2020中考数学总复习 第九章 圆
9.3与圆有关的计算
课标解读
1.会计算扇形的弧长、面积，圆锥的侧面积、全面积；
2.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
知识梳理
知识点一 正多边形与圆
各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形.如果一个正多形有
n（n条边，就叫正n边形.把一个圆分成相等的n段弧，顺次连接各分点就得到正n边形，这个圆是这个正多形的的外接圆.
2.正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多形的中心，外接圆的
半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角
叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正
多边形的边心距,以正多边形中心为圆心，边心距为半径画圆，则该圆为正多边形的内切圆.
3.正n边形的一个内角的度数是 , 中心角是 ,正多边形的中心角与外角的大小关系是 相等.
知识点二 弧长与扇形面积
弧长与扇形的面积
半径为R，圆心角为n°的扇形面积S扇形＝，弧长为，半径为R，弧长为 的扇形面积S扇形＝ ．
知识点三 圆锥的侧面积与全面积
1.圆锥的侧面积、全面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，那么扇形的半径为R，扇形的弧长为2，因此，圆锥的侧面积为 ，圆锥全面积为 .
基础训练
1. 将圆心角为90°，面积为4π cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成圆锥的底面半径为( )
1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
2.如图4，等腰直角中，，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为结果保留(???)
A. 16 B. C. D. “打陀螺”是一项深受恩施人喜爱的运动，如图5是一个陀螺的立体结构图已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是 A. B. C. D.
4. 如图6中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿 路线爬行，则下列结论正确的是
A. 甲先到B点 B. 乙先到B点 C. 甲、乙同时到B点 D. 无法确定
5.如图7，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为 ．
6. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为
7. 如图8，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l：于点，以原点O为圆心，的长为半径画弧交x轴正半轴于点，则点的坐标为；再过点作x轴的垂线交直线l于点，以原点O为圆心，以的长为半径画弧交x轴正半轴于点；按此作法进行下去，则的长是 ．
8. 如图9，四边形ABCD是菱形，，，扇形 BEF的半径为2，圆心角为,求图中阴影部分的面积.
．
能力提升
1.如图10，在中，，，把分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作，，侧面积分别记作，，则
A. ：：2，：：2 B. ：：4，：：2 C. ：：2，：：4 D. ：：4，：：4 2.如图11，一个扇形纸片的圆心角为，半径为如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为 A. B. C. D.
3.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形图12（1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图12（2）是等宽的勒
洛三角形和圆．
下列说法中错误的是
A. 勒洛三角形是轴对称图形 B. 图1中，点A到上任意一点的距离都相等 C. 图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离都相等 D. 图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
4.如图13，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 .
5.如图14，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点
处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小
猫所经过的最短路程是 结果不取近似值
6. 已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图15，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是 结果用含的式子表示
7. 如图16，正六边形ABCDEF内接于，BE是的直径，连接BF，延长BA，过F作，垂足为G． 求证：FG是的切线； 已知，求图中阴影部分的面积．
8.如图17，在中，，以AB为直径的分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作，垂足为点H，连接DE，交AB于点F． 求证：DH是的切线； 若的半径为4， 当时，求的长结果保留； 当时，求线段AF的长．
中考真题
1.（2019 ，宁波）如图18，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ??）
A.?3.5cm???????????????????????????????????B.?4cm???????????????????????????????????C.?4.5cm???????????????????????????????????D.?5cm
2. （2019 ， 重庆）如图19，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，
AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影
部分的面积为 ．（结果保留π）
3.(2019 ， 恩施) 如图20，在△ABC中，AB=4，若将△ABC绕点B顺时针旋转60°，点A的对应点为点A’，点C的对应点为点C’，点D为A’B的中点，连接AD. 则点A的运动路径 与线段AD、A’D围成的阴影部分面积是 .
4. （2018 ，恩施）在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图21将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为 ．（结果不取近似值）
2020中考数学总复习 第九章 圆
9.3与圆有关的计算
课标解读
1.会计算扇形的弧长、面积，圆锥的侧面积、全面积；
2.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
知识梳理
知识点一 正多边形与圆
各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形.如果一个正多形有
n（n条边，就叫正n边形.把一个圆分成相等的n段弧，顺次连接各分点就得到正n边形，这个圆是这个正多形的的外接圆.
2.正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多形的中心，外接圆的
半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角
叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正
多边形的边心距,以正多边形中心为圆心，边心距为半径画圆，则该圆为正多边形的内切圆.
3.正n边形的一个内角的度数是 , 中心角是 ,正多边形的中心角与外角的大小关系是 相等.
知识点二 弧长与扇形面积
弧长与扇形的面积
半径为R，圆心角为n°的扇形面积S扇形＝，弧长为，半径为R，弧长为 的扇形面积S扇形＝ ．
知识点三 圆锥的侧面积与全面积
1.圆锥的侧面积、全面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，那么扇形的半径为R，扇形的弧长为2，因此，圆锥的侧面积为 ，圆锥全面积为 .
基础训练
1. 将圆心角为90°，面积为4π cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成圆锥的底面半径为( A )
1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
2.如图4，等腰直角中，，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为结果保留(??B??)
A. 16 B. C. D. “打陀螺”是一项深受恩施人喜爱的运动，如图5是一个陀螺的立体结构图已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是C A. B. C. D.
4. 如图6中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿 路线爬行，则下列结论正确的是 C
A. 甲先到B点 B. 乙先到B点 C. 甲、乙同时到B点 D. 无法确定
5.如图7，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为 ．
6. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为
7. 如图8，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l：于点，以原点O为圆心，的长为半径画弧交x轴正半轴于点，则点的坐标为(4, 0)；再过点作x轴的垂线交直线l于点，以原点O为圆心，以的长为半径画弧交x轴正半轴于点；按此作法进行下去，则的长是 ．
8. 如图9，四边形ABCD是菱形，，，扇形 BEF的半径为2，圆心角为,求图中阴影部分的面积.
解：连接BD， 四边形ABCD是菱形，， ， ， 是等边三角形， ， 的高为， 扇形BEF的半径为2，圆心角为， ，， ， 设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H， 在和中， ， ≌， 四边形GBHD的面积等于的面积， 图中阴影部分的面积是：．
能力提升
1.如图10，在中，，，把分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作，，侧面积分别记作，，则 A
A. ：：2，：：2 B. ：：4，：：2 C. ：：2，：：4 D. ：：4，：：4 2.如图11，一个扇形纸片的圆心角为，半径为如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为 A. B. C. D.
3.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形图12（1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图12（2）是等宽的勒
洛三角形和圆．
下列说法中错误的是 C
A. 勒洛三角形是轴对称图形 B. 图1中，点A到上任意一点的距离都相等 C. 图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离都相等 D. 图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
4.如图13，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 .
5.如图14，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点
处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小
猫所经过的最短路程是 结果不取近似值
6. 已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图15，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是 结果用含的式子表示
7. 如图16，正六边形ABCDEF内接于，BE是的直径，连接BF，延长BA，过F作，垂足为G． 求证：FG是的切线； 已知，求图中阴影部分的面积．
证明：连接OF，AO， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 解：， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积．
8.如图17，在中，，以AB为直径的分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作，垂足为点H，连接DE，交AB于点F． 求证：DH是的切线； 若的半径为4， 当时，求的长结果保留； 当时，求线段AF的长．
证明：连接OD，如图1， ， 是等腰三角形， ， 在中，， ， 由得：， ， ，， 是圆O的切线； ， ， 设， ， ，， ， ， ， 的长； 连接AD， 为的直径，， 的半径为4，， ，， ， ，，∽， ， ，， ， ，，， ，
，， ， ，，， ∽， ， ，．
中考真题
1.（2019 ，宁波）如图18，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（B ??）
A.?3.5cm???????????????????????????????????B.?4cm???????????????????????????????????C.?4.5cm???????????????????????????????????D.?5cm
2. （2019 ， 重庆）如图19，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，
AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影
部分的面积为 ．（结果保留π）
3.(2019 ， 恩施) 如图20，在△ABC中，AB=4，若将△ABC绕点B顺时针旋转60°，点A的对应点为点A’，点C的对应点为点C’，点D为A’B的中点，连接AD. 则点A的运动路径 与线段AD、A’D围成的阴影部分面积是 .
4. （2018 ，恩施）在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图21将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为 ．（结果不取近似值）
