2020中考数学总复习 第十章 图形变换与设计
10.2 平移与旋转
课标解读
认识平移，探索它的基本性质.
认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质.
运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计.
知识梳理
知识点一 图形的平移
性质：
（1）对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，图形上的每个点都沿同一方向移动了相同的距离.
（2）对应角相等.
（3）平移前后的两个图形是全等图形.
知识点二 图形的旋转
性质：
图形上的每个点都绕着旋转中心，沿着相同的方向旋转了同样大小的角度.
旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化，即它们是全等的.
旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等.
对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角.
基础训练
1. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xoy．△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4，4?），请解答下列问题：
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的ABC，并写出点A的对应点A
的坐标；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△ABC．
2.一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法正确的是（ ） ①对应线段平行；②对应线段相等； ③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
3.将点A（-1，3）向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到点B(a,b),则ab=
在△ABC中，BC=10，将△ABC沿BC方向平移得到△，连接，若恰好经过AC的中点O，则的长度为 .
5.∠AOB=900,∠B=300,△可以看作由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点在AB上，则旋转角α的大小可以是（ ）
A.300 B.450 C.600 D.900
6.将线段AB绕点O顺时针旋转900，得到线段,那么点A（-2,5）的对应点的坐标是（ ）
A.(2,5) B.(5,2) C.(2,-5) D.(5,-2)
7.菱形ABCD的对角线AC=4，把它沿着对角线AC方向平移1cm，得到菱形EFGH，EH与CD相交于点M，EF与BD相交于点N,则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（ ）
A.4:3 B.3:2 C.14:9 D.17:9
8.△ABC绕点A顺时针旋转450得到△,∠BAC=900,AB=AC=,则图中阴影部分的面积为 .
能力提升
1.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为α（0<α<900）,若∠1=1100，则旋转角α的度数为（ ）
A.100 B.200 C.150 D.250
2.△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△重合，如果AP=3，则的长为 .
3.将以A为直角的等腰直角△ABC沿BC平移得到△，使点与点C重合，则tan∠的值为 .
4.将半径为2，圆心角为1200的扇形OAB绕点A逆时针旋转600，点O、B的对应点分别为、，连接,则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
已知Rt△ABC,∠ABC=900, ∠BAC=300,AB=,将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△的位置，且A、C、三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是（ ）
A.8 B. C. D.
6.在Rt△ABC中，∠ABC=900，AB=BC=,将△ABC绕点C逆时针旋转600得到△EFC，连接BE，则BE的长是（ ）
A.4 B. C. D.
7.已知在△ABC，CA=CB, ∠ACB=900,E、F分别是CA、CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转（）得到△MCN，连接AM、BN.
证：AM=BN;
当MA∥CN时，试求旋转角的余弦值.
中考真题
1. （2019，天津）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（ ）
A.AC=AD B.AB⊥EB C. BC=DE D.∠A=∠EBC
2. （2019，山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，
∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为( ) cm.
3. 2018，浙江）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
4.（2019，北京）已知∠AOB=300，H为射线OA上一定点，OH=，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转1500，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP =∠OPN；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．
5．（2019，绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂长AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10.
（1）在旋转过程中：
①当A,D,M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A,D,M三点在同一直角三角形的顶点时，求AM的长.
（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长.
6.(2019，绵阳)在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点
C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．
2020中考数学总复习 第十章 图形变换与设计
10.2 平移与旋转
课标解读
认识平移，探索它的基本性质.
认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质.
运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计.
知识梳理
知识点一 图形的平移
性质：
（1）对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，图形上的每个点都沿同一方向移动了相同的距离.
（2）对应角相等.
（3）平移前后的两个图形是全等图形.
知识点二 图形的旋转
性质：
图形上的每个点都绕着旋转中心，沿着相同的方向旋转了同样大小的角度.
旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化，即它们是全等的.
旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等.
对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角.
基础训练
1. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xoy．△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4，4?），请解答下列问题：
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的ABC，并写出点A的对应点A
的坐标；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△ABC．
解：点A1（4，-1）
2.一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法正确的是（ D ） ①对应线段平行；②对应线段相等； ③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
3.将点A（-1，3）向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到点B(a,b),则ab= -18
在△ABC中，BC=10，将△ABC沿BC方向平移得到△，连接，若恰好经过AC的中点O，则的长度为 5 .
5.∠AOB=900,∠B=300,△可以看作由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点在AB上，则旋转角α的大小可以是（ C ）
A.300 B.450 C.600 D.900
6.将线段AB绕点O顺时针旋转900，得到线段,那么点A（-2,5）的对应点的坐标是（ B ）
A.(2,5) B.(5,2) C.(2,-5) D.(5,-2)
7.菱形ABCD的对角线AC=4，把它沿着对角线AC方向平移1cm，得到菱形EFGH，EH与CD相交于点M，EF与BD相交于点N,则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（ C ）
A.4:3 B.3:2 C.14:9 D.17:9
8.△ABC绕点A顺时针旋转450得到△,∠BAC=900,AB=AC=,则图中阴影部分的面积为 .
能力提升
1.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为α（0<α<900）,若∠1=1100，则旋转角α的度数为（ B ）
A.100 B.200 C.150 D.250
2.△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△重合，如果AP=3，则的长为 .
3.将以A为直角的等腰直角△ABC沿BC平移得到△，使点与点C重合，则tan∠的值为 .
4.将半径为2，圆心角为1200的扇形OAB绕点A逆时针旋转600，点O、B的对应点分别为、，连接,则图中阴影部分的面积是（ C ）
A. B. C. D.
已知Rt△ABC,∠ABC=900, ∠BAC=300,AB=,将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△的位置，且A、C、三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是（ D ）
A.8 B. C. D.
6.在Rt△ABC中，∠ABC=900，AB=BC=,将△ABC绕点C逆时针旋转600得到△EFC，连接BE，则BE的长是（ B ）
A.4 B. C. D.
7.已知在△ABC，CA=CB, ∠ACB=900,E、F分别是CA、CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转（）得到△MCN，连接AM、BN.
证：AM=BN;
当MA∥CN时，试求旋转角的余弦值.
解：（1）证△AMC≌△BNC
(2)∵AM∥CN ∴∠MAC=∠ACN∵∠MCA=∠NCB=
∴∠MAC+∠MCA=∠CAN+∠NCB=∠ACB=900
∴∠AMC=900 ,∴==
中考真题
1. （2019，天津）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（ D ）
A.AC=AD B.AB⊥EB C. BC=DE D.∠A=∠EBC
2. （2019，山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，
∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为( ) cm.
3. 2018，浙江）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ A ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
4.（2019，北京）已知∠AOB=300，H为射线OA上一定点，OH=，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转1500，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP =∠OPN；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．
解：（2）∵∠AOB=300 ∴∠OMP=1800-300-∠OPM =150-∠OPM
∵PM顺时针旋转1500得到线段PN ∴∠OPN=150-∠OPM, ∴∠OMP =∠OPN
(3)OP=2
证明：过点N作NE⊥OB,过点作PF⊥OA
∵∠OMP =∠OPN ∴∠PMF=∠NPE ∵∠NEP=∠PMF ∠PMF=∠NPE PM=PN
∴△NPE≌△PMF ∴PE=MF NE=PF ∵∠AOB=300 OP=2 ∴PF=1 OF=
∵OH=+1 ∴FH=1 ∵MH=HQ MH=MF+FH=MF+1
∴FQ=FH+HQ=1+MH=1+MF+1=2+MF=2+PE ∵OP=2 ∴OE=2+PE ∴OE=FQ
∵OE=FQ ∠PFQ=∠OEN NE=PF ∴△PFQ≌△ENO ∴ON=QP
5．（2019，绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂长AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10.
（1）在旋转过程中：
①当A,D,M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A,D,M三点在同一直角三角形的顶点时，求AM的长.
（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长.
解：（1）①AM=AD+DM=40,或AM=AD-DM=20.
②显然∠MAD不能为直角，当∠AMD为直角时，
AM2=AD2-DM2=302-102=800, ∴AM=20
当∠ADM为直角时，AM2=AD2+DM2=302+102=1000, ∴AM=10.
(2)连接CD, 由题意得∠D1AD2=900,
AD1=AD2=30, ∴∠AD2D1=450,D1D2=30 ∵∠AD2C=1350, ∴∠CD2D1=900,
∴CD1=. ∵∠BAC= ∠D2AD1=900, ∴∠BAD2=∠CAD1
∵AB=AC, AD1=AD2, ∠BAD2=∠CAD1 ∴△ABD2=△ACD1, ∴BD2=CD1=30
6.(2019，绵阳)在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点
C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值． 解：（1）将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y=a（x-1）2-2， ∵OA=1，∴点A的坐标为（-1，0），
代入抛物线的解析式得，4a-2=0， ∴a= ∴抛物线的解析式为y=(x-1)2-2，即y= 令y=0，解得x1=-1，x2=3， ∴B（3，0）， ∴AB=OA+OB=4， ∵△ABD的面积为5， ∴yD=，代入抛物线解析式得， 解得x1=-2，x2=4，= ∴D（4，）， 设直线AD的解析式为y=kx+b， ∴，解得， ∴直线AD的解析式为y=． （2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），
∴ME=-()=， ∴S△ACE=S△AME-S△CME=ME=， ∴当a=时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）． （3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，∵E（），OA=1，∴AG=1+=，EG=，∴，∵∠AGE=∠AHP=90° ∴sin∠GAE=，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE=PF， ∴PE+AP=FP+HP=FH，此时FH最小，∵EF=，∠AEG=∠HEF，
∴sin∠HEF=sin∠HEF==，∴FH=．∴PE+PA的最小值是3．
