21世纪教育网 下精品教学资源板书设计 6.4.2 多边形内角和与外角和
1.多边形的外角及外角和的定义
2.多边形的外角和等于360°
必做题：
课本P157练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P157练习第3、4题
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