2020中考数学总复习 第十一章 专题解析
专题六 综合性问题的解答策略
专题扫描
综合性问题往往把几何、三角等空间与图形和函数、方程等数与代数的核心知识有机地结合在一起，具有题型新颖、灵活性强、区分度高等特点，因此倍受各地中考命题者的青睐，这类问题常常以压轴题的形式广泛出现在各地的中考数学试卷中.要完整地解答这类问题，需要我们灵活选择数形结合、分类讨论、函数思想、方程思想等重要数学思想方法去发现问题、分析问题和解决问题.值得我们高度重视，深入探究.
例题解析
例1. 如图1，直线与抛物线
相交于点A(，）
和点B（4，），点P是线段AB上异于A、B的动点，
点P作PC⊥轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？
若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
解析：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，
∴B（4，6）
∵A、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）
∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣）2+，
∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．
（3）∵△PAC为直角三角形，
①若点P为直角顶点，则∠APC=90°
由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在.
②若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如图1﹣1，过点A作AN⊥x轴于点N，
则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，
则由题意易知，△AMN为等腰直角三角
形，
∴MN=AN=，∴OM=ON+MN==3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
，.
∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②
联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P1（3，5）
③若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．
如图1﹣2，作点A关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C
当x=时，y=x+2=．∴P2
综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或
例2.如图2，抛物线与y轴交于点C，
与x轴交于点A(-2,0)和点B，抛物线的对称轴=1与抛物
线交于点D，与直线BC交于点E.
求抛物线的解析式；
若点F是直线BC上方抛物线上一动点，问是否存在
点F，使得四边形ABFC的面积为17？若存在，请求出点F
的坐标；若不存在，请说明理由.
平行于DE的一条动直线与直线BC交于点P，与抛
物线交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四
边形，试求点P的坐标.
解：（1）因为抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于点，则它与x轴的另一交点B的坐标为（4,0）
将A、B两点的坐标代入中，
得，解得
所求抛物线的解析式为
设直线BC上方抛物线上存在点F使得
如图2—1，过点F作
设
则由
得
化简，得，
，
此方程无解
故直线BC上方的抛物线上不存在满足条件的点F
当以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，有PQ=DE
易知直线BC的解析式为，显然，，
设，则，
于是
整理，得
由得，；
由得，（舍去）
当时，；
当时，；
当时，；
故所求满足条件的点P的坐标为或或（3,1）.
例3. 如图3（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠OAC=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值．
（3）在（2）的条件下，如图3（2），在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．
解析：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1．
又∵tan∠OAC=4，
∴OC=4，
∴C（0，﹣4）．
∵OC=OB，
∴OB=4，
∴B（4，0）．
设抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣4）
∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4=﹣4，解得=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．
（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），
∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（3，﹣4）
设直线AD的解析式为y=kx+b．
∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，
解得k=﹣1，b=﹣1，
∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．
∵直线AD的一次项系数k=﹣1，
∴∠BAD=45°．
∵PM平行于y轴，
∴∠AEP=90°，
∴∠PMH=∠AME=45°．
∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．
设P（，2﹣3﹣4），则M（，﹣﹣1），
则PM═﹣﹣1﹣（2﹣3﹣4）=﹣2+2+3=﹣（﹣1）2+4．
∴当=1时，PM有最大值，最大值为4．
∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4；
（3）存在
点G的坐标为（，0）或（，0）．
设点G的坐标为（，0），则N（，2﹣3﹣4）
①如图3（4），
若= 时，△AOC∽△EGN．
则 =，整理得：2+﹣8=0．
得：=（负值舍去）∴点G为（，0）
②如图3（5），
若=时，△AOC∽△NGE．
则=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．
得：a=（负值舍去）
∴点G为（，0）．
综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．
跟踪训练
1.已知直线y=x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+mx﹣2经过点A，和x
轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图4（1），点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；
（3）如图4（2），经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE?OF的值．
2.如图5（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x与x轴相交于O、A两点，OA=4，点D为抛物线的顶点，并且直线y=kx+b与该抛物线相交于A、B两点，与y轴相交于点C，B点的横坐标是﹣1．
（1）求k，，b的值；
（2）如图5（2），若P是直线AB上方抛物线上的一点，设P点的横坐标是t，△PAB的面积是S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，如图5（3），当PB∥CD时，点Q是直线AB上一点，若∠BPQ+∠CBO=180°，求Q点坐标．
解：（1）∵OA=4
∴A（﹣4，0）
∴﹣16+8=0
∴=2，
∴y=﹣x2﹣4x，当x=﹣1时，y=﹣1+4=3，
∴B（﹣1，3），
3.如图6，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC.
（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；
（2）求△ABC外接圆的面积；
（3）点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；
（4）在直线上方的曲线M上确定两个点使得并求出点的坐标；在曲线M或N上是否存在五个点，使得这五个点分别与点围成的三角形的面积为？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）解法一：如图①，
2020中考数学总复习 第十一章 专题解析
专题六 综合性问题的解答策略
专题扫描
综合性问题往往把几何、三角等空间与图形和函数、方程等数与代数的核心知识有机地结合在一起，具有题型新颖、灵活性强、区分度高等特点，因此倍受各地中考命题者的青睐，这类问题常常以压轴题的形式广泛出现在各地的中考数学试卷中.要完整地解答这类问题，需要我们灵活选择数形结合、分类讨论、函数思想、方程思想等重要数学思想方法去发现问题、分析问题和解决问题.值得我们高度重视，深入探究.
例题解析
例1. 如图1，直线与抛物线
相交于点A(，）
和点B（4，），点P是线段AB上异于A、B的动点，
点P作PC⊥轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？
若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
解析：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，
∴B（4，6）
∵A、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）
∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣）2+，
∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．
（3）∵△PAC为直角三角形，
①若点P为直角顶点，则∠APC=90°
由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在.
②若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如图1﹣1，过点A作AN⊥x轴于点N，
则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，
则由题意易知，△AMN为等腰直角三角
形，
∴MN=AN=，∴OM=ON+MN==3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
，.
∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②
联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P1（3，5）
③若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．
如图1﹣2，作点A关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C
当x=时，y=x+2=．∴P2
综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或
例2.如图2，抛物线与y轴交于点C，
与x轴交于点A(-2,0)和点B，抛物线的对称轴=1与抛物
线交于点D，与直线BC交于点E.
求抛物线的解析式；
若点F是直线BC上方抛物线上一动点，问是否存在
点F，使得四边形ABFC的面积为17？若存在，请求出点F
的坐标；若不存在，请说明理由.
平行于DE的一条动直线与直线BC交于点P，与抛
物线交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四
边形，试求点P的坐标.
解：（1）因为抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于点，则它与x轴的另一交点B的坐标为（4,0）
将A、B两点的坐标代入中，
得，解得
所求抛物线的解析式为
设直线BC上方抛物线上存在点F使得
如图2—1，过点F作
设
则由
得
化简，得，
，
此方程无解
故直线BC上方的抛物线上不存在满足条件的点F
当以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，有PQ=DE
易知直线BC的解析式为，显然，，
设，则，
于是
整理，得
由得，；
由得，（舍去）
当时，；
当时，；
当时，；
故所求满足条件的点P的坐标为或或（3,1）.
例3. 如图3（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠OAC=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值．
（3）在（2）的条件下，如图3（2），在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．
解析：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1．
又∵tan∠OAC=4，
∴OC=4，
∴C（0，﹣4）．
∵OC=OB，
∴OB=4，
∴B（4，0）．
设抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣4）
∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4=﹣4，解得=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．
（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），
∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（3，﹣4）
设直线AD的解析式为y=kx+b．
∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，
解得k=﹣1，b=﹣1，
∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．
∵直线AD的一次项系数k=﹣1，
∴∠BAD=45°．
∵PM平行于y轴，
∴∠AEP=90°，
∴∠PMH=∠AME=45°．
∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．
设P（，2﹣3﹣4），则M（，﹣﹣1），
则PM═﹣﹣1﹣（2﹣3﹣4）=﹣2+2+3=﹣（﹣1）2+4．
∴当=1时，PM有最大值，最大值为4．
∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4；
（3）存在
点G的坐标为（，0）或（，0）．
设点G的坐标为（，0），则N（，2﹣3﹣4）
①如图3（4），
若= 时，△AOC∽△EGN．
则 =，整理得：2+﹣8=0．
得：=（负值舍去）∴点G为（，0）
②如图3（5），
若=时，△AOC∽△NGE．
则=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．
得：a=（负值舍去）
∴点G为（，0）．
综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．
跟踪训练
1.已知直线y=x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+mx﹣2经过点A，和x
轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图4（1），点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；
（3）如图4（2），经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE?OF的值．
解：（1）把y=0代入y=x+2得：0=x+2，解得：x=﹣4，
∴A（﹣4，0）．
把点A的坐标代入y=x2+mx﹣2得：m=，
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．
（2）如图4（3）过点D作DH∥y轴，交AB于点H，
设D（n， n2+n﹣2），H（n， n+2）．
∴DH=（n+2）﹣（n2+n﹣2）=﹣（n+1）2+．
∴当n=﹣1时，DH最大，最大值为，
此时△ABD面积最大，最大值为××4=9．
（3）把y=0代入 y=x2+x﹣2，得：x2+3x﹣4=0，解得：x=1或x=﹣4，
∴C（1，0）．
设直线CQ的解析式为，CP的解析式为y=bx﹣b．
∴，解得：x=1或x=2a﹣4．
∴xQ=2﹣4．
同理：xP=2b﹣4．
设直线PQ的解析式为y=kx+b，把M（﹣4，1）代入得：y=kx+4k+1．
∴．
∴x2+（3﹣2k）x﹣8k﹣6=0，
∴xQ+xP=2a﹣4+2b﹣4=2k﹣3， xQ?xP=（2a﹣4）（2b﹣4）=﹣8k﹣6，
解得：ab=﹣．
又∵OE=﹣b，OF=a，
∴OE?OF=﹣ab=．
2.如图5（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x与x轴相交于O、A两点，OA=4，点D为抛物线的顶点，并且直线y=kx+b与该抛物线相交于A、B两点，与y轴相交于点C，B点的横坐标是﹣1．
（1）求k，，b的值；
（2）如图5（2），若P是直线AB上方抛物线上的一点，设P点的横坐标是t，△PAB的面积是S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，如图5（3），当PB∥CD时，点Q是直线AB上一点，若∠BPQ+∠CBO=180°，求Q点坐标．
解：（1）∵OA=4
∴A（﹣4，0）
∴﹣16+8=0
∴=2，
∴y=﹣x2﹣4x，当x=﹣1时，y=﹣1+4=3，
∴B（﹣1，3），
解：（1）将A（﹣4，0）B（﹣1，3）代入函数解析式，得
，
解得
直线AB的解析式为y=x+4，
∴k=1、a=2、b=4；
（2）过P点作PN⊥OA于N，交AB于M，过B点作BH⊥PN
如图1，由（1）知直线AB是y=x+4，抛物线是y=﹣x2﹣4x，
∴当x=t时，yP=﹣t2﹣4t，yN=t+4
PN=﹣t2﹣4t﹣（t+4）=﹣t2﹣5t﹣4，
BH=﹣1﹣t，AM=t﹣（﹣4）=t+4，
S△PAB=PN（AM+BH）=（﹣t2﹣5t﹣4）（﹣1﹣t+t+4）
=（﹣t2﹣5t﹣4）×3，
化简，得s=﹣t2﹣t﹣6，自变量t的取值范围是﹣4＜t＜﹣1；
∴﹣4＜t＜﹣1
（3）y=﹣x2﹣4x，当x=﹣2时，y=4即D（﹣2，4），当x=0时，y=x+4=4，即C（0，4），
∴CD∥OA
∵B（﹣1，3）．
当y=3时，x=﹣3，
∴P（﹣3，3），
如图2，连接OP，交AC于点R，过P点作PN⊥OA于M，
交AB于N，
过D点作DT⊥OA于T，如图2，
可证R在DT上
∴PN=ON=3
∴∠PON=∠OPN=45°
∴∠BPR=∠PON=45°，
∵OA=OC，∠AOC=90°
∴∠PBR=∠BAO=45°，
∴PO⊥AC
∵∠BPQ+∠CBO=180，
∴∠BPQ=∠BCO+∠BOC
过点Q作QS⊥PN，垂足是S，
∴∠SPQ=∠BOR∴tan∠SPQ=tan∠BOR，
可求BR=，OR=2，
设Q点的横坐标是m，
当x=m时y=m+4，
∴SQ=m+3，PS=﹣m﹣1
∴=，解得m=﹣．
当x=﹣时，y=，
Q（﹣，）．
3.如图6，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC.
（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；
（2）求△ABC外接圆的面积；
（3）点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；
（4）在直线上方的曲线M上确定两个点使得并求出点的坐标；在曲线M或N上是否存在五个点，使得这五个点分别与点围成的三角形的面积为？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）解法一：如图①，
设抛物线轴于点，
令，解得
令
设曲线N的函数表达式为，
，解得.
解法二：如图①，在抛物线位于x轴下方的部分任取一点E,
过点E作EF//y轴交曲线N于点F，则点E，F关于轴对称.
如图②，设曲线M和N的对称轴交轴于点H，则△ABC的外接圆圆心G必在直线x=1上，
过点G作
设点G的坐标为则有
，
，
其面积为
如图③，
令，
当BC是(的边时，
过点作，
当BC是(的对角线时，仍由
得
综上所述，满足条件的点Q的坐标为:
，
如图④，
过点A作交轴于点，
则点的坐标为（0，-1），
将直线沿轴向上平移4个单位长，交轴
于点，交曲线于两点，
，
如图⑤，
，
