2020中考数学总复习 第十一章 专题解析
专题四 数形结合思想
专题扫描
（1）在二次函数综合应用中，解题的关键是联想相关函数与方程、不等式、交点坐标、图象交点分析，这是解决这类问题的思考点，数形结合思想方法是解题中常用方法.
（2）数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.
例题解析
例1 二次函数，当-3≤x≤0时，求它的最大值与最小值．
分析：（1）（数形结合）画出图象，图象的最高点的纵坐标为最大值，最低点的纵坐标为最小值；
对称轴法：当对称轴在自变量取值范围内时，最值为；
端点取值：当对称轴不在自变量范围内时，则计算
自变量两端点的函数值再比较.
解：如图1，∵二次函数对称轴为x=-1，
且a=-2＜0，
∴当-3≤x≤0时，x=-1，二次函数有最大值为-2+4+1=3，
∵|-3-（-1）|=2，|0-（-1）|=1，
∴当-3≤x≤0时，x=-3时，二次函数有最小值为-18+12+1=-5，
综上所述，二次函数，当-3≤x≤0时，它的最大值为3，最小值为-5．
例2 如图2，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝
（k＞0相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，
连接BC．若△ABC面积为8，则k＝_________.
分析：首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，
可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，
故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于4，然后由
反比例函数y＝的比例系数k的几何意义，可知△AOC
的面积等于|k|，从而求出k的值．
解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A，B两点，
∴A，B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，
又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＞0，
∴k＝8．
故答案为8．
例3 如图3，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝
的图象在第一、第三象限分别交于A（3，4），B（a，﹣2）
两点，直线AB与y轴，x轴分别交于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）比较大小：AD________BC
（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（3）直接写出y1＜y2时x的取值范围．
分析：本题考查了一次函数和反比例函数的综合，
同时考查数形结合思想的应用；弄清题意，正确识图是解此题的关键.
解：（1）把A（3，4）代入反比例函数y2＝得，
4＝，解得m＝12，
∴反比例函数的解析式为y2＝；
∵B（a，﹣2）点在反比例函数y2＝的图象上，
∴﹣2a＝12，解得a＝﹣6，
∴B（﹣6，﹣2），
∵一次函数y1＝kx+b的图象经过A（3，4），B（﹣6，﹣2）两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）由一次函数的解析式为y1＝x+2可知C（0，2），D（﹣3，0），
∴AD＝＝2，BC＝＝2，
∴AD＝BC，
（3）由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣6或0＜x＜3．
例4 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图4所示，
对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；
③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
分析：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，①正确；
②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∵，∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；
③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，
∵a＞0，c＞0，﹣b＞0，
∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
即a+b≤m（am+b），所以④正确．故选：D．
例5 如图5，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行
四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（ ）
AP＝2OP B．CD＝2OP
C．OB⊥AC D．AC平分OB
分析：本题考查了平行四边形的性质，三角形的相关知识
和圆的基本性质，主要考查学生综合运用性质进行推理和
计算的能力.
解：∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，
∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；
∴AP＝CP，
∴OP为△ACD的中位线，
∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；
∴OB＝2OP，
∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选：A．
跟踪训练
1．如图6，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为____s．
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
3.如图7所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割
成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形
ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底
面，则AB的长为（）
A.5cm??B.4cm?? C.4.5cm? D.5cm
4.如图8，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），
B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝
的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连
接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，
则k＝（ ）
A.﹣20 B．﹣16
C．﹣12 D．﹣8
5.在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是( )
A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位
C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位
6.抛物线与轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．
（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；?
（2）如图9（1），在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使，求点E的坐标；?
（3）如图9（2），设F（﹣1，﹣4），FG⊥y轴于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
7.求代数式的最小值.
2020中考数学总复习 第十一章 专题解析
专题四 数形结合思想
专题扫描
（1）在二次函数综合应用中，解题的关键是联想相关函数与方程、不等式、交点坐标、图象交点分析，这是解决这类问题的思考点，数形结合思想方法是解题中常用方法.
（2）数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.
例题解析
例1 二次函数，当-3≤x≤0时，求它的最大值与最小值．
分析：（1）（数形结合）画出图象，图象的最高点的纵坐标为最大值，最低点的纵坐标为最小值；
对称轴法：当对称轴在自变量取值范围内时，最值为；
端点取值：当对称轴不在自变量范围内时，则计算
自变量两端点的函数值再比较.
解：如图1，∵二次函数对称轴为x=-1，
且a=-2＜0，
∴当-3≤x≤0时，x=-1，二次函数有最大值为-2+4+1=3，
∵|-3-（-1）|=2，|0-（-1）|=1，
∴当-3≤x≤0时，x=-3时，二次函数有最小值为-18+12+1=-5，
综上所述，二次函数，当-3≤x≤0时，它的最大值为3，最小值为-5．
例2 如图2，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝
（k＞0相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，
连接BC．若△ABC面积为8，则k＝_________.
分析：首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，
可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，
故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于4，然后由
反比例函数y＝的比例系数k的几何意义，可知△AOC
的面积等于|k|，从而求出k的值．
解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A，B两点，
∴A，B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，
又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＞0，
∴k＝8．
故答案为8．
例3 如图3，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝
的图象在第一、第三象限分别交于A（3，4），B（a，﹣2）
两点，直线AB与y轴，x轴分别交于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）比较大小：AD________BC
（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（3）直接写出y1＜y2时x的取值范围．
分析：本题考查了一次函数和反比例函数的综合，
同时考查数形结合思想的应用；弄清题意，正确识图是解此题的关键.
解：（1）把A（3，4）代入反比例函数y2＝得，
4＝，解得m＝12，
∴反比例函数的解析式为y2＝；
∵B（a，﹣2）点在反比例函数y2＝的图象上，
∴﹣2a＝12，解得a＝﹣6，
∴B（﹣6，﹣2），
∵一次函数y1＝kx+b的图象经过A（3，4），B（﹣6，﹣2）两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）由一次函数的解析式为y1＝x+2可知C（0，2），D（﹣3，0），
∴AD＝＝2，BC＝＝2，
∴AD＝BC，
（3）由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣6或0＜x＜3．
例4 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图4所示，
对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；
③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
分析：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，①正确；
②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∵，∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；
③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，
∵a＞0，c＞0，﹣b＞0，
∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
即a+b≤m（am+b），所以④正确．故选：D．
例5 如图5，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行
四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（ ）
AP＝2OP B．CD＝2OP
C．OB⊥AC D．AC平分OB
分析：本题考查了平行四边形的性质，三角形的相关知识
和圆的基本性质，主要考查学生综合运用性质进行推理和
计算的能力.
解：∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，
∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；
∴AP＝CP，
∴OP为△ACD的中位线，
∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；
∴OB＝2OP，
∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选：A．
跟踪训练
1．如图6，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为____4____s．
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（ C ）
A．B．C．D．
3.如图7所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割
成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形
ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底
面，则AB的长为（ B ）
A.5cm??B.4cm?? C.4.5cm? D.5cm
4.如图8，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），
B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝
的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连
接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，
则k＝（ C ）
A.﹣20 B．﹣16
C．﹣12 D．﹣8
5.在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是( B )
A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位
C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位
6.抛物线与轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．
（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；?
（2）如图9（1），在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使，求点E的坐标；?
（3）如图9（2），设F（﹣1，﹣4），FG⊥y轴于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），? 把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：? ，解得 ，?
∴抛物线的解析式为：；对称轴是：直线x=﹣1；?
（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），?
由题意得：AD=1+1=2，OC=3，?
S△ACE= S△ACD= ×AD×OC=×2×3=10，?
设直线AE的解析式为：y=kx+b，?
把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，
? ，? 解得： ，?
∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，?
∴F（0，﹣m﹣3），?
∵C（0，﹣3），?∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，?∴S△ACE=FC（1﹣m）=10，?
﹣m（1﹣m）=20，?m2﹣m﹣20=0，?（m+4）（m﹣5）=0，?m1=﹣4，m2=5（舍去），
∴E（﹣4，5）；?
（3）存在，设.
① ∽，
②∽，
7.求代数式的最小值.
解：如图，在长为12的线段AB上任取一点P，设AP=x，则BP=12-x，过点A作AC⊥AB，并截取AC=2,过点B作BD⊥AB，并截取BD=3，
则有：
显然，当点P为AB与CD的交点时，PC+PD的值最小，为CD的长.过点D作DE⊥AC交CA的延长线于E.有
故
即原式的最小值为13.
