2020中考数学总复习 第六章 三角形
6.3 直角三角形与勾股定理
课标解读
理解并掌握直角三角形的概念、性质及判定.
掌握并运用特殊直角三角形的性质：角所对的直角边等于斜边的一半.
理解并会运用勾股定理.
知识梳理
知识点一 直角三角形的性质
1.两锐角 互余 .
2.直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 .
3.角所对的直角边等于 斜边的一半 .
4.勾股定理：两直角边的 平方和 等于斜边的平方.
知识点二 直角三角形的判定
1.定义法：有一个角是 直角 的三角形是直角三角形.
2.如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
3.勾股定理的逆定理：在一个三角形中，如果 其中两边的平方和 等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
基础训练
1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A.,2, B.1,, C.1, 2,3 D.2,3,4
2.在△ABC中，∠ACB=，∠A=，CD ⊥AB,则∠BCD=
3.在Rt△ABC中，AC=3,BC=4,则AB的值为（ ）
A. B.5 C. 或5 D.无法确定
4.在△ABC中，∠C=,∠B=,边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=2，则BC的长为（ ）
A.4 B.6 C. D.
5. △ABC的三边长分别为 a,b,c,则满足下列条件的三角形是直角三角形的是（ ）
A. ∠A: ∠B: ∠C=1: :3 B.a:b:c=1:2:3
C. ∠A=∠B=∠C D. ∠A+∠B=1800-∠C
6. 如图：在Rt△ABC中, ∠ACB=,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD=4cm，则EF= cm.
7.已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200,DE垂直平分AC交BC于点D,垂足为E，若DE=2cm,则BC= .
8．某农场对一块直角三角形的菜地进行改造，测得两直角边长分别为6米、8米，现将其扩建成等腰三角形.且扩充部分是以8米为直角边的直角三角形，求扩建后的等腰三角形菜地的周长.
图1 图2
能力提升
1.在矩形ABCD中，AB=3,BC=1,AB在数轴上的位置如图所示，若以A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于M，则点M所表示的实数为（ ）
A.2 B. C. D.
2.在△ABC中，∠ACB=900,M、N分别时AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6，则DN=
3.已知a,b,c是△ABC的三条边，且满足，则△ABC的形状为 .
4.圆形玻璃瓶的高为12cm，底边周长为18cm，在瓶内离瓶底4cm的点A处有一颗米粒，此时有一只蚂蚁正好在瓶外壁离瓶口4cm且与米粒相对的点B处，则蚂蚁要想吃到米粒所走的最短路程为 cm.
5.正方形ABCD的边长为，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以等腰三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，按照此规律继续下去，则S2014的值为（ ）
A. B. C. D.
6.在矩形ABCD中，BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C,,B C,交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A. B.3 C. D.5
7.在四边形ABCD中，∠ABC=，AC=AD,M、N分别是AC、CD的中点，连接BM、MN、BN.
(1)求证：BM=MN;
（2）若∠BAD=600,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长
第7题图 第8题图
8.在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AC、BD相交于点E，点G、H分别是AC、BD的中点.
（1）求证：HG⊥AC;
(2)当AC=8cm,BD=10cm时，求GH的长.
中考真题
1.（2019，襄阳）如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
2.（2019，恩施）如图3，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF. 把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，得到折痕BM. 若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( )
B. C.8 D.
3.(2018，黄石)如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
4.(2019，山西)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
5.（2018，黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=( )
A.2 B.3 C.4 D.2
6．（2019，武汉）如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为_______
7． （2019，浙江）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为：
2020中考数学总复习 第六章 三角形
6.3 直角三角形与勾股定理
课标解读
理解并掌握直角三角形的概念、性质及判定.
掌握并运用特殊直角三角形的性质：角所对的直角边等于斜边的一半.
理解并会运用勾股定理.
知识梳理
知识点一 直角三角形的性质
1.两锐角 互余 .
2.直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 .
3.角所对的直角边等于 斜边的一半 .
4.勾股定理：两直角边的 平方和 等于斜边的平方.
知识点二 直角三角形的判定
1.定义法：有一个角是 直角 的三角形是直角三角形.
2.如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
3.勾股定理的逆定理：在一个三角形中，如果 其中两边的平方和 等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
基础训练
1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ B ）
A.,2, B.1,, C.1, 2,3 D.2,3,4
2.在△ABC中，∠ACB=，∠A=，CD ⊥AB,则∠BCD= 700 ；
3.在Rt△ABC中，AC=3,BC=4,则AB的值为（ C ）
A. B.5 C. 或5 D.无法确定
4.在△ABC中，∠C=,∠B=,边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=2，则BC的长为（ B ）
A.4 B.6 C. D.
5. △ABC的三边长分别为 a,b,c,则满足下列条件的三角形是直角三角形的是（ C ）
A. ∠A: ∠B: ∠C=1: :3 B.a:b:c=1:2:3
C. ∠A=∠B=∠C D. ∠A+∠B=1800-∠C
6. 如图：在Rt△ABC中, ∠ACB=,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD=4cm，则EF= 4 cm.
7.已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200,DE垂直平分AC交BC于点D,垂足为E，若DE=2cm,则BC= 12cm .
8．某农场对一块直角三角形的菜地进行改造，测得两直角边长分别为6米、8米，现将其扩建成等腰三角形.且扩充部分是以8米为直角边的直角三角形，求扩建后的等腰三角形菜地的周长.
图1 图2
解：①如图1，AC=DC=6,BC=8,AB=DB=10,菜地的周长为32米，面积为12×8÷2=48平方米。
②如图2，AC=6,BC=8,CD=4,AB=AD=10,BD=,菜地的周长为（20+）米，面积为10×8÷2=40平方米
能力提升
1.在矩形ABCD中，AB=3,BC=1,AB在数轴上的位置如图所示，若以A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于M，则点M所表示的实数为（ C ）
A.2 B. C. D.
2.在△ABC中，∠ACB=900,M、N分别时AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6，则DN= 3
3.已知a,b,c是△ABC的三条边，且满足，则△ABC的形状为 等腰直角三角形 .
4.圆形玻璃瓶的高为12cm，底边周长为18cm，在瓶内离瓶底4cm的点A处有一颗米粒，此时有一只蚂蚁正好在瓶外壁离瓶口4cm且与米粒相对的点B处，则蚂蚁要想吃到米粒所走的最短路程为 15 cm.
5.正方形ABCD的边长为，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以等腰三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，按照此规律继续下去，则S2014的值为（ C ）
A. B. C. D.
6.在矩形ABCD中，BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C,,B C,交AD于点E，则线段DE的长为（ A ）
A. B.3 C. D.5
7.在四边形ABCD中，∠ABC=，AC=AD,M、N分别是AC、CD的中点，连接BM、MN、BN.
(1)求证：BM=MN;
（2）若∠BAD=600,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长
(1)证明:由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AC,由三角形的中位线的性质可得MN=AD.因为AC=AD,所以BM=MN.
(2)∵AC=2,BM=AC,MN=BM,∴BM=MN=1
∵∠BAD=600,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=300,∴∠MCB=600.
∵M是AC的中点，∴BM=MC=AC,∴△BCM是等边三角形，∴∠BMC=600
∵MN是△ACD的中位线，∴MN∥AD,∴∠CMN=∠CAD=300
∴∠BMN=900,∴根据勾股定理BN=
第7题图 第8题图
8.在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AC、BD相交于点E，点G、H分别是AC、BD的中点.
（1）求证：HG⊥AC;
(2)当AC=8cm,BD=10cm时，求GH的长.
解：（1）证明：连接AH、CH
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以AH=CH=BD,
G是AC的中点，等腰三角形三线合一，所以HG⊥AC
(2)因为在直角三角形CHG中，CH=BD=5，CG=AC=4,所以GH=3
中考真题
1.（2019，襄阳）如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是（ B ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
2.（2019，恩施）如图3，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF. 把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，得到折痕BM. 若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( A )
B. C.8 D.
3.(2018，黄石)如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ C ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
4.(2019，山西)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ A ）
A. B. C. D.
5.（2018，黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=( C )
A.2 B.3 C.4 D.2
6．（2019，武汉）如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为__210_________
7． （2019，浙江）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： C ；
（2）错误的原因为： a2﹣b2 可能为0 ；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或者直角三角形或者等腰直角三角形．
