2020中考数学总复习 第六章 三角形
6.2等腰三角形
课标解读
1.理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质与判定.
2.掌握等边三角形的性质与判定.
知识梳理
知识点一：等腰三角形及其性质与判定
1.有两边相等的三角形是等腰三角形，其中，底边和腰相等的等腰三角形是等边三角形.
2.等腰三角形的性质
（1）两腰相等，两个底角相等，简称为“等边对等角”；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”；
（3）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，是底边上的高所在的直线.
3.等腰三角形的判定
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）有两个内角相等的三角形是等腰三角形，即等角对等边.
知识点二：等边三角形的性质与判定
1.等边三角形的每个内角都等于，它是轴对称图形，有3条对称轴；
2.三边相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形.
知识点三：角平分线的性质定理及其逆定理
1.角平分线上的点到角的两边距离相等；
2.在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
知识点四：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
1.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
2.到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
基础训练
1.一个等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
2.若△ABC是等腰三角形，且有一个内角为50o，则∠A的度数为（ ）
A.50o B.80o C.50o或80o D.50o或65o
3.如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90o，过点A的直线m//l，若∠1=30o，则∠2的大小为（ ）
A.135o B.120o C.105o D.90o
4.如图2，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF//BC交AB于点E，交AC于点F，若BE+CF=10 ，则线段EF的长为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
5.等腰三角形的底角为40o，则顶角为.
6.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，当∠B=54o时，∠CAD=.
7.如图3，在△ABC中，AB=BC，∠B=20o，在AB边上任取一点D，在CA的延长线上取点A1，使AA1=AD，连接A1D，得到第二个△AA1D，再在边A1D上任取一点E，在CA1的延长线上取点A2，使A1A2=A1E，连接A2E，得到第三个△A1A2E，...，如此不断地操作下去，得到的第2020个三角形的最小内角的度数为
8.如图4，已知AB=AC，BD=CD，AD的延长线交BC于点E.
求证：AE⊥BC.
能力提升
1.如图5，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CD=3，点P是OB上一动点，则CP的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所得的锐角为50o，则∠A的度数为（ ）
A. B. C. D.
3.如图6，点P是边长为的等边△ABC的边AC上一动点，点Q是△ABC的中线CD上的动点，则AQ+PQ的最小值是（）
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8,6)，在坐标轴上找一点P使△OAP是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
5.如图7，在△ABC中，AB=BC，过点A作DE//BC，若∠1=40o，则∠2=.
6.在边长为6的等边三角形ABC中，D为BC边上任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=
7.如图8，在△ABC中，∠BAC=124o，若MP，NQ分别垂直平分AB，AC，则∠PAQ=
8.如图9，已知AD是△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，且∠CAE=∠B.EF⊥AD，垂足为F.
求证：∠AEF=∠BEF.
中考真题
1.（2018，达州）如图10，△ABC的周长为19，点D，E在BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（ ）
A. B.2 C. D.3
2．（2019，鄂州）如图11，在平面直角坐标系中，A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3...△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．
则Sn可表示为（ ）
A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3
3.（2018，南宁）如图12，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70o，则∠C= .
4.（2018，邵阳）如图13，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36o，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，，使点A落在点C处.若，则BC的长是.
2020中考数学总复习 第六章 三角形
6.2等腰三角形
课标解读
1.理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质与判定.
2.掌握等边三角形的性质与判定.
知识梳理
知识点一：等腰三角形及其性质与判定
1.有两边相等的三角形是等腰三角形，其中，底边和腰相等的等腰三角形是等边三角形.
2.等腰三角形的性质
（1）两腰相等，两个底角相等，简称为“等边对等角”；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”；
（3）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，是底边上的高所在的直线.
3.等腰三角形的判定
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）有两个内角相等的三角形是等腰三角形，即等角对等边.
知识点二：等边三角形的性质与判定
1.等边三角形的每个内角都等于，它是轴对称图形，有3条对称轴；
2.三边相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形.
知识点三：角平分线的性质定理及其逆定理
1.角平分线上的点到角的两边距离相等；
2.在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
知识点四：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
1.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
2.到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
基础训练
1.一个等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，则这个等腰三角形的周长是（ B ）
A. B. C. 或 D. 或
2.若△ABC是等腰三角形，且有一个内角为50o，则∠A的度数为（ C ）
A.50o B.80o C.50o或80o D.50o或65o
3.如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90o，过点A的直线m//l，若∠1=30o，则∠2的大小为（ C ）
A.135o B.120o C.105o D.90o
4.如图2，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF//BC交AB于点E，交AC于点F，若BE+CF=10 ，则线段EF的长为（ D ）
A.7 B.8 C.9 D.10
5.等腰三角形的底角为40o，则顶角为100o.
6.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，当∠B=54o时，∠CAD=36o.
7.如图3，在△ABC中，AB=BC，∠B=20o，在AB边上任取一点D，在CA的延长线上取点A1，使AA1=AD，连接A1D，得到第二个△AA1D，再在边A1D上任取一点E，在CA1的延长线上取点A2，使A1A2=A1E，连接A2E，得到第三个△A1A2E，...，如此不断地操作下去，得到的第2020个三角形的最小内角的度数为
8.如图4，已知AB=AC，BD=CD，AD的延长线交BC于点E.
求证：AE⊥BC.
证明：在△ABD和△ACD中，
≌
能力提升
1.如图5，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CD=3，点P是OB上一动点，则CP的最小值为（ C ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所得的锐角为50o，则∠A的度数为（ D ）
A. B. C. D.
3.如图6，点P是边长为的等边△ABC的边AC上一动点，点Q是△ABC的中线CD上的动点，则AQ+PQ的最小值是（C）
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8,6)，在坐标轴上找一点P使△OAP是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ D ）
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
5.如图7，在△ABC中，AB=BC，过点A作DE//BC，若∠1=40o，则∠2=70o.
6.在边长为6的等边三角形ABC中，D为BC边上任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=
7.如图8，在△ABC中，∠BAC=124o，若MP，NQ分别垂直平分AB，AC，则∠PAQ=68o.
8.如图9，已知AD是△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，且∠CAE=∠B.EF⊥AD，垂足为F.
求证：∠AEF=∠BEF.
中考真题
1.（2018，达州）如图10，△ABC的周长为19，点D，E在BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（ C ）
A. B.2 C. D.3
2．（2019，鄂州）如图11，在平面直角坐标系中，A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3...△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．
则Sn可表示为（ D ）
A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3
3.（2018，南宁）如图12，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70o，则∠C=35o .
4.（2018，邵阳）如图13，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36o，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，，使点A落在点C处.若，则BC的长是.
