2020中考数学总复习 第十一章 专题解析
专题三 方程与函数思想
专题扫描
方程与函数相结合型综合题主要是以函数图象，建立函数的图象及性质和方程的有关理论的综合，解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化。
例题解析
类型一 方程思想在实际生活中的应用
例1 (2018，台湾)某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？( C )
A．360 B．480 C．600 D．720
类型二 方程思想在几何中的应用
例2 (2019，常德)如图1，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
解：（1）证明：如图，连接OD、CD，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠EDC＝90°，
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA垂直平分CD，
∴OD＝OC，
∴OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BD是⊙O切线，
∴BD2＝BE?BC，
设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，
∴42＝x（x+6），
解得x＝2或x＝﹣8（舍去），
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD、AC是⊙O的切线，
∴AD＝AC，
设AD＝AC＝y，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+y）2＝y2+82，
解得y＝6，
∴AC＝6，
故AC的长为6．
类型三 函数思想在实际生活中的应用
例3 (2019，营口)某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系式为，销售单价p(元/kg）与时间t之间满足一次函数关系式如下表：
时间第t天
1
2
3
…
80
销售单价p（元/kg)
49.5
49
48.5
…
10
直接写出销售单价p（元/kg）与时间t之间的函数关系式；
在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设销售单价p（元/kg）与时间t之间的函数关系式为
将（1,49.5），（2,49）代入得：
所以销售单价p（元/kg）与时间t之间的函数关系式为.
设每天获得的利润为w元则
∵-1<0
∴
∴当时，w有最大值，
答：第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元.
类型四 方程与函数思想综合应用
例4 (2018，桂林)如图2，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；
(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将A，B的坐标代入函数表达式得
解得
∴抛物线y的函数表达式y＝－2x2－4x＋6.
当x＝0时，y＝6，即C(0，6)．
(2)由MA＝MB＝MC得M点在AB的垂直平分线上，M在AC的垂直平分线上，
设M(－1，x)，
由MA＝MC得(－1＋2)2＋x2＝(x－6)2＋(－1－0)2，
解得x＝，
∴若MA＝MB＝MC，点M的坐标为(－1，)．
(3)①如图，过点A作DA⊥AC交y轴于点F，交CB的延长线于点D，过点A作AM⊥x轴，连结BM交抛物线于点E.
∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°，
∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO＝∠AFO，
∴△AOF∽△COA，
∴＝，∴AO2＝OC×OF.
∵OA＝3，OC＝6，∴OF＝＝，
∴F(0，－)．
∵A(－3，0)，F(0，－)，
∴直线AF的表达式为y＝－x－.
∵B(1，0)，C(0，6)，∴直线BC的表达式为y＝－6x＋6.
∴解得
∴D(，－)，∴AD＝，AC＝3，
∴tan∠ACB＝＝.
∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB，
∴tan∠ABE＝2.
∵AB＝4，tan∠ABE＝2，
∴AM＝8，∴M(－3，8)．
∵B(1，0)，(－3，8)，
∴直线BM的表达式为y＝－2x＋2.
联立BM与抛物线得
解得x＝－2或x＝1(舍去)，
∴y＝6，∴E(－2，6)．
②如图，当点E在x轴下方时，过点E作EG⊥AB，连结BE.
设点E(m，－2m2－4m＋6)，
∴tan∠ABE＝＝＝2，
∴m＝－4或m＝1(舍去)，
可得E(－4，－10)．
综上所述，E点坐标为(－2，6)，(－4，－10)．
跟踪训练
(2018，新疆)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 元．
2.某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图3)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m2.
3.(2018，毕节)已知关于x的一元二次方程x2－x＋m－1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
4.(2018，连云港)已知A(－4，y1)，B(－1，y2)是反比例函数y＝－图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为
5.（2019，武汉）如图4，在?ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，求∠ADE的度数．
6.(2018，湘潭)如图5，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A，C，B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM.
(1)若半圆的半径为10.
①当∠AOM＝60°时，求DM的长；
②当AM＝12时，求DM的长．
(2)探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
7.（2019，天门）如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：
（2）当PQ＝3时，求t的值；
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
8.（2019，武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2
（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？
（2）如图6-1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．
①若AP＝AQ，求点P的横坐标；
②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．
（3）如图6-2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME.NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME.NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．
2020中考数学总复习 第十一章 专题解析
专题三 方程与函数思想
专题扫描
方程与函数相结合型综合题主要是以函数图象，建立函数的图象及性质和方程的有关理论的综合，解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化。
例题解析
类型一 方程思想在实际生活中的应用
例1 (2018，台湾)某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？( C )
A．360 B．480 C．600 D．720
类型二 方程思想在几何中的应用
例2 (2019，常德)如图1，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
解：（1）证明：如图，连接OD、CD，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠EDC＝90°，
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA垂直平分CD，
∴OD＝OC，
∴OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BD是⊙O切线，
∴BD2＝BE?BC，
设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，
∴42＝x（x+6），
解得x＝2或x＝﹣8（舍去），
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD、AC是⊙O的切线，
∴AD＝AC，
设AD＝AC＝y，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+y）2＝y2+82，
解得y＝6，
∴AC＝6，
故AC的长为6．
类型三 函数思想在实际生活中的应用
例3 (2019，营口)某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系式为，销售单价p(元/kg）与时间t之间满足一次函数关系式如下表：
时间第t天
1
2
3
…
80
销售单价p（元/kg)
49.5
49
48.5
…
10
直接写出销售单价p（元/kg）与时间t之间的函数关系式；
在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设销售单价p（元/kg）与时间t之间的函数关系式为
将（1,49.5），（2,49）代入得：
所以销售单价p（元/kg）与时间t之间的函数关系式为.
设每天获得的利润为w元则
∵-1<0
∴
∴当时，w有最大值，
答：第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元.
类型四 方程与函数思想综合应用
例4 (2018，桂林)如图2，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；
(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将A，B的坐标代入函数表达式得
解得
∴抛物线y的函数表达式y＝－2x2－4x＋6.
当x＝0时，y＝6，即C(0，6)．
(2)由MA＝MB＝MC得M点在AB的垂直平分线上，M在AC的垂直平分线上，
设M(－1，x)，
由MA＝MC得(－1＋2)2＋x2＝(x－6)2＋(－1－0)2，
解得x＝，
∴若MA＝MB＝MC，点M的坐标为(－1，)．
(3)①如图，过点A作DA⊥AC交y轴于点F，交CB的延长线于点D，过点A作AM⊥x轴，连结BM交抛物线于点E.
∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°，
∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO＝∠AFO，
∴△AOF∽△COA，
∴＝，∴AO2＝OC×OF.
∵OA＝3，OC＝6，∴OF＝＝，
∴F(0，－)．
∵A(－3，0)，F(0，－)，
∴直线AF的表达式为y＝－x－.
∵B(1，0)，C(0，6)，∴直线BC的表达式为y＝－6x＋6.
∴解得
∴D(，－)，∴AD＝，AC＝3，
∴tan∠ACB＝＝.
∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB，
∴tan∠ABE＝2.
∵AB＝4，tan∠ABE＝2，
∴AM＝8，∴M(－3，8)．
∵B(1，0)，(－3，8)，
∴直线BM的表达式为y＝－2x＋2.
联立BM与抛物线得
解得x＝－2或x＝1(舍去)，
∴y＝6，∴E(－2，6)．
②如图，当点E在x轴下方时，过点E作EG⊥AB，连结BE.
设点E(m，－2m2－4m＋6)，
∴tan∠ABE＝＝＝2，
∴m＝－4或m＝1(舍去)，
可得E(－4，－10)．
综上所述，E点坐标为(－2，6)，(－4，－10)．
跟踪训练
(2018，新疆)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 4 元．
2.某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图3)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 144 m2.
3.(2018，毕节)已知关于x的一元二次方程x2－x＋m－1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
4.(2018，连云港)已知A(－4，y1)，B(－1，y2)是反比例函数y＝－图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为
5.（2019，武汉）如图4，在?ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，求∠ADE的度数．
解：设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，
∴2x＝63°﹣x，
解得：x＝21°，
即∠ADE＝21°
6.(2018，湘潭)如图5，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A，C，B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM.
(1)若半圆的半径为10.
①当∠AOM＝60°时，求DM的长；
②当AM＝12时，求DM的长．
(2)探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：(1)①当∠AOM＝60°时，
∵OM＝OA，∴△AMO是等边三角形，
∴∠A＝∠MOA＝60°，∴∠MOD＝30°，∠D＝30°，
∴DM＝OM＝10.
②如图，过点M作MF⊥OA于点F.
设AF＝x，∴OF＝10－x.
∵AM＝12，OA＝OM＝10，
由勾股定理可知122－x2＝102－(10－x)2，
∴x＝，∴AF＝.
∵MF∥OD，∴△AMF∽△ADO，
∴＝，∴＝，
∴AD＝，∴MD＝AD－AM＝.
(2)如图，当点M位于之间时，连结BC.
∵C是的中点，∴∠B＝45°.
∵四边形AMCB是圆内接四边形，
此时∠CMD＝∠B＝45°.
如图，当点M位于之间时，连结BC.
由圆周角定理可知∠CMD＝∠B＝45°.
综上所述，∠CMD＝45°.
变式训练
18．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝AD，∠BAD＝90°.
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，
∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°.
∵∠ABF＋∠BAF＝90°，
∠EAD＋∠BAF＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD.
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴BF＝AE.
(2)解：设AE＝x，则BF＝x，DE＝AF＝2.
∵四边形ABED的面积为24，
∴·x·x＋·x·2＝24，
解得x1＝6，x2＝－8(舍去)，
∴EF＝x－2＝4.
在Rt△BEF中，BE＝＝2，
∴sin∠EBF＝＝＝.
7.（2019，天门）如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4） ；
（2）当PQ＝3时，求t的值；
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．
当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标
为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），
∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，
∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，
∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．
故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．
（2）当PQ＝3时，25t2﹣80t+100＝（3）2，
整理，得：5t2﹣16t+11＝0，
解得：t1＝1，t2＝．
（3）经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值不变．
连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．
∵OC＝6，BC＝8，
∴OB＝＝10．
∵BQ∥OP，
∴△BDQ∽△ODP，
∴＝＝＝，
∴OD＝6．
∵CB∥OA，
∴∠DOF＝∠OBC．
在Rt△OBC中，sin∠OBC＝＝＝，cos∠OBC＝＝＝，
∴OF＝OD?cos∠OBC＝6×＝，DF＝OD?sin∠OBC＝6×＝，
∴点D的坐标为（，），
∴经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值为×＝．
8.（2019，武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2
（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？
（2）如图6-1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．
①若AP＝AQ，求点P的横坐标；
②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．
（3）如图6-2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME.NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME.NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．
解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；
（2）y＝（x﹣1）2﹣4与x轴正半轴的交点A（3，0），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴b＝4，
∴y＝﹣x+4，
y＝﹣x+4与y＝（x﹣1）2﹣4的交点为﹣x+4＝（x﹣1）2﹣4的解，
∴x＝3或x＝﹣，
∴B（﹣，），
设P（t，﹣t+4），且﹣＜t＜3，
∵PQ∥y轴，
∴Q（t，t2﹣2t﹣3），
①当AP＝AQ时，
|4﹣t|＝|t2﹣2t﹣3|，
则有﹣4+t＝t2﹣2t﹣3，
∴t＝，
∴P点横坐标为；
②当AP＝PQ时，
PQ＝t2+t+7，PA＝（3﹣t），
∴t2+t+7＝（3﹣t），
∴t＝﹣；
∴P点横坐标为﹣；
（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，
∴，
则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，
△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，
∴k＝2m，
直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，
∴E（，mn），
∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，
∴（m﹣n）2﹣＝4，
∴（m﹣n）3＝8，
∴m﹣n＝2.
