2020中考数学总复习 第十一章 专题解析
专题五 分类讨论思想
专题扫描
分类讨论思想是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的数学思想.分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”.其一般规则及步骤是：①确定同一分类标准；②恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；③逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；④综合概括小结，归纳得出结论.
初中教材中常见的对知识点进行的分类主要有：有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系.
例题解析
类型一 概念、公式、性质等引起的分类讨论
已知函数y＝kx2＋（k+2）x＋k+1的图象与x轴只有一个交点，则k的值为（ D ）
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
类型二 变量的不同取值范围引起的分类讨论
2.若函数y＝则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ D ）
A．± B．4
C．±或4 D．4或－
类型三 求解时引起的分类讨论
3.已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是 ( C )
A．2 B．3 C．4 D．5
类型四 位置或形状不确定引起的分类讨论
4.如图1，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点B，C，
经过B，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一交点
为A，顶点为P，且对称轴是直线x＝2.
(1)求点A的坐标；
(2)求该抛物线的函数解析式；
(3)连结AC.请问：在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q
为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）A（1,0）
y＝x2－4x＋3.
如图，连结PB，由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，得P(2，－1)．
设抛物线的对称轴交x轴于点M.
∵在Rt△PBM中，PM＝MB＝1，
∴∠PBM＝45°，PB＝.
由点B(3，0)，C(0，3)易得OB＝OC＝3.
在等腰直角三角形OBC中，∠ABC＝45°，
由勾股定理，得BC＝3 .
①若△QBP∽△ABC，则＝，∴QB＝.
∵OB＝3，∴OQ＝OB－QB＝3－＝.∴Q.
②若△PBQ∽△ABC，则＝，∴BQ＝3.
∵BO＝3，∴Q即原点．
综上所述，有Q1，Q2(0，0)使△ABC和以P，B，Q为顶点的三角形相似．
跟踪训练
1. 已知实数a，b满足a2－2a＝1，b2－2b－1＝0，则 ＝
2. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的底角度数为
3. 方程无解，a＝
4.一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则kb的值是.
5.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F.若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为( )
A．11＋ B．11－
C．11＋或11－ D．11＋或1＋
6.已知：⊙O的直径为14 cm，弦AB＝10 cm，点P为AB上一点，OP＝5 cm，则AP的长为
7.如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y＝(x－m)2－m2＋m的顶点为A，与y轴交于
点B，连结AB，过点A作AC⊥AB交y轴于点C，
延长CA到点D，使AD＝AC，连结BD.分别过点A、
点D作x轴、y轴的平行线交于点E.
(1)当m＝2时，求点B的坐标；
(2)求DE的长；
(3)①设点D的坐标为(x，y)，求y关于x的函数关系式？
②过点D作AB的平行线，与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P，
当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？
如图3所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21.动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度
运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位
长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，
当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.
设△BPQ的面积为s，求s与t之间的函数关系式；
当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求∠BQP的正切值；
当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
2020中考数学总复习 第十一章 专题解析
专题五 分类讨论思想
专题扫描
分类讨论思想是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的数学思想.分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”.其一般规则及步骤是：①确定同一分类标准；②恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；③逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；④综合概括小结，归纳得出结论.
初中教材中常见的对知识点进行的分类主要有：有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系.
例题解析
类型一 概念、公式、性质等引起的分类讨论
已知函数y＝kx2＋（k+2）x＋k+1的图象与x轴只有一个交点，则k的值为（ D ）
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
类型二 变量的不同取值范围引起的分类讨论
2.若函数y＝则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ D ）
A．± B．4
C．±或4 D．4或－
类型三 求解时引起的分类讨论
3.已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是 ( C )
A．2 B．3 C．4 D．5
类型四 位置或形状不确定引起的分类讨论
4.如图1，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点B，C，
经过B，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一交点
为A，顶点为P，且对称轴是直线x＝2.
(1)求点A的坐标；
(2)求该抛物线的函数解析式；
(3)连结AC.请问：在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q
为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）A（1,0）
y＝x2－4x＋3.
如图，连结PB，由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，得P(2，－1)．
设抛物线的对称轴交x轴于点M.
∵在Rt△PBM中，PM＝MB＝1，
∴∠PBM＝45°，PB＝.
由点B(3，0)，C(0，3)易得OB＝OC＝3.
在等腰直角三角形OBC中，∠ABC＝45°，
由勾股定理，得BC＝3 .
①若△QBP∽△ABC，则＝，∴QB＝.
∵OB＝3，∴OQ＝OB－QB＝3－＝.∴Q.
②若△PBQ∽△ABC，则＝，∴BQ＝3.
∵BO＝3，∴Q即原点．
综上所述，有Q1，Q2(0，0)使△ABC和以P，B，Q为顶点的三角形相似．
跟踪训练
1. 已知实数a，b满足a2－2a＝1，b2－2b－1＝0，则 ＝ 2或-6．
2. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的底角度数为 57.5°或32.5°．
3. 方程无解，a＝8,-6或1．
4.一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则kb的值是-6或14.
5.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F.若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为( D )
A．11＋ B．11－
C．11＋或11－ D．11＋或1＋
6.已知：⊙O的直径为14 cm，弦AB＝10 cm，点P为AB上一点，OP＝5 cm，则AP的长为
4或6cm.
7.如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y＝(x－m)2－m2＋m的顶点为A，与y轴交于
点B，连结AB，过点A作AC⊥AB交y轴于点C，
延长CA到点D，使AD＝AC，连结BD.分别过点A、
点D作x轴、y轴的平行线交于点E.
(1)当m＝2时，求点B的坐标；
(2)求DE的长；
(3)①设点D的坐标为(x，y)，求y关于x的函数关系式？
②过点D作AB的平行线，与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P，
当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？
解：（1）B（0,2） （2）DE＝4
（3）①y＝－x2＋x＋4.
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF .
Ⅰ.当四边形ABDP为平行四边形时(如图)，
点P的横坐标为3m，
点P的纵坐标为－m2＋m＋4.
把P的坐标代入y＝－x2＋x＋4，解得m＝0
(此时A，B，D，P在同一直线上，舍去)或m＝8.
Ⅱ.当四边形ABPD为平行四边形时(如图)，
点P的横坐标为m，
点P的纵坐标为m＋4.
把P的坐标代入y＝－x2＋x＋4，解得m＝0
(此时A，B，D，P在同一直线上，舍去)
或m＝－8.
综上所述，m的值为8或－8.
如图3所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21.动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度
运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位
长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，
当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.
设△BPQ的面积为s，求s与t之间的函数关系式；
当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求∠BQP的正切值；
当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
解：（1）S=96-6t；
（2）
（3）由图可知，CM=PD＝２t，CQ=t，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形可分为三种情况：
①PQ=BQ.在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122,,t=.
②BP=BQ .，无实数根，舍去.
③PB=PQ..解得t1=,t2=16(舍去）.
∴当t=秒或秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.
