2020中考数学总复习 第六章 三角形
6.4 全等三角形
课标解读
1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角；
2. 掌握全等三角形的性质与判定，能运用其解决相关数学问题.
知识梳理
知识点一 全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫做对应角.
知识点二 全等三角形的性质与判定
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，其它对应元素（如对应中线、角平分线、高）也相等，周长相等，面积相等.
全等三角形的判定
（1）三条边分别相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS"
（2）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS"
（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角全等，简称“角边角”或“ASA"
（4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”
（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等地，简称“斜边、直角边”或“HL”)
三角形全等的证明思路
已知两边
已知一边一角
已知两角
基础训练
1. 已知与全等，，，则的度数是
A. B. C. 或 D. 或
如图1，已知，，从下列条件：；；；中添加一个条件，能使≌的有() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图2，在中，，M、N、K分别是PA、PB、AB上的点，且，，若，则的度数为 ．
A. B. C. D.
15.如图3，中，，于D，于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
16.如图4，AD是的角平分线，于点F，且，若，，则的面积为
17.如图5所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去玻璃店．
18.如图6，在中，，，点D在边BC上，，点E、F在线段AD上，若的面积为16，求与的面积之和．
能力提升
如图8，有一张三角形纸片ABC，已知，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()
2.小明在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图9，利用刻度尺在的两边OA，OB上分别取；利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；画射线则射线OP为LAOB的平分线小明这种画法的依据
A. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B. 两角及夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 C. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等
3.如图10，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：
恒成立；
的值不变；
四边形PMON的面积不变；
的长不变，其中正确的个数为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4.如图11，在中，，，D为AB的中点，，则的面积是．
5.以下结论：①各有一个角是，腰长都是8cm的两个等腰三角形全等；②两条边对应相等的两个直角三角形全等；③如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等；④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高线分别相等，那么这两个三角形全等；其中正确的有
6.如图12，在面积为16的四边形ABCD中，，，于点P，则DP的长是______．
7.如图13，已知，的平分线与的平分线相交于E，CE的连线交AP于求证：．
8.如图1所示，在中，，过点B作射线BE，过点C作射线CF，使，且射线BE、CF交于点D，过点A作于M．
（1）求证：；
（2）如图2所示，将射线BE、CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图所示的位置,
若仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过点A作于请问中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，线段BM、DM、DC又有怎样的数量关系？请证明你的结论．
中考真题
1.（2018,黄冈）如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC.
2. （2019，黄石）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
（1）求证：∠C＝∠BAD；
（2）求证：AC＝EF．
3. （2019,宜昌）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
4. （2019，河北）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
2020中考数学总复习 第六章 三角形
6.4 全等三角形
课标解读
1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角；
2. 掌握全等三角形的性质与判定，能运用其解决相关数学问题.
知识梳理
知识点一 全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫做对应角.
知识点二 全等三角形的性质与判定
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，其它对应元素（如对应中线、角平分线、高）也相等，周长相等，面积相等.
全等三角形的判定
（1）三条边分别相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS"
（2）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS"
（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角全等，简称“角边角”或“ASA"
（4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”
（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等地，简称“斜边、直角边”或“HL”)
三角形全等的证明思路
已知两边
已知一边一角
已知两角
基础训练
1. 已知与全等，，，则的度数是D
A. B. C. 或 D. 或
如图1，已知，，从下列条件：；；；中添加一个条件，能使≌的有(???C?) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图2，在中，，M、N、K分别是PA、PB、AB上的点，且，，若，则的度数为 C ．
A. B. C. D.
15.如图3，中，，于D，于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有D
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
16.如图4，AD是的角平分线，于点F，且，若，，则的面积为 6
17.如图5所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去玻璃店．
18.如图6，在中，，，点D在边BC上，，点E、F在线段AD上，若的面积为16，求与的面积之和．
解：，，
，， ，， 在和中， ≌；
的面积为16，， 的面积是：， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是4， 8. 如图7，在中，，，点D是线段AC上的点，点E是线段CB延长线上的点，且，连接DE交AB于点F，过点D作，垂足为G，求线段FG的长．
解：过D点作交AB于点H， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ≌，， ， ，，， ． 能力提升
如图8，有一张三角形纸片ABC，已知，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是(???C?)
2.小明在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图9，利用刻度尺在的两边OA，OB上分别取；利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；画射线则射线OP为LAOB的平分线小明这种画法的依据
A. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B. 两角及夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 C. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等
3.如图10，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：
恒成立；
的值不变；
四边形PMON的面积不变；
的长不变，其中正确的个数为 B
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4.如图11，在中，，，D为AB的中点，，则的面积是．
5.以下结论：①各有一个角是，腰长都是8cm的两个等腰三角形全等；②两条边对应相等的两个直角三角形全等；③如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等；④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高线分别相等，那么这两个三角形全等；其中正确的有 ②③
6.如图12，在面积为16的四边形ABCD中，，，于点P，则DP的长是___4___．
7.如图13，已知，的平分线与的平分线相交于E，CE的连线交AP于求证：．
证明：在AB上截取， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， ．
8.如图1所示，在中，，过点B作射线BE，过点C作射线CF，使，且射线BE、CF交于点D，过点A作于M．
（1）求证：；
（2）如图2所示，将射线BE、CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图所示的位置,
若仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过点A作于请问中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，线段BM、DM、DC又有怎样的数量关系？请证明你的结论．
解：证明：作于N，连接AD， ， ， 在与中， ABEACF?，AMBANC，，
?≌
，， 在与中，
AMAN，，
?≌
， ；
不成立，； 作于N，连接AD， ， ， 在与中，
ABEACF，AMBANC，，
?≌ ，， 在与中，AMAN，ADAD，≌ ， ．
中考真题
1.（2018,黄冈）如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC.
解：（1）证：∵口ABCD，
∴AB=CD=DE，BF=BC=AD
又∠ABC＝∠ADC，∠CBF＝∠CDE，
∴∠ABF＝∠ADE；
在△ABF与△EDA中，
AB＝DE
∠ABF＝∠ADE
BF=AD
∴△ABF≌△EDA.
（2）由（1）知∠EAD＝∠AFB，∠GBF＝∠AFB+∠BAF，
由口ABCD可得：AD∥BC，
∴∠DAG＝∠CBG，
∴∠FBC＝∠FBG+∠CBG＝∠EAD+∠FAB+∠DAG=∠EAF=90°，
∴BF⊥BC.
2. （2019，黄石）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
（1）求证：∠C＝∠BAD；
（2）求证：AC＝EF．
证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD+∠DAC＝90°
∴∠C＝∠BAD
（2）∵AF∥BC
∴∠FAE＝∠AEB
∵AB＝AE
∴∠B＝∠AEB
∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE
∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF
3. （2019,宜昌）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△DBE中，，
∴△ABE≌△DBE（SAS）；
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°．
4. （2019，河北）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠BAC＝∠DAE
即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE
∴∠BAD＝∠CAE．
（2）∵AD＝6，AP＝x，
∴PD＝6﹣x
当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．
（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，
∵AB⊥AC
∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，
∵I为△APC的内心
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣（90°﹣α+60°）
＝α+105°
∵0＜α＜90°，
∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m＝105，n＝150．
