2020中考数学总复习 第六章 三角形
6.6解直角三角形
课标解读
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单问题．
知识梳理：
1.直角三角形中，三边的关系满足.已知任意两边可求第三边.
2.直角三角形中两锐角∠A、∠B满足∠A+∠B=90°.
3.直角三角形中边和锐角通过锐角三角函数联系起来.
4.仰角和俯角：视线和水平线形成的夹角.
5.坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i=,把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角)，那么i==tana.
6.指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角.
基础训练
1.如图1，某超市自动扶梯的倾斜角∠ABC为31°，扶梯长AB为10米，则扶梯高AC的长为（ ）
A．10sin31°米 B．10cos31°米 C．10tan31°米 D.10米
如图2，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若 ，则BC的长为（ ）
A.10 B.8 C. D.
如图3，A、B、C分别是小正方形的三个顶点，且每个小正方形的边长均为1，则sin∠BAC的值为（ )
B. C.1 D.
4.如图4，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为m．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78).
5..如图5，在△ABC中，，，AB=3，则AC的长为.
6.如图6，如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22米，则旗杆CD的高度为m．(结果精确到0.1米．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)
7.如图7，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为多少米？（结果取整数，参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan53°≈1.2）
8.如图8，某山脚下西端A处与东端B处相距米，小王和小李同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走.已知山的西端的坡角为45°，东端的坡角为30°，小王的行走速度为米/秒.若小李与小王同时到达山顶C处，求小李的行走速度.
能力提升
1.如图9，河坝横断的迎水坡AB的坡比为3:4，BC=6m，则坡面AB的长为（ ）
A.6m B.8m C.10m D.12m
2.如图10，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠BAC=60°，∠DAC=70°，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A.2sin70° B.2cos70° C.2tan70° D.
3.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”（如图11所示），点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（栏杆宽度忽略不计．参考数据：）
4.2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞.如图12给出了一种机翼的示意图，其中m=1，n=，则AB的长为.
5.如图13，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是m（结果保留根号）.
6.如图14，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB高为1.5米，求拉线CE的长．(参考数据：≈1.732，≈1.414，结果精确到0.1米)
7.如图15，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度i＝1∶，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)
8.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后．因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处与公路的距离(结果不取近似值)．
中考真题
（2019，长春）如图17，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离C为( )
米 B.米 C.米 D.米
（2019，宜昌）如图18，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都是在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
B. C. D.
3.(2019，广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图19，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）( ）
A.3.2米 B.3.9米 C.4.7米 D.5.4米
4.（2019，咸宁）如图20所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB=30°，点D出测得∠ADB=60°，CD=80m,则河宽AB约为m(结果保留整数，）.
5.(2019，孝感）如图21，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=米.
6.(2019，荆州）如图22，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为 海里（结果保留整数）.（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5≈0.90，tan26.5°≈0.50，）
7.(2016，恩施）如图23，在办公楼AB和实验楼CD之间有一旗杆EF，从办公楼AB顶部A点处经过旗杆顶部E点恰好看到实验楼CD的底部D点，且俯角为45°，从实验楼CD顶部C点处经过旗杆顶部E点恰好看到办公楼AB的G点，BG=1米，且俯角为30°，已知旗杆EF=9米，求办公楼AB的高度.(结果精确到1米，参考数据：）
8.（2017，恩施）如图24，小明家在学校O的北偏东60°方向，距离学校80米的A处，小华家在学校O的南偏东45°方向的B处，小华家在小明家正南方向，求小华家到学校的距离.(结果精确到1米，参考数据：）
9.(2018，恩施）如图25，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离.(结果精确到1米，参考数据）
2020中考数学总复习 第六章 三角形
6.6解直角三角形
课标解读
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单问题．
知识梳理：
1.直角三角形中，三边的关系满足.已知任意两边可求第三边.
2.直角三角形中两锐角∠A、∠B满足∠A+∠B=90°.
3.直角三角形中边和锐角通过锐角三角函数联系起来.
4.仰角和俯角：视线和水平线形成的夹角.
5.坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i=,把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角)，那么i==tana.
6.指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角.
基础训练
1.如图1，某超市自动扶梯的倾斜角∠ABC为31°，扶梯长AB为10米，则扶梯高AC的长为（ A ）
A．10sin31°米 B．10cos31°米 C．10tan31°米 D.10米
如图2，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若 ，则BC的长为（ D ）
A.10 B.8 C. D.
如图3，A、B、C分别是小正方形的三个顶点，且每个小正方形的边长均为1，则sin∠BAC的值为（ )
B. C.1 D.
4.如图4，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为8.1m．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78).
5..如图5，在△ABC中，，，AB=3，则AC的长为.
6.如图6，如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22米，则旗杆CD的高度为15.1m．(结果精确到0.1米．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)
7.如图7，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为多少米？（结果取整数，参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan53°≈1.2）
解：在Rt△BCD中，tan∠BDC=,
则,
在Rt△ACD中,,
则，
∴
答：旗杆AB的高度约为3米.
8.如图8，某山脚下西端A处与东端B处相距米，小王和小李同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走.已知山的西端的坡角为45°，东端的坡角为30°，小王的行走速度为米/秒.若小李与小王同时到达山顶C处，求小李的行走速度.
解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=米，小李的速度为米/秒.
∵∠A=45°，CD⊥AB,
∴AD=CD=米， ∴AC=，
在Rt△BCD中，∠B=30°，
∴
∵小王的速度为米/秒，若小王与小李同时到达山顶C处，
∴ ∴米/秒
答：小李的行走速度为1米/秒.
能力提升
1.如图9，河坝横断的迎水坡AB的坡比为3:4，BC=6m，则坡面AB的长为（ ）
A.6m B.8m C.10m D.12m
2.如图10，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠BAC=60°，∠DAC=70°，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A.2sin70° B.2cos70° C.2tan70° D.
3.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”（如图11所示），点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（栏杆宽度忽略不计．参考数据：）
4.2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞.如图12给出了一种机翼的示意图，其中m=1，n=，则AB的长为.
5.如图13，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是m（结果保留根号）.
6.如图14，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB高为1.5米，求拉线CE的长．(参考数据：≈1.732，≈1.414，结果精确到0.1米)
解：∵AB＝10 m，BE＝26 m，
∴AE＝AB＋BE＝10＋26＝36(m)．
∴CE＝BE·tan45°＝26 m，
DE＝AE·tan30°＝36×＝12(m)．
∴CD＝CE－DE＝26－12≈5(m)．
答：这块广告牌的高度约为5 m．
7.如图15，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度i＝1∶，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)
解：过点B作BF⊥AE，交EA的延长线于点F，作BG⊥DE于G
在Rt△ABF中，
∴∠BAF=30°
∴BF=AB=5，AF=
∴BG=AF+AE=
在Rt△BGC中，∠DAE=60°，AE=15
∴DE=AE=
∴CD=CF+GE-DE=
答：宣传牌CD高约2.7米.
8.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后．因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处与公路的距离(结果不取近似值)．
解：过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F.
由题意得∠ABC＝30°，∠FCD＝45°，CD＝CB＝1 000米．
在Rt△BCE中，CE＝BC·sin30°＝1 000×＝500(米)．
在Rt△DCF中，DF＝DC·sin45°＝1 000×＝500(米)．
∵四边形AFCE为矩形，
∴AF＝CE.∴AD＝AF＋FD＝CE＋FD＝500＋500(米)．
故拦截点D处与公路距离为(500＋500)米．
中考真题
（2019，长春）如图17，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离C为( A )
米 B.米 C.米 D.米
（2019，宜昌）如图18，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都是在这些小正方形的顶点上，则的值为（ D ）
B. C. D.
3.(2019，广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图19，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）( C ）
A.3.2米 B.3.9米 C.4.7米 D.5.4米
4.（2019，咸宁）如图20所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB=30°，点D出测得∠ADB=60°，CD=80m,则河宽AB约为 69 m(结果保留整数，）.
5.(2019，孝感）如图21，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=米.
6.(2019，荆州）如图22，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为 22 海里（结果保留整数）.（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5≈0.90，tan26.5°≈0.50，）
7.(2016，恩施）如图23，在办公楼AB和实验楼CD之间有一旗杆EF，从办公楼AB顶部A点处经过旗杆顶部E点恰好看到实验楼CD的底部D点，且俯角为45°，从实验楼CD顶部C点处经过旗杆顶部E点恰好看到办公楼AB的G点，BG=1米，且俯角为30°，已知旗杆EF=9米，求办公楼AB的高度.(结果精确到1米，参考数据：）
解：由题可知：∠BAD=∠ADB=45°
∴FD=EF=9米，AB=BD=
在Rt△FEH中，,
即
∴ ∴PG=BD=BF+FD=
米≈23米
答：办公楼AB的高度约为23米.
8.（2017，恩施）如图24，小明家在学校O的北偏东60°方向，距离学校80米的A处，小华家在学校O的南偏东45°方向的B处，小华家在小明家正南方向，求小华家到学校的距离.(结果精确到1米，参考数据：）
解：如图，作OC⊥AB于C，由题有：
∠ACO=∠BCO=90°，∠AOC=30°，∠BOC=45°
在Rt△ACO中，∠ACO=90°，∠AOC=30°，
∴AC=AO=40m，OC=AC=m
在Rt△BOC中，∠BCO=90°，∠BOC=45°
∴BC=OC=m，
∴OB=米
答：小华家到学校的距离大约为98米.
9.(2018，恩施）如图25，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离.(结果精确到1米，参考数据）
解：由题意知∠MAC＝30°，∠NBC＝15°，
∴∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，∴∠C＝45°.
过点B作BE⊥AC，垂足为E.
在Rt△AEB中，
∵∠BAC＝60°，AB＝100米，
∴AE＝cos∠BAC·AB＝×100＝50(米)，
BE＝sin∠BAC·AB＝×100＝50(米)．
在Rt△CEB中，
∵∠C＝45°，BE＝50米，
∴CE＝BE＝50米，
∴AC＝AE＋CE＝50＋50≈137(米)．
答：旗台与图书馆之间的距离约为137米．
