2020中考数学总复习 第十一章 专题解析
专题一 探索规律
专题扫描
规律探究性问题通常需要我们经历观察、猜想、类比、估计、验证等合情推理的过程.命题领域往往涉及到数列（阵、表）的排列规律、计算程序图类规律、几何图形的数量或位置变化规律以及平面直角坐标系中点的坐标变化规律.......规律探究性问题的题型多以选择题或填空题的形式呈现.解决这类问题的思想方法主要有从特殊到一般的归纳猜想、数形结合思想等.
例题解析
类型1（1）：数列的排序规律
例1 （2019，恩施） 观察下列一组数的排列规律：
…
那么，这一组数的第2019个数是 .
解析：这列数的排列规律为：
观察这列数的排列规律，可将这列数进行分组：第1个数为第1组，只有1个数；第2、3个数为第2组，有2个数；第4、5、6个数为第3组，共有3个数；第7、8、9、10个数为第4组，共4个数...第n组共有n个数：
设这组数的第2019个数落在第n组，则有：
经过估算得： ，
例2 （2019，常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…
根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
解析：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数字每4个数一循环，
∵（2019+1）÷4＝505，又1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是0．故选A．
类型1（2）：数阵的布阵规律
例3 （2019，黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是 ．
解析：观察数阵可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，
∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，
类型1（3）：数表的布设规律
例4 （2017，恩施）如图1，在的网格内填入1至6
的数字后，使每行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，
则 .
解析：
类型1（4）：等式的布列规律
例5 （2016，恩施）观察下列等式：
；
；
；
则有： ．
解析：等式右边系数的排列规律为：含有字母n的因式个数逐次多1，答案为：
类型2：程序图类运算程序规律
例6（2019，重庆）按如下图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ）
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1
解析：当m=1，n=1或2时，都有；当
故选D.
类型3：图形变化类的规律探索
例7（2016，龙岩）如图2，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图2中共有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为则 .
其规律是：直角三角形斜边上的高将原直角三角形分成两个小直角三角形，两个小直角三角形的内切圆面积之和等于原直角三角形内切圆的面积.图2（3），图2（4），...中，所有直角三角形的内切圆面积之和均为π.故答案为π.
类型4：平面直角坐标系中点的坐标变化规律探究
例8（2016，潍坊）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图3所示依次作正方形、正方形、...、正方形，使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标是 .
解析：点，点，点，
点...，
点.
跟踪训练
1.（2019，十堰）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，
若第n个数为，则n＝（ ）
A．50 B．60 C．62 D．71
2.（2019，武汉）观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
3.（2018，宜昌）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图4中的数字排列规律，则的值分别为（ ）
4.（2018，广东）如图5，已知等边△，顶点在双曲线上，
点的坐标为（2,0）.过点作交双曲线于点，过点作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；...，以此类推，则点的坐标为
5. 百子回归图是由 1，2，3，…，100 无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，
如：中央四位“19 99 12 20”表示澳门回归祖国日期，
最后一行中间两位“23 50”表示澳门面积，…，同时
它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列 10 个
数之和，以及两条对角线 上10 个数之和均为有理
数 n，则 4n-1的值为 .
6．（2018，浙江）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若符合前面式子的规律，则= ．
7.如图6所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，
第二次输出的结果为12，…，则第2020次输出的结果为 ．
8.如图7，P1是一块半径为a的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，…，Pn，…，
（1）把P1 、P2、 P3、 P4的面积表示出来；
（2）请你猜想Pn与Pn+1的面积相差多少？
2020中考数学总复习 第十一章 专题解析
专题一 探索规律
专题扫描
规律探究性问题通常需要我们经历观察、猜想、类比、估计、验证等合情推理的过程.命题领域往往涉及到数列（阵、表）的排列规律、计算程序图类规律、几何图形的数量或位置变化规律以及平面直角坐标系中点的坐标变化规律.......规律探究性问题的题型多以选择题或填空题的形式呈现.解决这类问题的思想方法主要有从特殊到一般的归纳猜想、数形结合思想等.
例题解析
类型1（1）：数列的排序规律
例1 （2019，恩施） 观察下列一组数的排列规律：
…
那么，这一组数的第2019个数是 .
解析：这列数的排列规律为：
观察这列数的排列规律，可将这列数进行分组：第1个数为第1组，只有1个数；第2、3个数为第2组，有2个数；第4、5、6个数为第3组，共有3个数；第7、8、9、10个数为第4组，共4个数...第n组共有n个数：
设这组数的第2019个数落在第n组，则有：
经过估算得： ，
例2 （2019，常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…
根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
解析：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数字每4个数一循环，
∵（2019+1）÷4＝505，又1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是0．故选A．
类型1（2）：数阵的布阵规律
例3 （2019，黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是 ．
解析：观察数阵可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，
∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，
类型1（3）：数表的布设规律
例4 （2017，恩施）如图1，在的网格内填入1至6
的数字后，使每行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，
则 .
解析：
类型1（4）：等式的布列规律
例5 （2016，恩施）观察下列等式：
；
；
；
则有： ．
解析：等式右边系数的排列规律为：含有字母n的因式个数逐次多1，答案为：
类型2：程序图类运算程序规律
例6（2019，重庆）按如下图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ）
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1
解析：当m=1，n=1或2时，都有；当
故选D.
类型3：图形变化类的规律探索
例7（2016，龙岩）如图2，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图2中共有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为则 .
其规律是：直角三角形斜边上的高将原直角三角形分成两个小直角三角形，两个小直角三角形的内切圆面积之和等于原直角三角形内切圆的面积.图2（3），图2（4），...中，所有直角三角形的内切圆面积之和均为π.故答案为π.
类型4：平面直角坐标系中点的坐标变化规律探究
例8（2016，潍坊）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图3所示依次作正方形、正方形、...、正方形，使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标是 .
解析：点，点，点，
点...，
点.
跟踪训练
1.（2019，十堰）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，
若第n个数为，则n＝（ B ）
A．50 B．60 C．62 D．71
2.（2019，武汉）观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ C ）
A． B． C． D．
3.（2018，宜昌）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图4中的数字排列规律，则的值分别为（ B ）
4.（2018，广东）如图5，已知等边△，顶点在双曲线上，
点的坐标为（2,0）.过点作交双曲线于点，过点作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；...，以此类推，则点的坐标为
5. 百子回归图是由 1，2，3，…，100 无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，
如：中央四位“19 99 12 20”表示澳门回归祖国日期，
最后一行中间两位“23 50”表示澳门面积，…，同时
它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列 10 个
数之和，以及两条对角线 上10 个数之和均为有理
数 n，则 4n-1的值为 2019 .
6．（2018，浙江）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若符合前面式子的规律，则= 109 ．
7.如图6所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，
第二次输出的结果为12，…，则第2020次输出的结果为 3 ．
8.如图7，P1是一块半径为a的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，…，Pn，…，
（1）把P1 、P2、 P3、 P4的面积表示出来；
（2）请你猜想Pn与Pn+1的面积相差多少？
