2020中考数学总复习 第七章 四边形
7.3 矩形、菱形、正方形
课标解读
1.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质和判定定理.
2.探索并证明三角形的中位线定理.
知识梳理
知识点一 矩形
定义：有一个角是900的平行四边形叫做矩形.
性质：
边：矩形的对边平行且相等.
角：矩形的四个内角都是直角.
对角线：矩形的两条对角线相等.
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它有两条对称轴.
判定：
角：有一个角是直角的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线：对角线相等的平行四边形是矩形；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
知识点二 菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
性质：
边：菱形的四条边都相等.
角：对角相等，邻角互补.
对角线：菱形的两条对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角.
菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它有两条对称轴.
判定：
边：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四条边相等的四边形是菱形.
对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
面积：（1）可用平行四边形的面积计算公式，即底×高；（2）可用两条对角线乘积的一半，即若菱形的两条对角线长为a和b，则S菱形=ab.
知识点三 正方形
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
性质：
边：正方形的对边平行，四边相等.
角：正方形的四个角都是直角.
对角线：正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它有四条对称轴.
判定：
边：有一组邻边相等的矩形是正方形.
角：有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线：对角线互相垂直的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
既是矩形又是菱形的四边形是正方形.
基础训练
1.下列命题中，真命题是（ ）
A.?对角线互相平分且相等的四边形是矩形??????????B.?对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 C.?对角线互相平分且相等的四边形是菱形??????????D.?对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
2.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且OE=AE，则边BC的长为）
A. ???????????????????B.??????????????C.???????????????????D.
3.下列性质中，菱形具有而矩形不定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
4.如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是（ ）
?
A.?2.5?????????????????B.?5??????????????????????C.?2.4?????????????????D.?不确定
5.如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数
为（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
6.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF长为（ ）
A． B． C． D．
7、如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
8.我们给出如下的定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形中做中点四边形.
（1）如图1，四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内的一点，且满足PA=PB,PC=PD，∠APB=∠CPD.点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°.其它条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）.
.
能力提升
1.下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
正确的结论有（ ）个.
A．4 B．3 C．2 D．1
2.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，AD=2,DE=2，则四边形OCED的面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
3.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则等于（ ）
A． B． C． D．
4.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3,4），点D是OA的中的，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．4
6.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（ ）
A． B． C． D．10﹣
7.如图，?ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝.对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
(1)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(2)连接BF，DE，在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，请直接写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
8．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：
（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
．
中考真题
1.（2019.恩施）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF. 把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，得到折痕BM. 若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( )
B. C.8 D.
2.（2019.重庆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交
点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱
形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
3.（2019.江苏）如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E、F分别在AD,BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点，
连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；
当的周长最小时，求的值；
连接BP交EF于点M，当时，
求CP的长.
4．（2019.襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
①求证：DQ＝AE；
②推断：的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，
连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．
2020中考数学总复习 第七章 四边形
7.3 矩形、菱形、正方形
课标解读
1.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质和判定定理.
2.探索并证明三角形的中位线定理.
知识梳理
知识点一 矩形
定义：有一个角是900的平行四边形叫做矩形.
性质：
边：矩形的对边平行且相等.
角：矩形的四个内角都是直角.
对角线：矩形的两条对角线相等.
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它有两条对称轴.
判定：
角：有一个角是直角的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线：对角线相等的平行四边形是矩形；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
知识点二 菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
性质：
边：菱形的四条边都相等.
角：对角相等，邻角互补.
对角线：菱形的两条对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角.
菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它有两条对称轴.
判定：
边：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四条边相等的四边形是菱形.
对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
面积：（1）可用平行四边形的面积计算公式，即底×高；（2）可用两条对角线乘积的一半，即若菱形的两条对角线长为a和b，则S菱形=ab.
知识点三 正方形
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
性质：
边：正方形的对边平行，四边相等.
角：正方形的四个角都是直角.
对角线：正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它有四条对称轴.
判定：
边：有一组邻边相等的矩形是正方形.
角：有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线：对角线互相垂直的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
既是矩形又是菱形的四边形是正方形.
基础训练
1.下列命题中，真命题是（ A ）
A.?对角线互相平分且相等的四边形是矩形??????????B.?对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 C.?对角线互相平分且相等的四边形是菱形??????????D.?对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
2.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且OE=AE，则边BC的长为（ B?? ）
A. ???????????????????B.??????????????C.???????????????????D.
3.下列性质中，菱形具有而矩形不定具有的是（ C ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
4.如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是（ C ）
?
A.?2.5?????????????????B.?5??????????????????????C.?2.4?????????????????D.?不确定
5.如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数
为（ A ）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
6.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF长为（ B ）
A． B． C． D．
7、如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
(1)证明：∴△EAF≌△EDC．∴AF＝DC．∵AF＝BD，
∴BD＝DC，即D是BC的中点．
(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，
∴AD⊥BC．∴□AFBD是矩形
8.我们给出如下的定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形中做中点四边形.
（1）如图1，四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内的一点，且满足PA=PB,PC=PD，∠APB=∠CPD.点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°.其它条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）.
解：（1）证明：连接BD.证明略.
（2）四边形EFGH是菱形.
（3）当∠APB=∠CPD=90°时，
中点四边形EFGH是正方形.
能力提升
1.下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
正确的结论有（ C ）个.
A．4 B．3 C．2 D．1
2.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，AD=2,DE=2，则四边形OCED的面积为（ A ）
A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
3.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则等于（ C ）
A． B． C． D．
4.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3,4），点D是OA的中的，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为( B )
A. B. C. D.
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（ A ）
A． B．6 C． D．4
6.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（ B ）
A． B． C． D．10﹣
7.如图，?ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝.对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
(1)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(2)连接BF，DE，在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，请直接写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
解：△AOF≌△COE(ASA)，∴AF＝CE.
(2)若四边形BEDF是菱形，则BD⊥EF.
旋转角为45°.
8．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：
（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
解：（1）四边形ADEG是平行四边形.
（2）当四边形ADEG是矩形时，
∠DAG=90°.则∠BAC=135°.
（3）当∠BAC=135°，且AC＝AB时．
中考真题
1.（2019.恩施）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF. 把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，得到折痕BM. 若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( A )
B. C.8 D.
2.（2019.重庆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交
点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱
形的边相交，则图中阴影部分的面积为 2﹣π ．（结果保留π）
3.（2019.江苏）如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E、F分别在AD,BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点，
连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；
当的周长最小时，求的值；
连接BP交EF于点M，当时，
求CP的长.
解：（2）作E关于直线CD的对称点，连接交DC于点，当点P与点彼此重合时，△PEF的周长最小．
由△COF∽△CBA，得．∴．
∴．由，得．
（3）设BP交AC于点Q，作BN⊥AC于点N．
由．∴．
在Rt△ABN中，．∴．．
由AB∥CP，得△ABQ∽△CPQ，得．解得．
4．（2019.襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
①求证：DQ＝AE；
②推断：的值为 1 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，
连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．
（2）解：结论：＝k．
理由：如图2中，作GM⊥AB于M．
△ABE∽△GMF，∴＝，GM＝AD，
∴＝＝＝k．
（3）解：如图，作PM⊥BC交BC的延长线于M．
tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，
∴设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，
∵＝，FG＝2，∴AE＝3，
∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴K＝1或﹣1（舍弃），
△FBE∽△EMP，∴PC＝＝．
