(共26张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
第2课时 正方形的判定
新知导入
问题1 你能用一张矩形纸片，折出一个最大的正方形吗？
新知导入
问题2 如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成正方形．请说说图中∠1的变化过程．
新知导入
问题3 你是如何判断是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
新知讲解
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
结论 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
新知讲解
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
结论 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
新知讲解
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
总结归纳
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
新知讲解
例1 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.
解：(1) 是正方形，根据平行四边形判定法；(2) 是正方形，根据矩形判定法. (3) 是正方形,根据菱形判定法.(4) 是正方形，根据上述其中一个判定方法皆可.
新知讲解
例2 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
新知讲解
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
新知讲解
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形ADFC是正方形.
例3 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
新知讲解
例4 如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；
新知讲解
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
课堂练习
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
课堂练习
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
C
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA
=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
课堂练习
4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
D
课堂练习
5.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分?ABC , P是BD上一点,过点P作PM?AD , PN?CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证：?ADB=?CDB;
(2) 若?ADC=90?,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
1
2
课堂练习
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
课堂练习
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
拓展提高
1.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
拓展提高
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
课堂总结
1 .定义法：
2.矩形法：
4.对角线法：
一邻边相等
一个直角
+
+
平行四边形
=
正方形
3.菱形法：
一邻边相等
+
矩形
=
正方形
一个直角
+
菱形
=
正方形
互相平分
+
互相垂直
相等
+
=
正方形
板书设计
18.2.3 正方形
第1课时 正方形的判定
有一组邻边相等的矩形
有一个内角是直角的菱形
对角线互相平分且垂直相等的四边形
正方形的判定
对角线法
定义法
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
矩形法
菱形法
作业布置
课后作业：课本61页习题18.2第12题。
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第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
第2课时 正方形的判定
教学目标
1、掌握正方形的判定方法。
2、理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别
重点难点
重点
掌握正方形的判定条件．
难点
运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算．
教学设计
新知导入
问题1： 你能用一张矩形纸片，折出一个最大的正方形吗？
（PPT2展示图片）
问题2： 如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成正方形．请说说图中∠1的变化过程
（PPT3展示平推拉门图片）
问题3：你是如何判断是矩形、菱形？
（PPT4展示四边形、平行四边形、矩形、菱形之间的关系）
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
新知讲解
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
（PPT5展示动画过程，让学生自己动手操作一下，最后教师总结，展示结果）
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
（PPT6展示动画过程，让学生自己动手操作一下，最后教师总结，展示结果）
总结归纳
正方形判定的几条途径：
（PPT7展示结论）
例1 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.
（PPT8展示题目和解答结果，提问学生回答，教师总结点评）
例2 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
（PPT9展示题目、图片，引导学生分析题目，学生自行解答，教师总结、点评，PPT10最后展示解答过程）
例3 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
（PPT11展示题目、图片，引导学生分析题目，学生自行解答，教师总结、点评，最后展示解答过程）
例4 如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（PPT12、PPT13展示题目、图片，引导学生分析题目，学生自行解答，教师总结、点评，最后展示解答过程）
课堂练习
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA
=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
5.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证：ADB=CDB;
(2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.
拓展提高
1.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
.
课堂总结
板书设计
六、作业设计
课后作业：课本61页习题18.2第12题。
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