人教版数学八年级上册11.2 与三角形有关的角课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
三角形的内角和
同学们，你们知道“三角形
内角和等于180度”这个结论
最早是谁提出的吗？
数学史话
帕斯卡：（1623—1662）法国著名的数学家




方法：度量、剪拼、折叠
　　问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
实验操作，探究新知


B
A
C
任意画一个三角形，测量三角形的三个内角并求和，你有什么发现？
三角形三个内角的和是180?



















1
2

B
A
C






已知：如图 ,△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：作BC的延长线CD，
过点C作射线CE∥BA，
则 ∠2=∠A （两直线平行，内错角相等），
∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）。
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（1平角=180°），
∴∠A+∠B+∠ACB=180° （等量代换）。


B
A
C




1
2



D
E

①过三角形一个顶点，用构造平角将三个角化归为平角来证明定理
那这个点是任意的吗？请同学们思考然后分小组讨论。













（1）思维能力训练








2
1
A
B
C
D
E
三角形的边上
三角形内部
三角形外部
归纳结论
已知：如图 ,△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：过点A作射线DE∥BC，
则 ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等），
∠1=∠B （两直线平行，内错角相等）。
∵∠1+∠2+∠BAC=180°（1平角=180°），
∴∠A+∠B+∠BAC=180° （等量代换）。








2
1
A
B
C
D
E


②这个点在三角形的边上如何？


















C









2
1
A
B
3
E


F
D
已知：△ABC

求证：∠A＋∠B＋∠C=180?

证明：在△ABC边上任取一点D，过点D做直线DF∥AB, DE∥AC;

∵AB∥DF (已知）

∴∠B=∠1 （两直线平行，同位角相等）

∴∠A=∠DFC （两直线平行，同位角相等）

∵DE∥AC（已知）

∴∠C=∠2 （两直线平行，同位角相等）

∴∠DFC=∠3 (两直线平行，内错角相等）

∴∠A=∠3 (等量代换）

∵∠1＋∠2＋∠3=180?（平角定义）

∴∠A＋∠B＋∠C=180?


C









2
1
A
B
3
E


F
D


③这个点能否为三角形内部任意一点。























C









2
4
A
B
3
E


Q
D

F
P
G
H

1
已知：△ABC 求证：∠A＋∠B＋∠C=180?

证明：在△ABC内部任取一点D，过点D做直线EF∥BC, GQ∥AB;

PH∥AC;

∵EF∥BC (已知）

∴∠B=∠1 （两直线平行，同位角相等）

∴∠C=∠3 （两直线平行，同位角相等）

∵QG∥AB（已知）

∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）

∴∠A=∠DQF （两直线平行，同位角相等）

∵PH∥AC（已知）

∴∠PDQ=∠DQF (两直线平行，内错角相等）

∴∠3=∠4 (两直线平行，同位角相等）

∵∠B=∠1 ∠1=∠2 ∴∠B=∠2（等量代换）

∵∠C=∠3 ∠3=∠4 ∴∠C=∠4（等量代换）

∵∠A=∠DQF ∠PDQ=∠DQF ∴∠A=∠PDQ（等量代换）

∵∠2＋∠4＋∠PDQ=180?（平角定义）

∴∠A＋∠B＋∠C=180?



C









2
4
A
B
3
E


Q
D

F
P
G
H

1


④如果这个点运动到三角形的外部呢？





















P

B

G


C









2
4
A
3
E

D

F
H

1
已知：△ABC 求证：∠A＋∠B＋∠C=180?

证明：在△ABC外部任取一点D，过点D做直线DE∥BC, DG∥AB;

DE∥BC;

∵EF∥BC (已知）

∴∠B=∠1 （两直线平行，同位角相等）

∴∠C=∠3 （两直线平行，同位角相等）

∵DG∥AB（已知）

∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）

∴∠A=∠AFD （两直线平行，内错角相等）

∵DH∥AC（已知）

∴∠3=∠4 (两直线平行，同位角相等）

∴∠AFD=∠HDP (两直线平行，同位角相等）

∵∠B=∠1 ∠1=∠2 ∴∠B=∠2（等量代换）

∵∠C=∠3 ∠3=∠4 ∴∠C=∠4（等量代换）

∵∠A=∠AFD ∠AFD=∠HDP ∴∠A=∠HDP（等量代换）

∵∠2＋∠4＋∠HDP=180?（平角定义）

∴∠A＋∠B＋∠C=180?

B

G


C









2
4
A
3
E

D

F
H

1
P


三角形三个内角的和等于180?
三角形内角和定理：
（2）基础知识巩固训练
1、 求出下列图形中x的值：（教材P16）
39?
108?
x?
x?
x?
x?
72?
x?
(x?-36?)
x?+36?
x?
x?
2. （1）如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、钝角或直角三角形



A
（2）在△ABC中，
A、30° B、60°
C、90° D、120°

C
3、在 △ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°。求△ABC各内角的度数
解：∵∠B＝∠A+10°,∠C＝∠B+10°(已知）
∴∠C=∠A+10°+10°＝∠A+20°
∵∠ A+∠B+∠C＝180°
∴∠A+（∠A+10°）+（∠A+20°）＝180°
∴∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°
4、一个直角三角形最多有几个直角？
一个三角形最多有几个钝角？
至少有几个锐角？
请证明你的结论。
一个直角三角形最多有一个直角，一个三角形最多有一个钝角，至少有两个锐角。
5. 已知：在△ABC中， ∠BAC=40°， ∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
C


B
A
D
C
解：
6. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东50°方向，B 岛在 A 岛的北偏东80 °方向，C 岛在 B 岛的北偏西40 °方向。从 C 岛看 A、B 两岛的视角∠ACB是多少度？



北
东
西
南

F
.
A
D

.
C
B


.
E


50°

80°

40°


北
东
西
南


北
东
西
南
（图中AD∥BE）

30°

H


A

.
C


.
D

50°

80°


北
东
西
南

30°

B
.
E

40°


北
东
西
南



F
A

.
C


.
D

50°


北
东
西
南

B
.
E

40°


北
东
西
南



A

.
C



.
D

50°


北
东
西
南

B
.
E

40°


北
东
西
南
H


A

.
C

.
D

50°


北
东
西
南

B
.
E

40°


北
东
西
南


(3）能力提高训练

1. 在△ABC中，如果∠A=∠B－∠C,那么这个三角形是（ ）
A . 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
2. 锐角三角形任意两个内角的和必大于（ ）
A . 90 ° B. 100 ° C. 110 ° D. 120°
拓展：三角形和锐角三角形最大的角的取值范围分别是？

3. 如图，△ABC中，∠B=∠ACB,CD是高，求证 2∠BCD=∠A




A
B
C
D


B
A
证明: 在△ABC中, ∠A=180°－(∠B+∠ACB)
∵ ∠B=∠ACB
∴ ∠A=180°－ 2∠B=2(90°－∠B)
在Rt △ BCD中, ∠BCD=90°－∠B.
∴ 2∠BCD=∠A
[60 °， 180°） [60 °， 90°）
4. 如图，在△ＡＢＣ中，AD⊥BC，垂足为D，AE是 ∠BAＣ的平分线，交BC于E（ ∠B＞ ∠C）。
（1）若∠C=45 °，∠B=65 °，求∠DAE的度数；
（2）试写出∠DAE与∠B和∠C之间的关系式。
A
B
C
D





E


解：⑴∵∠C=45 °， ∠B=65 °，
∴ ∠BAC=70 °
AE是∠BAC的平分线，∴ ∠BAE=35°
∴ ∠AED=180°－65°－35° =80 °

∵ AD⊥BC ∴ ∠ADE=90 °，∠DAE=10 °

⑵∠DAE= （∠B － ∠C）
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