(共28张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
新知导入
问题1： 除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
问题2： 怎样研究这类图形？
先看看我们是怎样研究矩形和菱形的．
新知导入
一个角是直角
一组邻边相等
平行四边形
矩形
菱形
新知导入
问题3：观察这些图片，你有什么发现？这些四边形有什么共同特征？
各边相等，四个角都是直角……
新知导入
矩 形
〃
〃
问题4：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
正方形
新知导入
问题5 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
正方形
新知讲解
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
归纳总结
新知讲解
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
归纳
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
新知讲解
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.??正方形 是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4条
A
B
C
D
新知讲解
正 方 形 的 性 质
边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言
符号语言
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行， 四条边都相等
四个角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD 是正方形∴AB∥CD, AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C
=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OC,OB=OD
轴对称图形 中心对称图形
新知讲解
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直
角三角形.
A
D
C
B
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角
线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO
是全等的等腰直角三角形.
分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.
新知讲解
A
D
C
B
O
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
新知讲解
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
新知讲解
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
新知讲解
例3 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一
点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
A
B
D
C
F
E
新知讲解
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
A
B
D
F
E
C
M
课堂练习
1.（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.为什么？
（2）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板呢？
解：由已知，对折后可得：所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方形纸片。
解：在长方形最长的两边，截取长度等于“长方形的短边的长度”，这样就可以截出面积最大的正方形
课堂练习
2.如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在 AB边上取定了一点E，测量知，EC= 30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？
解：根据勾股定理：
BC2= EC2- EB2 = 302 – 102 = 800
∴BC=
∴这块场地的面积=
= 800
对角线AC =
= 40
30
10
课堂练习
4.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （ ）
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
A
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
课堂练习
5．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
6.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第3题图
第4题图
45°
拓展提高
1. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
A
B
D
C
F
E
拓展提高
延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°,
∴∠CBE+∠F=90° ,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
A
B
D
F
E
C
M
课堂总结
一个角是直角
1.正方形的概念：
一组邻边相等
平行四边形
矩形
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
课堂总结
正方形具有_____的性质，同时又具有______的性质．
边：对边________，四边_________；
角：四个角都是________；
线：对角线相等，互相________，每条对角线平分一组________．
形：是_______________对称图形.
菱形
矩形
直角
都相等
相等
轴对称和中心
平分
对角
2.正方形的性质：
板书设计
18.2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
作业布置
课后作业：课本59页练习第2题。
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第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
教学目标
1．掌握正方形的概念、性质，并会运用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别
重点难点
重点
掌握正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
难点
正方形与矩形、菱形的关系及正方形的性质的灵活运用．
教学设计
新知导入
问题1： 除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
（PPT2展示正方形图片，同时出示问题2）
问题2： 怎样研究这类图形？先看看我们是怎样研究矩形和菱形的．
（PPT3展示平行四边形、矩形、菱形之间的关系）
问题3：观察这些图片，你有什么发现？这些四边形有什么共同特征？
（PPT4展示正方形图片，鼓励学生从身边的实际生活中再找一些正方形图片）
问题4：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
（教师用PPT5动画展示）
问题5 ：菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
（教师用PPT65动画展示）
新知讲解
归纳总结
（PPT7展示动画过程，让学生自己总结正方形的定义，最后教师总结，展示定义）
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
（PPT8展示平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系）
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.??正方形 是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
（PPT10展示正方形性质，学生总结归纳，教师总结展示）
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直
角三角形.
（PPT11展示题目和图片，学生自己作答，教师检查点评，PPT12展示解答过程）
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
（PPT13展示题目和图片，学生自己作答，教师检查点评，PPT14展示解答过程）
例3 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一
点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
（PPT15展示题目和图片，学生自己作答，教师检查点评，PPT15、PPT16展示解答过程）
课堂练习
1.（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.为什么？
（2）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板呢？
2.如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在 AB边上取定了一点E，测量知，EC= 30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
4.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （ ）
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
5．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
6.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
拓展提高
1. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°,
∴∠CBE+∠F=90° ,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
.
课堂总结
1.正方形的概念：
2.正方形的性质：
正方形具有_____的性质，同时又具有______的性质．
边：对边________，四边_________；
角：四个角都是________；
线：对角线相等，互相________，每条对角线平分一组________．
形：是_______________对称图形.
板书设计
六、作业设计
课后作业：课本59页练习第2题。
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