2020中考数学总复习 第四章 统计与概率
4.2 概率初步
课标解读
能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率.
知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率.
知识梳理
知识点一 事件的分类
1.必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件，如：一个锐角的补角是钝角.
2.不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件，如：太阳每天从西方升起.
3.不确定事件（随机事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，如：抛掷一枚硬币，正面向上.
知识点二 概率
1.定义：对于一个随机事件A，把刻画其发生的可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）.
2.取值范围：在n次重复试验中，事件A发生的频数m满足，所以0≤≤1，进而可知频率所稳定到的常数P满足0≤P≤1，因此0≤P（A）≤1.
3.规律：
（1）必然事件的概率：P（A）=1.
（2）不可能事件的概率：P（A）=0.
（3）随机事件的概率：随机事件发生的概率应为.
知识点三 概率的计算
列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率.
画树状图法：当一次试验要涉及3个或更多因素时，通常采用画树状图法来求事件发生的概率.
运用公式：P（事件）=（k表示事件发生的次数，n表示所有可能的结果数）.
【温馨提示】用画树状图法列举出的结果看起来一目了然，当事件经过过个步骤（三步或三步以上）完成时，用画树状图法求事件的概率很有效.
知识点四 频率和概率的区别与联系
频率：试验中，某事件出现的次数与总次数的比值.
概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，就有一个概率存在.而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，但当试验次数充分扩大后，频率在概率的附近摆动，为了求出一个事件的概率，我们可以通过多次试验，用所得的频率来估计事件的概率.
基础训练
1．下列事件中是随机事件的有( )
①地球自转的同时也在绕太阳公转 ②打开数学课本时刚好翻到第51页 ③从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上 ④小红经过十字路口时，遇到绿灯 ⑤的值比8大
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的是( )
A．“任意画出一个圆，它是中心对称图形”是随机事件
B．为了解我省中学生的视力情况，应采用普查的方式
C．天气预报明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数不一定是5次
3.如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡发光的概率是 ）
A. B. C. D.
4．如图，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清前面哪条路通往外婆家，那么他能一次选对路的概率是（ ）
A. B. C. D.1
5. 如图，反比例函数（k﹤0）的图像与⊙相交．某同学
在⊙内做随机扎针实验，针头落在阴影区域内的概率为 ．
6．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有5个红球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么推算出n大约是 .
7.王强与李刚两位同学在学习“概率”时．做抛骰子(均匀正方体形状)实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
6
9
5
8
16
10
（1）请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率；
（2）王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次．”
请判断王强和李刚说法的对错；
如果王强与李刚各抛一枚骰子．求出现向上点数之和为3的倍数的概率．
8．为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，东营市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动(每人只参加一个活动)，九年级某班全班同学都参加了志愿服务活动，班长为了解志愿服务活动的情况，收集整理数据后，绘制成以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)求该班的人数；
(2)请把折线统计图补充完整；
(3)求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；
(4)小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率．
能力提升
1.在某次国际乒乓球单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛，那么下列事件为必然事件的是（ ）
A．冠军属于中国选手 B．冠军属于外国选手
C．冠军属于中国选手甲 D．冠军属于中国选手乙
2. 在-4，-2，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a，b的值，则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为______.
3.某学校举行物理实验操作测试，准备了三项不同的实验，要求每位同学只参加其中一项实验，由学生自己抽签确定做哪项实验.在这次测试中，小亮和大刚恰好做同一项实验的概率是 .
4.有9张卡片，分别写有这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则关于x的不等式组有解的概率为：
5.现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型．若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率．（要求：用列表或画树状图的方法解答）
6.质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，同时投掷两枚，观察朝上一面的数字．
（1）求数字“1”出现的概率；
（2）求两个数字之和为偶数的概率．
7.央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注。我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图。请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”。
（1）被调查的总人数是 人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为 .
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有 人；
（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率。
解：（2）图略
体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：
组别
个数段
频数
频率
1
0≤x＜10
5
0.1
2
10≤x＜20
21
0.42
3
20≤x＜30
a
4
30≤x＜40
b
（1）表中的数a＝ ，b＝ ；
（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；
（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．
中考真题
1．（2019，襄阳）下列说法错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率是1
B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生
D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
2．（2019，宜昌）在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，903班共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3.（2017，恩施）小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是（ D ）
B. C. D.
4.（2016，恩施）有张看上去无差别的卡片，上面分别写着，，，，，.随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是（）
A． B． C． D．
5．（2018，恩施）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 度；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
6．（2019，黄冈）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），
先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕A，B，C，D表示）
2020中考数学总复习 第四章 统计与概率
4.2 概率初步
课标解读
能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率.
知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率.
知识梳理
知识点一 事件的分类
1.必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件，如：一个锐角的补角是钝角.
2.不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件，如：太阳每天从西方升起.
3.不确定事件（随机事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，如：抛掷一枚硬币，正面向上.
知识点二 概率
1.定义：对于一个随机事件A，把刻画其发生的可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）.
2.取值范围：在n次重复试验中，事件A发生的频数m满足，所以0≤≤1，进而可知频率所稳定到的常数P满足0≤P≤1，因此0≤P（A）≤1.
3.规律：
（1）必然事件的概率：P（A）=1.
（2）不可能事件的概率：P（A）=0.
（3）随机事件的概率：随机事件发生的概率应为.
知识点三 概率的计算
列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率.
画树状图法：当一次试验要涉及3个或更多因素时，通常采用画树状图法来求事件发生的概率.
运用公式：P（事件）=（k表示事件发生的次数，n表示所有可能的结果数）.
【温馨提示】用画树状图法列举出的结果看起来一目了然，当事件经过过个步骤（三步或三步以上）完成时，用画树状图法求事件的概率很有效.
知识点四 频率和概率的区别与联系
频率：试验中，某事件出现的次数与总次数的比值.
概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，就有一个概率存在.而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，但当试验次数充分扩大后，频率在概率的附近摆动，为了求出一个事件的概率，我们可以通过多次试验，用所得的频率来估计事件的概率.
基础训练
1．下列事件中是随机事件的有( C )
①地球自转的同时也在绕太阳公转 ②打开数学课本时刚好翻到第51页 ③从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上 ④小红经过十字路口时，遇到绿灯 ⑤的值比8大
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的是( D )
A．“任意画出一个圆，它是中心对称图形”是随机事件
B．为了解我省中学生的视力情况，应采用普查的方式
C．天气预报明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数不一定是5次
3.如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡发光的概率是（ B ）
A. B. C. D.
4．如图，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清前面哪条路通往外婆家，那么他能一次选对路的概率是（ B ）
A. B. C. D.1
5. 如图，反比例函数（k﹤0）的图像与⊙相交．某同学
在⊙内做随机扎针实验，针头落在阴影区域内的概率为 ．
6．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有5个红球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么推算出n大约是 25 .
7.王强与李刚两位同学在学习“概率”时．做抛骰子(均匀正方体形状)实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
6
9
5
8
16
10
（1）请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率；
（2）王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次．”
请判断王强和李刚说法的对错；
如果王强与李刚各抛一枚骰子．求出现向上点数之和为3的倍数的概率．
解：（1）点数为3的频率是，点数为5的频率是.
他们的说法均错.
点数之和为3的倍数的概率为.
8．为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，东营市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动(每人只参加一个活动)，九年级某班全班同学都参加了志愿服务活动，班长为了解志愿服务活动的情况，收集整理数据后，绘制成以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)求该班的人数；
(2)请把折线统计图补充完整；
(3)求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；
(4)小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率．
解：(1)该班全部人数：12÷25%＝48.
(2)48×50%＝24，补全折线统计图如图所示：
(3)×360°＝45°.
(4)分别用“1，2，3，4”代表“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个服务活动，列表如下：
小明
小丽
1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
则所有等可能的情况有16种，其中他们参加同一活动的情况有4种，所以他们参加同一服务活动的概率为＝.
能力提升
1.在某次国际乒乓球单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛，那么下列事件为必然事件的是（A ）
A．冠军属于中国选手 B．冠军属于外国选手
C．冠军属于中国选手甲 D．冠军属于中国选手乙
2. 在-4，-2，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a，b的值，则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为___________.
3.某学校举行物理实验操作测试，准备了三项不同的实验，要求每位同学只参加其中一项实验，由学生自己抽签确定做哪项实验.在这次测试中，小亮和大刚恰好做同一项实验的概率是 .
4.有9张卡片，分别写有这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则关于x的不等式组有解的概率为：
5.现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型．若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率．（要求：用列表或画树状图的方法解答）
解：树状图如下： 共有9种情况，两次都为O型的有4种情况，所以概率是
6.质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，同时投掷两枚，观察朝上一面的数字．
（1）求数字“1”出现的概率；
（2）求两个数字之和为偶数的概率．
解：（1）P（数字“1”出现）=
数字之和为偶数的情况有18种，则P（数字之和为偶数）=
7.央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注。我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图。请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”。
（1）被调查的总人数是 50 人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为 216° .
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有 180 人；
（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率。
解：（2）图略
（4）由树形图可得出：共有20种情况，两个学生性别相同的情况数有8种，
开始
女 女 女 男 男
女 女 男 男女 女 男 男 女 女 男 男 女 女 女 男 女 女 女 男
所以两个学生性别相同的概率为=.
体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：
组别
个数段
频数
频率
1
0≤x＜10
5
0.1
2
10≤x＜20
21
0.42
3
20≤x＜30
a
4
30≤x＜40
b
（1）表中的数a＝ ，b＝ ；
（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；
（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．
解（1）抽查了九年级学生数：5÷0.1＝50（人），
20≤x＜30的人数：50×＝20（人），即a＝20，
30≤x＜40的人数：50﹣5﹣21﹣20＝4（人），
b＝＝0.08，
故答案为20，0.08；
（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×（1﹣0.1）＝405（人），
答：该九年级排球垫球测试结果小于10的人数为405人；
（3）列表如下
∴P（选出的2人为一个男生一个女生的概率）＝＝．
中考真题
1．（2019，襄阳）下列说法错误的是（ C ）
A．必然事件发生的概率是1
B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生
D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
2．（2019，宜昌）在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，903班共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是（ B ）
A． B． C． D．
3.（2017，恩施）小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是（ D ）
B. C. D.
4.（2016，恩施）有张看上去无差别的卡片，上面分别写着，，，，，.随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是（B）
A． B． C． D．
5．（2018，恩施）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a= 2 ，b= 45 ，c= 20 ；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 72 度；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
解：（3）画树状图，如图所示：
共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，
故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）= = ．
6．（2019，黄冈）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），
先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕A，B，C，D表示）
解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷15%＝200（人）；
（2）书画的人数为200×25%＝50（人），戏曲的人数为200﹣（50+80+30）＝40（人），
补全图形如下：
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为1200×＝240（人）；
（4）列表得：
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为＝．
