2020中考数学总复习 第九章 圆
9.2与圆有关的位置关系
课标解读：
1.了解点与圆，直线与圆的位置关系.
2.了解切线的概念，掌握切线的判定和性质.
3.能判定一条直线是圆的切线.
4.会画圆的切线.
知识梳理：
知识点1：点与圆的位置关系 设圆的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有: 点P在圆外; 点P在圆上; 点P在圆内. 知识点2直能与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系:设圆的半径为r，圆O到直线的距离为d，则有: 直线和圆相交; 直线和圆相切; 直线和圆相离.
2.切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 切线的判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.一般方法 (1)当直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直. (2)当直线与圆的公共点未知时，作垂线证直线到圆心的距离等于圆的半径. (3)连接圆心和切点，构造直角三角形解题. 知识点3切线长
定义:经过圆外一点作圆的切线，这一点和切点的连线段的长度，叫做这点到圆的切线长. 定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等·圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 知识点4:三角形的内切圆 定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，这个圆叫做三角形的内切圆. 拓展:和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.
基础训练：
1. 在平面直角坐标系中，若⊙O的半径是5，圆心O的坐标是(0，0)，点P的坐标是(4，3)，则点P与⊙O的位置关系是( ?)
A.点P在⊙O内??? B. 点P在⊙O上??? C. 点P在⊙O外? ?D.无法确定
2. 已知⊙O的半径为2，直线上有一点P满足PO=2，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
3. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠D=40°，则∠A的度数为(???? )
A.20°?? ??????? B.25°?????? C.30°???? ???? D.40o
4.在△ABC中，点I是内心，若∠A=80°，则∠DEF=度.
5.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=，则的取值范围是．
6.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N.
求证：MN是⊙O的切线.
7.如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，
AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，
且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）求PD的长．
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.
如图⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G..
（1）求证内切圆的半径=1;
（2）求tan∠OAG的值；
能力提升：
1. 如图，直径为8的⊙A经过点C(0，4)和点O(0，0)，B是轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转( )
A.40°或80°? ? B.50°或100°? C.50°或110°? D.60°或120°
3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．
4.如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是．
5.如图①,在△ABC中,点D在边BC上,∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,⊙O是△ABD的外接圆. (1)求证:AC是⊙O的切线; (2)当BD是⊙O的直径时(如图②),求∠CAD的度数.
6.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,
点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长.
7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；
当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．
8.如图，AF为⊙O的直径，点在AF的延长线上，BE切⊙O于点E，过点A作,交BE的延长线交于点C，交⊙O交于点D，连接
求证： ；
；
中考真题：
1．（2015，恩施）如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，,点C是弧AH上异于A、H的动点，过C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过C点的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED．
(1) 求证：GC是⊙O的切线；
（2）求DE的长；
（3）过点C作CF⊥DE交DE于F，若∠CED=300，求CG的长．
2.（2016，恩施）如图，在⊙中，直径垂直弦于，过点作，过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点．连接并延长交⊙于点，连接．已知．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）求证：；
（3）求线段的长．
3．（2018，恩施）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．
（1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；
（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
4．（2019.恩施）如图，在⊙中，AB是直径，BC是弦，BC=BD，连接CD交⊙于点E，∠BCD=∠DBE.
求证：BD是⊙的切线.
过点E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE=，EG=3，求BG的长.
5．（2019.鄂州）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝ ，BC＝1，求PO的长．
2020中考数学总复习 第九章 圆
9.2与圆有关的位置关系
课标解读：
1.了解点与圆，直线与圆的位置关系.
2.了解切线的概念，掌握切线的判定和性质.
3.能判定一条直线是圆的切线.
4.会画圆的切线.
知识梳理：
知识点1：点与圆的位置关系 设圆的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有: 点P在圆外; 点P在圆上; 点P在圆内. 知识点2直能与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系:设圆的半径为r，圆O到直线的距离为d，则有: 直线和圆相交; 直线和圆相切; 直线和圆相离.
2.切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 切线的判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.一般方法 (1)当直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直. (2)当直线与圆的公共点未知时，作垂线证直线到圆心的距离等于圆的半径. (3)连接圆心和切点，构造直角三角形解题. 知识点3切线长
定义:经过圆外一点作圆的切线，这一点和切点的连线段的长度，叫做这点到圆的切线长. 定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等·圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 知识点4:三角形的内切圆 定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，这个圆叫做三角形的内切圆. 拓展:和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.
基础训练：
1. 在平面直角坐标系中，若⊙O的半径是5，圆心O的坐标是(0，0)，点P的坐标是(4，3)，则点P与⊙O的位置关系是( B?)
A.点P在⊙O内??? B. 点P在⊙O上??? C. 点P在⊙O外? ?D.无法确定
2. 已知⊙O的半径为2，直线上有一点P满足PO=2，则直线与⊙O的位置关系是（ D ）
A相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
3. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠D=40°，则∠A的度数为(??B?? )
A.20°?? ??????? B.25°?????? C.30°???? ???? D.40o
4.在△ABC中，点I是内心，若∠A=80°，则∠DEF=50度.
5.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=，则的取值范围是．
6.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N.
求证：MN是⊙O的切线.
证明：连接OM，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OM，∴∠B=∠OMB，∴∠OMB=∠C，∴OM∥AC，
∵MN⊥AC，∴OM⊥MN.∵点M在⊙O上，∴MN是⊙O的切线.
7.如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，
AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，
且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）求PD的长．
（1）证明：连接OA
∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°
又∵OA=OC,∴∠ACP=∠CAO=30°
∴∠AOP=60°
又∵AP=AC
∴∠P=∠ACP=30°
∠OAP=90°
∴OA⊥AP ∴ AP是⊙O的切线
（2）连接AD.
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.
如图⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G..
（1）求证内切圆的半径=1;
（2）求tan∠OAG的值；
解：（1）证明：连接OE,OF,OG
易证四边形CEOF是正方形
∴CE=CF=
又∵AG=3-,BG=BF=4-,AG+BG=5,
∴（3-）+（4-）=5
=1
（2）连接OA，
tan∠OAG=
能力提升：
1. 如图，直径为8的⊙A经过点C(0，4)和点O(0，0)，B是轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC等于( B )
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转( C )
A.40°或80°? ? B.50°或100°? C.50°或110°? D.60°或120°
3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是48．
4.如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是．
5.如图①,在△ABC中,点D在边BC上,∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,⊙O是△ABD的外接圆. (1)求证:AC是⊙O的切线; (2)当BD是⊙O的直径时(如图②),求∠CAD的度数.
解：(1)证明:如解图,连接OA、OD,设∠ABD=,
∵∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,∴∠ADB=3,∠ACB=2,
∴∠DAC=∠ADB－∠ACB=,∠AOD=2∠ABC=2,
∴∠OAD=90°－,
∴∠OAC=90°－＋=90°,∴OA⊥AC,∴AC是⊙O的切线. (2)解:∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=90°,∴∠ABC＋∠ADB=90°, ∵∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,∴4∠ABC=90°,∴∠ABC=22.5°,
∴∠ADB=67.5°, ∠ACB=45°,∴∠CAD=∠ADB－∠ACB=22.5°.
6.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,
点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长.
解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角
∴∠ABC=∠D =60°
（2）∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° .
∴∠BAC=30°
∴∠BAE =∠BAC＋∠EAC=30°＋60°=90°
即BA⊥AE
∴AE是⊙O的切线
（3） 如图，连结OC
∵OB=OC,∠ABC=60°∴△OBC是等边三角形
∴OB=BC=4 , ∠BOC=60°
∴∠AOC=120°
∴劣弧AC的长为
7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；
当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．
解：（1）当点P是BC的中点时，DP是⊙O的切线。
DP=
8.如图，AF为⊙O的直径，点在AF的延长线上，BE切⊙O于点E，过点A作,交BE的延长线交于点C，交⊙O交于点D，连接
求证： ；
；
解：（1）证明：连接OE交FD于点M
(2)证明：
（3）解：
中考真题：
1．（2015，恩施）如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，,点C是弧AH上异于A、H的动点，过C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过C点的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED．
(1) 求证：GC是⊙O的切线；
（2）求DE的长；
（3）过点C作CF⊥DE交DE于F，若∠CED=300，求CG的长．
证明：（1）. 连接CO
∵AB⊥OH，CD⊥OA，CE⊥OH，
∴
∴∠CED=∠COD，∠COD+∠DCO=900
又∵∠GCD=∠CED
∴∠OCG=∠GCD+∠DCO = ∠CED+∠DCO= ∠COD+∠DCO=900
即CO⊥GC 且OC为半径
∴GC是⊙O的切线
（2）在矩形ODCE中，DE=OC
∴
(3) 在Rt△ECD中
CD=，
又CFDE
在Rt△CFD中，sin= CF=
2.（2016，恩施）如图，在⊙中，直径垂直弦于，过点作，过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点．连接并延长交⊙于点，连接．已知．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）求证：；
（3）求线段的长．
证明：连接
又
又
是⊙的切线
（2） 在和中
又
∽
即
又
连接，设⊙半径为，则
在中，
解得
直径垂直于弦于
为的中点
又是的中点
是⊙的直径
在中，
3．（2018，恩施）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．
（1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；
（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
证明：（1）如图1，连接OD、BD，BD交OE于M，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵OE∥AD，∴OE⊥BD，
∴BM=DM，
∵OB=OD，∴∠BOM=∠DOM，
∵OE=OE，∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴DE为⊙O切线；
（2）设AP=a，
∵sin∠ADP==，∴AD=3a，
∴PD===2a，
∵OP=3﹣a，∴OD2=OP2+PD2，
∴32=（3﹣a）2+（2a）2，9=9﹣6a+a2+8a2，
a1=，a2=0（舍），
当a=时，AD=3a=2，
∴AD=2；
（3）PF=FD，
理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE，
∴△APF∽△ABE，
∴，
∴PF=，
∵OE∥AD，∴∠BOE=∠PAD，
∵∠OBE=∠APD=90°，∴△ADP∽△OEB，
∴，
∴PD=，
∵AB=2OB，∴PD=2PF，
∴PF=FD．
4．（2019.恩施）如图，在⊙中，AB是直径，BC是弦，BC=BD，连接CD交⊙于点E，∠BCD=∠DBE.
求证：BD是⊙的切线.
过点E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE=，EG=3，求BG的长.
证明：连接 AE
∵∠BCD=∠DBE，∠BCD=∠A∴∠DBE=∠A
∵AB是直径
∴∠AEB=90°
∴∠A+∠ABE=90°
∴∠DBE +∠ABE=90°，即: ∠ABD=90°
∴AB⊥BD
∵AB是直径，∴BD是⊙的切线
（2）∵AB⊥BD，EF⊥AB，∴EF∥BD，∴∠CEG=∠D
∵BC=BD
∴∠C=∠D
∴∠CEG=∠C
∴CG=EG=3
∵∠C=∠D，∠BCD=∠DBE，∴∠D=∠DBE
∴BE= DE=
易证△BEG～△BCE
∴BG=5
5．（2019.鄂州）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝ ，BC＝1，求PO的长．
证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连结AE，
∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PD为⊙O的切线，∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝，
在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，
∴AC＝，AO＝，
