人教A版高中数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课件(共68张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课件(共68张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-12 12:23:02 | ||
图片预览
文档简介
(共68张PPT)
空间点、直线、平面之间的位置关系
长方体的面给我们以平面的印象；生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象。
实物引入、揭示课题
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
实例引入
观察
1、平面的含义
以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的。平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。
常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象；一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
2、平面的画法及表示
①平面的画法：
在立体几何中，常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成450，且横边长画成邻边长的两倍；
D
C
A
B
画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画。
α
β
α
β
②、平面的表示方法
D
C
A
B
平面ABCD
平面AC或平面BD
A
D
C
B
E
F
平面
记作：
平面
记作：
平面
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．
3、点、直线与平面的关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.
A
B
α
点A在平面α内，记作A∈α
B
·
·
A
·
.
.
m
点B在平面α外，
记作B?α
直线l在平面α内表示为
l?α
直线l不在平面α内表示为 l?α
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 ，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界； ( )
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是可以计算的； ( )
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
练习
思考
4、平面的基本性质
如果直线 l 与平面α有一个公共点，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l 与
平面α有两个公共点呢？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
图形语言
符号语言
B
·
·
A
·
.
.
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内.
用途:可以用来判断直线是否在平面内.
4、平面的基本性质
在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理．这些公理是进一步推理的基础．
生活中经常看到用三角架支撑照相机．或测量用的平板仪等等……
4、平面的基本性质
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
A
C
B
存在性
唯一性
作用：
确定平面的主要依据．
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．
4、平面的基本性质
补充3个推论：
4、平面的基本性质
推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
B
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B ？为什么？
思考
4、平面的基本性质
观察长方体，你能发现长方体的两个相交平面有没有公共直线吗？
观察
这条公共直线B’C’叫做这两个平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交线．
另一方面，相邻两个平面有一个公共点，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一个公共点B’，经过点B有且只有一条过该点的公共直线B’C’.
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
作用：
①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
l
P
4、平面的基本性质
符号表示为:
图形表示为:
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
l
A
B
a
l
P
b
（1）
（2）
解：在（1）中，
在（2）中，
例题示范
课堂练习：课本P44?练习1、2、3、4
补练：
①有三个公共点的两个平面重合
②梯形的四个顶点在同一个平面内
③三条互相平行的直线必共面
④ 四条线段顺次首尾连接，构成平面图形
2、下列命题正确的是 （ ）
A、两条直线可以确定一个平面
B、一条直线和一个点可以确定一个平面
C、空间不同的三点可以确定一个平面
D、两条相交直线可以确定一个平面
1、下列命题中，正确的命题是( )
A、圆上三点可以确定一个平面
B、圆心和圆上两点可确定一个平面
C、四条平行直线不能确定五个平面
D、空间四点中，若四点不共面，则任意三点不共线
4、若给定空间三条直线共面的条件，这四个条
件中不正确的是（ ）
①三条直线两两相交 ② 三条直线两两平行
③三条直线中有两条 ④平行三条直线共点
3、在空间中，下列命题错误的是（ ）
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
①直线 在平面 内；
错误
随堂练习
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
②设正方形ABCD与 的中心分别为O， ，则平面 与平面 的交线为 ；
正确
随堂练习
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
③由点A，O，C可以确定一个平面；
错误
随堂练习
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
④由 确定的平面是 ；
⑤由 确定的平面与由 确定的平面是同一个平面．
正确
正确
随堂练习
空间图形
文字叙述
符号表示
知识小结
实例引入平面
平面的画法和表示
点和平面的位置关系
平面三个公理
2.1.2空间中两直线的位置关系
判断下列命题对错：
1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点。 （ ）
3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点必在同一个平面内。 （ ）
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ）
5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可以确定一个平面。 （ ）
平面有关知识（复习 ）
?
?
?
?
?
判断下列直线的位置关系:
1、竖直的两条电线杆所在的直线
思考:在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系?
2、十字路口的两条路所在的直线
3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧
所在的直线
空间的两直线呢?
l
m
P
m
l
图1
图2
l
l
l
l
一、空间中两直线的位置关系
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）
不同在任何一个平面内
1、异面直线
判断：
直线m和l是异面直线吗?
α
β
l
m
m
l
(1)
(2) ,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
1、相交
2、平行
m
l
只有一个公共点
没有公共点
在同一平面
2、空间中两直线的三种位置关系
3、异面直线
m
P
l
没有公共点
不同在任一平面
m
l
P
探究:
H
G
C
A
D
B
E
F
G
H
E
F(B)
(C)
D
A
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?相交直线有几对?平行直线有几对?
二、空间直线的平行关系
若a∥b，b∥c,
1、平行关系的传递性
c
a
a
b
c
c
公理4 平行于同一直线的两直线互相平行
a
α
则a∥c
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？
C1
A
B
C
D
A1
B1
D1
练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1
的位置是什么关系？
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：
欲证EFGH是一个平行四边形
只需证EH∥FG且EH＝FG
E，F，G，H分别是各边中点
连结BD,只需证：
EH ∥BD且EH ＝ BD
FG ∥BD且FG ＝ BD
A
B
D
E
F
G
H
C
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
A
B
D
E
F
G
H
C
∵ EH是△ABD的中位线
∴EH ∥BD且EH = BD
同理，FG ∥BD且FG = BD
∴EH ∥FG且EH =FG
∴EFGH是一个平行四边形
证明：
连结BD
变式一：
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
E
H
F
G
A
B
C
D
分析：
在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。
菱形
变式二：
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且 ，
求证:四边形ABCD为梯形.
A
B
C
D
E
H
F
G
分析：需要证明四边形ABCD有
一组对边平行，但不相等。
3.?等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3.?等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
两直线的夹角：
两直线相交所成的4个角中,其中不大于
的角叫做两直线的夹角
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，
在空间中任选一点O，
过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′，
a
b
P
a′
b′
O
则这两条线所成
的锐角θ（或直角），
θ
称为异面直线a，b所成的角。
？
任选
O
a′
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。
异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ的取值范围：
平移
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所成的角：
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角；
2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
1）AB与CC1；
2）A1 B1与AC；
3）A1B与D1B1。
B1
C
C1
A
B
D
A1
D1
1）AB与CC1所成的角
= 9 0°
2）A1 B1与AC所成的角
= 4 5°
3）A1B与D1B1所成的角
= 6 0°
2）与棱BB1垂直的棱有：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
AD、
A1D1、
DC、
D1C1、
A1B1、
AB、
B1C1、
BC、
相交：
异面：
垂直
相交垂直
异面垂直
B1
C
C1
A
B
D
A1
D1
1）直线AD1与B1C所成的夹角
9 0°
例题示范
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'?中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA'?和CC'?的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA'?垂直？
解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线
成异面直线的有直线
，
例题示范
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'?中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA'?和CC'?的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA'?垂直？
解：（2）由 可知，
等于异面直线 与
的夹角,所以异面直线
与 的夹角为450 。
(3) 直线
与直线 都垂直.
填空：
1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 ________三种。
2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是
________直线。
3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系
有______________。
4 、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。
5 、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。
平行
相交
异面
平行
异面
无数
无数
相交、异面
1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。( )
2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。 ( )
3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。 ( )
4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。 ( )
?
?
?
?
判断对错：
练习反馈：
1. 判断:
（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ?）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行?.?（ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.????（ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.?（???）????
√
×
√
√
×
×
练习反馈：
2．选择题
?（1）“a，b是异面直线”是指?①?a∩b=Φ,且a不平行于b；②?a ?平面a，b?平面b且a∩b=Φ ③?a??平面a，b??平面a?④?不存在平面a，能使a??a且b??a成立
上述结论中，正确的是 （???）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （???）
?（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对
C
C
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（??）
?（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线
?（C）可能是平行直线
（D）可能是异面直线，也可能是相交直线
（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是(? )
（A）平行 （B）相交
（C）异面 （D）相交或异面
3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？???
答：不一定，还可能异面．
D
D
4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？
答：三种：相交，平行，异面．
5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
6．选择题
?（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （? ）
?（A）异面 （B）平行
（C）相交 （D）以上都有可能??
（2）异面直线a,b满足a??a,b??b,a∩b=l,
则l与a,b的位置关系一定是（? ）
(A)l至多与a，b中的一条相交;
(B)l至少与a，b中的一条相交;
(C)l与a,b都相交;
(D)l至少与a，b中的一条平行.
D
B
（3）两异面直线所成的角的范围是 （ ）
（A）（0°,90°） （B）[0°,90°)
（C）（0°,90°] （D）[0°,90°]
7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
?（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行???????????（???）
?（2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变???????（??）
?（3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形?????????????????（???）
C
×
√
×
课堂小结：
这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；
证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”?
?
作业布置:
P51 A组3、4（1）（2）（3）、5、6.
2.1.3《空间中直线与
平面之间的位置关系》
复习引入：
1、空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
2.公理4的内容是什么?
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
3.等角定理的内容是什么?
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
4.等角定理的推论是什么?
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
5.什么是异面直线?什么是异面直线所成的角?
什么是异面直线垂直?异面直线定理的内容是什么?
研探新知
（1）一支笔所在直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
（2）如图，线段A1B所在直线与长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面所在平面有几种位置关系？
α
a
直线与平面α相交
α
A
a
a
α
直线与平面α平行
a∥α
无交点
直线在平面α内
有无数个交点
a?α
a ∩ α= A
有且只有一个交点
结论:
直线与平面的位置关系有且只有三种：
例1、下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线 上有无数个点不在平面α内，则
②若直线 与平面α平行，则 与平面α内的任意一条直线平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④若直线 与平面α平行，则 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
（A）0 （B） 1
（C）2 （D） 3
例题示范:
分析：可以借助长方体模型来看上述问题是否正确。
问题（1）不正确，相交时也符合。
问题（2）不正确，
如右图中，A'B与
平面DCC'D’平行，
但它与CD不平行。
问题（3）不正确。
另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC'D’平行，但直线CD?平面DCC'D’
问题（4）正确，所以选（B）。
例题示范:
例2?已知直线a在平面α外，则 （???）
（A）a∥α??? ?（B）直线a与平面α至少有一个公共点 （C）a?α=A
（D）直线a与平面α至多有一个公共点。
例题示范:
D
巩固练习:?
1．选择题
（1）以下命题（其中a,b表示直线，a表示平面）
①若a∥b，b?a，则a∥a???②若a∥a，b∥a，则a∥b ③若a∥b，b∥a，则a∥a???④若a∥a，b?a，则a∥b 其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
A
2.已知a∥a，b∥a，则直线a，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；
④相交；⑤不垂直且不相交.??
其中可能成立的有 （???）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
3.如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是a，则直线AB和平面a的位置关系一定是（???）
（A）平行 （B）相交???
（C）平行或相交??（D）AB ?a
巩固练习:?
D
C
巩固练习:?
4.已知m，n为异面直线，m∥平面a，n∥平面b，a∩b=l，则l （???）
（A）与m，n都相交??????
（B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交???
（D）与m，n中一条相交
C
5.完成教材P49?练习?
2.1.4空间两个平面之间的位置关系
（一）两个平面的位置关系:
1. 观察实例;
2. 两个平面的位置关系:
(1) 两个平面平行——没有公共点；
(2) 两个平面相交——有一条公共直线；
3. 两个平面平行的画法:
（2）不正确画法
O
4. 两个平面相交的画法:
空间点、直线、平面之间的位置关系
长方体的面给我们以平面的印象；生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象。
实物引入、揭示课题
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
实例引入
观察
1、平面的含义
以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的。平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。
常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象；一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
2、平面的画法及表示
①平面的画法：
在立体几何中，常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成450，且横边长画成邻边长的两倍；
D
C
A
B
画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画。
α
β
α
β
②、平面的表示方法
D
C
A
B
平面ABCD
平面AC或平面BD
A
D
C
B
E
F
平面
记作：
平面
记作：
平面
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．
3、点、直线与平面的关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.
A
B
α
点A在平面α内，记作A∈α
B
·
·
A
·
.
.
m
点B在平面α外，
记作B?α
直线l在平面α内表示为
l?α
直线l不在平面α内表示为 l?α
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 ，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界； ( )
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是可以计算的； ( )
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
练习
思考
4、平面的基本性质
如果直线 l 与平面α有一个公共点，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l 与
平面α有两个公共点呢？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
图形语言
符号语言
B
·
·
A
·
.
.
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内.
用途:可以用来判断直线是否在平面内.
4、平面的基本性质
在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理．这些公理是进一步推理的基础．
生活中经常看到用三角架支撑照相机．或测量用的平板仪等等……
4、平面的基本性质
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
A
C
B
存在性
唯一性
作用：
确定平面的主要依据．
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．
4、平面的基本性质
补充3个推论：
4、平面的基本性质
推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
B
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B ？为什么？
思考
4、平面的基本性质
观察长方体，你能发现长方体的两个相交平面有没有公共直线吗？
观察
这条公共直线B’C’叫做这两个平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交线．
另一方面，相邻两个平面有一个公共点，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一个公共点B’，经过点B有且只有一条过该点的公共直线B’C’.
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
作用：
①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
l
P
4、平面的基本性质
符号表示为:
图形表示为:
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
l
A
B
a
l
P
b
（1）
（2）
解：在（1）中，
在（2）中，
例题示范
课堂练习：课本P44?练习1、2、3、4
补练：
①有三个公共点的两个平面重合
②梯形的四个顶点在同一个平面内
③三条互相平行的直线必共面
④ 四条线段顺次首尾连接，构成平面图形
2、下列命题正确的是 （ ）
A、两条直线可以确定一个平面
B、一条直线和一个点可以确定一个平面
C、空间不同的三点可以确定一个平面
D、两条相交直线可以确定一个平面
1、下列命题中，正确的命题是( )
A、圆上三点可以确定一个平面
B、圆心和圆上两点可确定一个平面
C、四条平行直线不能确定五个平面
D、空间四点中，若四点不共面，则任意三点不共线
4、若给定空间三条直线共面的条件，这四个条
件中不正确的是（ ）
①三条直线两两相交 ② 三条直线两两平行
③三条直线中有两条 ④平行三条直线共点
3、在空间中，下列命题错误的是（ ）
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
①直线 在平面 内；
错误
随堂练习
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
②设正方形ABCD与 的中心分别为O， ，则平面 与平面 的交线为 ；
正确
随堂练习
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
③由点A，O，C可以确定一个平面；
错误
随堂练习
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
④由 确定的平面是 ；
⑤由 确定的平面与由 确定的平面是同一个平面．
正确
正确
随堂练习
空间图形
文字叙述
符号表示
知识小结
实例引入平面
平面的画法和表示
点和平面的位置关系
平面三个公理
2.1.2空间中两直线的位置关系
判断下列命题对错：
1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点。 （ ）
3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点必在同一个平面内。 （ ）
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ）
5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可以确定一个平面。 （ ）
平面有关知识（复习 ）
?
?
?
?
?
判断下列直线的位置关系:
1、竖直的两条电线杆所在的直线
思考:在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系?
2、十字路口的两条路所在的直线
3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧
所在的直线
空间的两直线呢?
l
m
P
m
l
图1
图2
l
l
l
l
一、空间中两直线的位置关系
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）
不同在任何一个平面内
1、异面直线
判断：
直线m和l是异面直线吗?
α
β
l
m
m
l
(1)
(2) ,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
1、相交
2、平行
m
l
只有一个公共点
没有公共点
在同一平面
2、空间中两直线的三种位置关系
3、异面直线
m
P
l
没有公共点
不同在任一平面
m
l
P
探究:
H
G
C
A
D
B
E
F
G
H
E
F(B)
(C)
D
A
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?相交直线有几对?平行直线有几对?
二、空间直线的平行关系
若a∥b，b∥c,
1、平行关系的传递性
c
a
a
b
c
c
公理4 平行于同一直线的两直线互相平行
a
α
则a∥c
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？
C1
A
B
C
D
A1
B1
D1
练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1
的位置是什么关系？
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：
欲证EFGH是一个平行四边形
只需证EH∥FG且EH＝FG
E，F，G，H分别是各边中点
连结BD,只需证：
EH ∥BD且EH ＝ BD
FG ∥BD且FG ＝ BD
A
B
D
E
F
G
H
C
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
A
B
D
E
F
G
H
C
∵ EH是△ABD的中位线
∴EH ∥BD且EH = BD
同理，FG ∥BD且FG = BD
∴EH ∥FG且EH =FG
∴EFGH是一个平行四边形
证明：
连结BD
变式一：
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
E
H
F
G
A
B
C
D
分析：
在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。
菱形
变式二：
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且 ，
求证:四边形ABCD为梯形.
A
B
C
D
E
H
F
G
分析：需要证明四边形ABCD有
一组对边平行，但不相等。
3.?等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3.?等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
两直线的夹角：
两直线相交所成的4个角中,其中不大于
的角叫做两直线的夹角
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，
在空间中任选一点O，
过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′，
a
b
P
a′
b′
O
则这两条线所成
的锐角θ（或直角），
θ
称为异面直线a，b所成的角。
？
任选
O
a′
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。
异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ的取值范围：
平移
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所成的角：
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角；
2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
1）AB与CC1；
2）A1 B1与AC；
3）A1B与D1B1。
B1
C
C1
A
B
D
A1
D1
1）AB与CC1所成的角
= 9 0°
2）A1 B1与AC所成的角
= 4 5°
3）A1B与D1B1所成的角
= 6 0°
2）与棱BB1垂直的棱有：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
AD、
A1D1、
DC、
D1C1、
A1B1、
AB、
B1C1、
BC、
相交：
异面：
垂直
相交垂直
异面垂直
B1
C
C1
A
B
D
A1
D1
1）直线AD1与B1C所成的夹角
9 0°
例题示范
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'?中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA'?和CC'?的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA'?垂直？
解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线
成异面直线的有直线
，
例题示范
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'?中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA'?和CC'?的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA'?垂直？
解：（2）由 可知，
等于异面直线 与
的夹角,所以异面直线
与 的夹角为450 。
(3) 直线
与直线 都垂直.
填空：
1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 ________三种。
2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是
________直线。
3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系
有______________。
4 、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。
5 、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。
平行
相交
异面
平行
异面
无数
无数
相交、异面
1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。( )
2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。 ( )
3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。 ( )
4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。 ( )
?
?
?
?
判断对错：
练习反馈：
1. 判断:
（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ?）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行?.?（ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.????（ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.?（???）????
√
×
√
√
×
×
练习反馈：
2．选择题
?（1）“a，b是异面直线”是指?①?a∩b=Φ,且a不平行于b；②?a ?平面a，b?平面b且a∩b=Φ ③?a??平面a，b??平面a?④?不存在平面a，能使a??a且b??a成立
上述结论中，正确的是 （???）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （???）
?（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对
C
C
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（??）
?（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线
?（C）可能是平行直线
（D）可能是异面直线，也可能是相交直线
（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是(? )
（A）平行 （B）相交
（C）异面 （D）相交或异面
3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？???
答：不一定，还可能异面．
D
D
4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？
答：三种：相交，平行，异面．
5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
6．选择题
?（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （? ）
?（A）异面 （B）平行
（C）相交 （D）以上都有可能??
（2）异面直线a,b满足a??a,b??b,a∩b=l,
则l与a,b的位置关系一定是（? ）
(A)l至多与a，b中的一条相交;
(B)l至少与a，b中的一条相交;
(C)l与a,b都相交;
(D)l至少与a，b中的一条平行.
D
B
（3）两异面直线所成的角的范围是 （ ）
（A）（0°,90°） （B）[0°,90°)
（C）（0°,90°] （D）[0°,90°]
7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
?（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行???????????（???）
?（2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变???????（??）
?（3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形?????????????????（???）
C
×
√
×
课堂小结：
这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；
证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”?
?
作业布置:
P51 A组3、4（1）（2）（3）、5、6.
2.1.3《空间中直线与
平面之间的位置关系》
复习引入：
1、空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
2.公理4的内容是什么?
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
3.等角定理的内容是什么?
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
4.等角定理的推论是什么?
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
5.什么是异面直线?什么是异面直线所成的角?
什么是异面直线垂直?异面直线定理的内容是什么?
研探新知
（1）一支笔所在直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
（2）如图，线段A1B所在直线与长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面所在平面有几种位置关系？
α
a
直线与平面α相交
α
A
a
a
α
直线与平面α平行
a∥α
无交点
直线在平面α内
有无数个交点
a?α
a ∩ α= A
有且只有一个交点
结论:
直线与平面的位置关系有且只有三种：
例1、下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线 上有无数个点不在平面α内，则
②若直线 与平面α平行，则 与平面α内的任意一条直线平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④若直线 与平面α平行，则 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
（A）0 （B） 1
（C）2 （D） 3
例题示范:
分析：可以借助长方体模型来看上述问题是否正确。
问题（1）不正确，相交时也符合。
问题（2）不正确，
如右图中，A'B与
平面DCC'D’平行，
但它与CD不平行。
问题（3）不正确。
另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC'D’平行，但直线CD?平面DCC'D’
问题（4）正确，所以选（B）。
例题示范:
例2?已知直线a在平面α外，则 （???）
（A）a∥α??? ?（B）直线a与平面α至少有一个公共点 （C）a?α=A
（D）直线a与平面α至多有一个公共点。
例题示范:
D
巩固练习:?
1．选择题
（1）以下命题（其中a,b表示直线，a表示平面）
①若a∥b，b?a，则a∥a???②若a∥a，b∥a，则a∥b ③若a∥b，b∥a，则a∥a???④若a∥a，b?a，则a∥b 其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
A
2.已知a∥a，b∥a，则直线a，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；
④相交；⑤不垂直且不相交.??
其中可能成立的有 （???）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
3.如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是a，则直线AB和平面a的位置关系一定是（???）
（A）平行 （B）相交???
（C）平行或相交??（D）AB ?a
巩固练习:?
D
C
巩固练习:?
4.已知m，n为异面直线，m∥平面a，n∥平面b，a∩b=l，则l （???）
（A）与m，n都相交??????
（B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交???
（D）与m，n中一条相交
C
5.完成教材P49?练习?
2.1.4空间两个平面之间的位置关系
（一）两个平面的位置关系:
1. 观察实例;
2. 两个平面的位置关系:
(1) 两个平面平行——没有公共点；
(2) 两个平面相交——有一条公共直线；
3. 两个平面平行的画法:
（2）不正确画法
O
4. 两个平面相交的画法: