2020中考数学总复习 第七章 四边形
7.2平行四边形
课标解读
1.理解平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性
2.探索平行四边形的性质和判定定理
3.探索并证明三角形中位线的性质定理
知识梳理
知识点一 平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形
知识点二 平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等；
（2）平行四边形的对角相等、邻角互补；
（3）平行四边形的对角线互相平分.
知识点三 平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）两对角线互相平分的四边形是平行四边形.
知识点三 三角形的中位线
概念：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线
性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
知识点四 两平行线之间的距离处处相等.
基础训练
1.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要添加的条件是（ ）
AB=CD B. ∠D=∠B C. AB=AD D.∠1=∠2
2.如图2，在(ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE=4，CE=3，则AB的长为（ ）。
A.2.5 B.3 C.4 D.5
如图3，在(ABCD中，∠A=60°，则∠B-∠C的度数为（ D ）
A.90° B.80° C.70° D.60°
4.(ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长为cm
5.如图4，在(ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A.2cm＜OA＜5cm B.1cm＜OA＜4cm C.2cm＜OA＜8cm D.3cm＜OA＜8cm
6.如图5，在口ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点G，则△DEF的面积是 ．
7.已知口ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥ AB ,DF⊥BC,点E，F为垂足，若DE＝5，DF=8,则BE+BF的长为 ．
8如图6，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形BFDE是平行四边形．
能力提升
1.有一块平行四边形玻璃板被摔碎成如图7所示的残片，现要利用这块残片在纸张上设计出原样，下列设计的各方案中，不能保证四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
2.在平面直角坐标系中，已知点M（1，1），N（-1，1），如果以M，N，O，P为顶点的四边形是平行四边形，那么满足条件的点P的坐标不可能为（ ）
A.（-2，0） B.（2，0） C（0，2） D.（0，-2）
3.平行四边形的周长为30cm，两组对边的距离分别为2cm、4cm，则这个平行四边形的面积为（ ）
A.10cm2 B.20cm2 C.25cm2 D.30cm2
4.一个平行四边形的一条边长为3，两对角线长分别为4和，则它的面积为 ；
5. 如图8，口ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC，交AD于点M，设△CDM的周长为m，那么口ABCD的周长为 ．
6.如图9，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，若AB=12,AC=18，则DM=
7.如图10，在(ABCD中，E为BC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长DC交FE的延长线于点G，连接DF，已知∠FDG=45°。
求证：GD=GF
已知BC=8 ，DF=，求CD的长
8.（2019，江西）在图11（1），（2），（3）中，已知平行四边形ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°.
如图11（1），当点E与点B重合时，∠CEF= °.
如图11（2），连接AF.
①填空：∠FAD ∠EAB（填“＞”、“＜”或“=”）；
②求证：点F在∠ABC的平分线上.
（3）如图11（3），连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值.
中考真题
1.（2017，恩施）如图12，在△ABC中，DE//BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
2.（2019，绵阳）如图13，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.（2019，武汉）如图14，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为_
4.（2019，南通）如图15，ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 ．
5.（2019，恩施）如图16，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点E，F，连接AF，CE. 试判断四边形AECF的形状，并证明.
6.（2019，重庆）如图17，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，
求△ACD的面积．
（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM+2CE．
2020中考数学总复习 第七章 四边形
7.2平行四边形
课标解读
1.理解平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性
2.探索平行四边形的性质和判定定理
3.探索并证明三角形中位线的性质定理
知识梳理
知识点一 平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形
知识点二 平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等；
（2）平行四边形的对角相等、邻角互补；
（3）平行四边形的对角线互相平分.
知识点三 平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）两对角线互相平分的四边形是平行四边形.
知识点三 三角形的中位线
概念：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线
性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
知识点四 两平行线之间的距离处处相等.
基础训练
1.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要添加的条件是（ B ）
AB=CD B. ∠D=∠B C. AB=AD D.∠1=∠2
2.如图2，在(ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE=4，CE=3，则AB的长为（ A ）。
A.2.5 B.3 C.4 D.5
如图3，在(ABCD中，∠A=60°，则∠B-∠C的度数为（ D ）
A.90° B.80° C.70° D.60°
4.(ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长为19cm
5.如图4，在(ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ B ）
A.2cm＜OA＜5cm B.1cm＜OA＜4cm C.2cm＜OA＜8cm D.3cm＜OA＜8cm
6.如图5，在口ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点G，则△DEF的面积是 ．
7.已知口ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥ AB ,DF⊥BC,点E，F为垂足，若DE＝5，DF=8,则BE+BF的长为 ．
8如图6，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形BFDE是平行四边形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD﹣AE=BC﹣CF， 即DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
能力提升
1.有一块平行四边形玻璃板被摔碎成如图7所示的残片，现要利用这块残片在纸张上设计出原样，下列设计的各方案中，不能保证四边形ABCD为平行四边形的是（ D ）
2.在平面直角坐标系中，已知点M（1，1），N（-1，1），如果以M，N，O，P为顶点的四边形是平行四边形，那么满足条件的点P的坐标不可能为（ D ）
A.（-2，0） B.（2，0） C（0，2） D.（0，-2）
3.平行四边形的周长为30cm，两组对边的距离分别为2cm、4cm，则这个平行四边形的面积为（ B ）
A.10cm2 B.20cm2 C.25cm2 D.30cm2
4.一个平行四边形的一条边长为3，两对角线长分别为4和，则它的面积为 ；
5. 如图8，口ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC，交AD于点M，设△CDM的周长为m，那么口ABCD的周长为 2m ．
6.如图9，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，若AB=12,AC=18，则DM=
7.如图10，在(ABCD中，E为BC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长DC交FE的延长线于点G，连接DF，已知∠FDG=45°。
求证：GD=GF
已知BC=8 ，DF=，求CD的长
解：（1）证明：∵EF⊥AB，∴∠GFB=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠DGF=∠GFB=90°
在△DGF中，已知∠FDG=45°，∴∠DFG=45° ，∴∠FDG=∠DFG
∴GD=GF
由（1）得DG2+GF2=DF2 又DF=6√2，∴GF=6
∵BC=8 ，点E是BC的中点 ∴CE=4
∵四边形ABCD是平行四边形∴∠GCE=∠B.
在△EBF和△ECG中，∠EFB=∠ECG=90°，CE=EB=4 ，∴△CGE≌△EBF，GE=3
△CGE是直角三角形，由勾股定理得GC=，∴CD=.
8.（2019，江西）在图11（1），（2），（3）中，已知平行四边形ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°.
如图11（1），当点E与点B重合时，∠CEF= 60 °.
如图11（2），连接AF.
①填空：∠FAD = ∠EAB（填“＞”、“＜”或“=”）；
②求证：点F在∠ABC的平分线上.
（3）如图11（3），连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值.
解：（2）②略 （3）
中考真题
1.（2017，恩施）如图12，在△ABC中，DE//BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ C ）
A.6 B.8 C.10 D.12
2.（2019，绵阳）如图13，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（ D ）
A. B. C. D.
3.（2019，武汉）如图14，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为___21o___
4.（2019，南通）如图15，ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 ．
5.（2019，恩施）如图16，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点E，F，连接AF，CE. 试判断四边形AECF的形状，并证明.
解：四边形AECF是菱形，证明（略）.
6.（2019，重庆）如图17，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，
求△ACD的面积．
（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM+2CE．
（1）解：作CG⊥AD于G，如图17（1）所示：
设PG＝x，则DG＝4﹣x，
在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2，
在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2
＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，
∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，解得：x＝1，即PG＝1，∴GC＝4，
∵DP＝2AP＝4，∴AD＝6，
∴S△ACD＝×AD×CG＝×6×4＝12；
（2）证明：连接NE，如图17（2）所示：
∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF
＝∠AEB+∠MEC＝90°，
∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC，
在△NBF和△EAF中，
∴△NBF≌△EAF（AAS），
∴BF＝AF，NF＝EF，
∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，FC＝AF＝BF，
∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF，
在△ANE和△ECM中，
∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴CM＝NE，
又∵NF＝NE＝MC，
∴AF＝MC+EC，
∴AD＝MC+2EC．
