人教版（五四学制）2018-2019学年黑龙江省哈尔滨六十九中八年级（下）月考数学试卷（3月份）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨六十九中八年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）
一、选择题（每题3分）
1．（3分）直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边长为（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
2．（3分）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）32，42，52．其中能构成直角三角形的有（　　）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
3．（3分）下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B＝∠D＝90°
C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90° D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
4．（3分）已知一个平行四边形两邻边的长分别为10和6，那么它的周长为（　　）
A．16 B．60 C．32 D．30
5．（3分）如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（　　）
A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形
B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形
C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形
6．（3分）如图，?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
7．（3分）下列命题中，其逆命题成立的有（　　）个．
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④矩形的对角线互相平分且相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，已知S1，S2和S3分别是Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1，S2和S3满足的关系式为（　　）
A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．S1＝S2?S3
9．（3分）一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（　　）
A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米
10．（3分）如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　）
A．169 B．25 C．19 D．13
二、填空题（每题3分）
11．（3分）690 000用科学记数法表示为　 　．
12．（3分）分解因式：ax2﹣4a＝　 　．
13．（3分）?ABCD中，∠A＝50°，则∠B＝　 　．
14．（3分）在平面直角形坐标系中，点P的坐标为（3，4），则OP的长为　 　．
15．（3分）如图，在?ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中面积相等的平行四边形共有　 　对．
16．（3分）如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为　 　．
17．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝　 　．
18．（3分）△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，则BC＝　 　．
19．（3分）如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD再折叠，使AD落在对角线BD上E点，得折痕DG，若AB＝4，BC＝3，则AG＝　 　．
20．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D、E分别在AC、BC上，若∠DBC＝2∠BAE，AB＝4，CD＝，则CE的长为　 　．
三、解答题
21．（7分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣2．
22．（7分）图（1）、图（2）是两张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（1）图（2）中分别画出符合要求的图形．（所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合）．
（1）在图1中画出一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，使其周长为10+4．
（2）在图2画出一个周长为20，面积为24的矩形ABCD．
（3）直接写出图（1）中平行四边形的面积为　 　．
23．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°．求四边形ABCD的面积．
24．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）在不添加任何辅助线的情况下写出图中的所有全等三角形．
25．（10分）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书，其中科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，科普书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2135元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
26．（10分）四边形ABCD为平行四边形，AC为对角线，∠BAC＝60°，CE、BF分别∠ACB、∠ABC的角平分线，CE、BF相交于G；
（1）求∠CGF的度数；
（2）求证：BE+CF＝BC；
（3）若BE：CF＝1：2，EG＝2，求平行四边形ABCD的面积．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△ABO的边长为4．
（1）求点A的坐标．
（2）若点P从点O出发以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，△PAB的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的范围．
（3）在（2）的条件下，当点P在点B的右侧时，若S＝，在平面内是否存在点Q，使点P、Q、A、B围成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨六十九中八年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分）
1．（3分）直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边长为（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
【分析】根据直角三角形的两条直角边的长为6和8，利用勾股定理即可求出其斜边的长．
【解答】解；∵直角三角形的两条直角边的长为6和8，
∴它的斜边长＝＝10．
故选：A．
2．（3分）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）32，42，52．其中能构成直角三角形的有（　　）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【解答】解：（1）32+42＝52是直角三角形的三边长；（2）52+122＝132是直角三角形的三边长；（3）82+152＝172是直角三角形的三边长；（4）92+162≠252不是直角三角形的三边长．
故选：B．
3．（3分）下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B＝∠D＝90°
C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90° D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
【分析】根据平行四边形的判定和矩形的判定判断即可．
【解答】解：
A、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误；
B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误；
C、根据AB＝BC，AD＝DC，∠C＝90°不能推出平行四边形ABCD是矩形，错误，故本选项正确；
D、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误；
故选：C．
4．（3分）已知一个平行四边形两邻边的长分别为10和6，那么它的周长为（　　）
A．16 B．60 C．32 D．30
【分析】根据平行四边形的对边相等的性质即可求出答案．
【解答】解：周长＝2（10+6）＝32．
故选：C．
5．（3分）如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（　　）
A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形
B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形
C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形
【分析】若AO＝OC，BO＝OD，则四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理可知，该四边形是平行四边形．
【解答】解：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形的对角线互相平分
所以D能判定ABCD是平行四边形．
故选：D．
6．（3分）如图，?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，又由点E是BC的中点，易得OE是△ABC的中位线，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵点E是BC的中点，OE＝3cm，
∴AB＝2OC＝6cm．
故选：B．
7．（3分）下列命题中，其逆命题成立的有（　　）个．
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④矩形的对角线互相平分且相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②如果两个角是直角，那么它们相等逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等逆命题是如果两个实数的平方相等，那么它们相等，是假命题；
④矩形的对角线互相平分且相等逆命题是对角线平分且相等的四边形是矩形，是真命题；
故选：B．
8．（3分）如图，已知S1，S2和S3分别是Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1，S2和S3满足的关系式为（　　）
A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．S1＝S2?S3
【分析】运用等腰直角三角形得出S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，由AC2+BC2＝AB2，即可得出结论．
【解答】解：∵S1，S2和S3分别是以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为斜边向外作的等腰直角三角形的面积，
∴S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴S1＝S2+S3．
故选：B．
9．（3分）一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（　　）
A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米
【分析】梯子和墙面、地面形成的直角三角形，如下图所示可将该直角三角形等价于△ABC和△EFC，前者为原来的形状，后者则是下滑后的形状．由题意可得出AB＝CD＝25分米，OB＝7分米，AC＝4分米，在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2，将AB、CB的值代入该式求出AC的值，OC＝AO﹣AC；在Rt△COD中，求出OD的值，BD＝OD﹣OB＝15﹣7＝8分米，即求出了梯脚移动的距离．
【解答】解：如下图所示：AB相当于梯子，△ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△OCD是下滑后的形状，∠O＝90°，
即：AB＝CD＝25分米，OB＝7分米，AC＝4分米，BD是梯脚移动的距离．
在Rt△ACB中，由勾股定理可得：
AB2＝AC2+BC2，
AC＝＝24分米．
∴OC＝AC﹣AC＝24﹣4＝2分米，
在Rt△COD中，由勾股定理可得：
CD2＝OC2+OD2，
OD＝15分米，
BD＝OD﹣OB＝15﹣7＝8分米，
故选：D．
10．（3分）如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　）
A．169 B．25 C．19 D．13
【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据再根据直角三角形的边长求解即可．
【解答】解：∵大正方形的面积13，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形的面积和是13﹣1＝12，即4×ab＝12，
即2ab＝12，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝13+12＝25．
故选：B．
二、填空题（每题3分）
11．（3分）690 000用科学记数法表示为　6.9×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将690 000用科学记数法表示为：690000＝6.9×105．
故答案为：6.9×105．
12．（3分）分解因式：ax2﹣4a＝　a（x+2）（x﹣2）　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣4a，
＝a（x2﹣4），
＝a（x+2）（x﹣2）．
13．（3分）?ABCD中，∠A＝50°，则∠B＝　130°　．
【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出∠B的度数．
【解答】解：∵在?ABCD中∠A＝50°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
14．（3分）在平面直角形坐标系中，点P的坐标为（3，4），则OP的长为　5　．
【分析】直接利用已知画出图象，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：如图所示：OP＝＝5．
故答案为：5．
15．（3分）如图，在?ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中面积相等的平行四边形共有　3　对．
【分析】根据平行四边形的性质证全等三角形，然后利用等量关系推出面积相等．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD＝S△CBD．
∵BP是平行四边形BEPG的对角线，
∴S△BEP＝S△BGP，
∵PD是平行四边形HPFD的对角线，
∴S△HPD＝S△FPD．
∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△HPD＝S△BCD﹣S△BGP﹣S△PFD，即S?AEPH＝S?GCFP，
∴S?ABGH＝S?BCFE，
同理S?AEFD＝S?GCDH．
即：S?ABGH＝S?BCFE，S?AHPE＝S?GCFP，S?AEFD＝S?GCDH
故答案为：3
16．（3分）如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为　13cm　．
【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短解答
【解答】解：将圆柱体的侧面展开，连接AB．如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24cm，
则AD＝24×＝12cm．
又因为AC＝5cm，
所以AB＝＝13cm．
即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm．
故答案为13 cm
17．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝　50　．
【分析】根据勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴AB2+AC2+BC2＝2AB2＝2×52＝2×25＝50．
故答案为：50．
18．（3分）△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，则BC＝　14或4　．
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为BD+DC＝5+9＝14；
（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．
故答案为：14或4．
19．（3分）如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD再折叠，使AD落在对角线BD上E点，得折痕DG，若AB＝4，BC＝3，则AG＝　　．
【分析】由折叠即可得∠GDA＝∠GDB，AD＝ED，AG＝EG，设AG＝x，则GE＝x，BE＝BD﹣DE＝5﹣3＝2，BG＝AB﹣AG＝4﹣x，在Rt△BEG中利用勾股定理，即可求得AG的长．
【解答】解：根据题意可得：∠GDA＝∠GDB，AD＝ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，
∴AG＝EG，ED＝3，
∵AB＝4，BC＝3，∠A＝90°，
∴BD＝5，
设AG＝x，则GE＝x，BE＝BD﹣DE＝5﹣3＝2，BG＝AB﹣AG＝4﹣x，
在Rt△BEG中，EG2+BE2＝BG2，
即：x2+4＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴AG＝．
故答案为：．
20．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D、E分别在AC、BC上，若∠DBC＝2∠BAE，AB＝4，CD＝，则CE的长为　2　．
【分析】如图，延长BC至F，使CF＝CD＝，连接AF，由等腰直角三角形的性质可得AC＝BC＝4，∠ABC＝∠BAC＝45°，由勾股定理可求AF＝3，由“SAS”可证△ACF≌△BCD，可得∠CAF＝∠CBD＝2α，可求∠EAF＝45°﹣α+2α＝45°+α＝∠AEF，可得AF＝EF，即可求解．
【解答】解：如图，延长BC至F，使CF＝CD＝，连接AF，
∵∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4，
∴AC＝BC＝4，∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴AF＝＝＝3，
设∠BAE＝α，则∠DBC＝2α，
∴∠AEF＝∠ABC+∠BAE＝45°+α，∠EAC＝45°﹣α
∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACF＝90°，CD＝CF，
∴△ACF≌△BCD（SAS）
∴∠CAF＝∠CBD＝2α，
∴∠EAF＝45°﹣α+2α＝45°+α＝∠AEF，
∴AF＝EF＝3，
∴EC＝EF﹣CF＝2，
故答案为：2．
三、解答题
21．（7分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝?﹣
＝﹣
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝＝＝．
22．（7分）图（1）、图（2）是两张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（1）图（2）中分别画出符合要求的图形．（所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合）．
（1）在图1中画出一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，使其周长为10+4．
（2）在图2画出一个周长为20，面积为24的矩形ABCD．
（3）直接写出图（1）中平行四边形的面积为　22　．
【分析】（1）根据条件一个边长分别为2，5的平行四边形即可．
（2）根据条件一个边长分别为4，6的矩形即可．
（3）根据平行四边形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示；
（3）
图（1）中平行四边形的面积＝7×6﹣＝22，
故答案为：22
23．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°．求四边形ABCD的面积．
【分析】连接AC，得到直角三角形△ABC，利用勾股定理可以求出AC，根据数据特点，再利用勾股定理逆定理可以得到△ACD也是直角三角形，这样四边形的面积就被分解成了两个直角三角形的面积，代入面积公式就可以求出答案．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴根据勾股定理AC＝＝5（cm），
又∵CD＝12cm，AD＝13cm，
∴AC2+DC2＝52+122＝169，
AD2＝132＝169，
根据勾股定理的逆定理：∠ACD＝90°．
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+×5×12＝36（cm2）．
24．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）在不添加任何辅助线的情况下写出图中的所有全等三角形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，证出∠BAE＝∠DCF，AE＝CF，由SAS证明△ABE≌△CDF，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝CB，OA＝OC，OB＝OD，由SAS证明△AOD≌△COB，同理：△AOB≌△COB；由SSS证明△ABC≌△CDA，同理：△ABD≌△CDB；由（1）得：△ABE≌△FD；由SAS证明△BOE≌△DOF即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴AE＝OE＝OA，CF＝OF＝OC，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF；
（2）解：图中的所有全等三角形为△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△BOE≌△DOF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝CB，OA＝OC，OB＝OD，
在△AOD和△COB中，，
∴△AOD≌△COB（SAS），
同理：△AOB≌△COB；
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
同理：△ABD≌△CDB；
由（1）得：△ABE≌△FD；
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（SAS）．
25．（10分）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书，其中科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，科普书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2135元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
【分析】（1）设去年文学书单价为x元，则科普书单价为（x+4）元，根据用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书数量相等，列出方程，再进行检验即可得出答案；
（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据购买文学书和科普书的总费用不超过2135元，列出不等式，求出不等式的解集即可得出答案．
【解答】解：（1）设去年文学书单价为x元，则科普书单价为（x+4）元，根据题意得：
＝，
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，
答：去年文学书单价为8元，则科普书单价为12元．
（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．
8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2135，
y≥132，
∵y为整数，
∴y最小值是133；
答：这所中学今年至少要购买133本文学书．
26．（10分）四边形ABCD为平行四边形，AC为对角线，∠BAC＝60°，CE、BF分别∠ACB、∠ABC的角平分线，CE、BF相交于G；
（1）求∠CGF的度数；
（2）求证：BE+CF＝BC；
（3）若BE：CF＝1：2，EG＝2，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可求解；
（2）在BC边上截取CN＝CF，连接GN，由“SAS”可证∴△CGN≌△CG，可得∠CGN＝∠CGF＝60°，可得∠BGN＝∠BGE，由“ASA”可证△BGN≌△BGE，可得BE＝BN，可得结论；
（3）设BE＝a，CF＝2a，AE＝c，AF＝b，由相似三角形的性质列出方程组，求出，通过证明∴△ABF∽△GEB，可得，可求c的值，可得AB，AC，BC的值，即可求平行四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵CE、BF分别∠ACB、∠ABC的角平分线，
∴∠GBC+∠GCB＝×120°＝60°，
∴∠BGC＝120°，
∴∠CGF＝60°；
（2）在BC边上截取CN＝CF，连接GN，如图所示：
在△CGN和△CGF中，
，
∴△CGN≌△CGF（SAS），
∴∠CGN＝∠CGF，GF＝GN
∵∠BGC＝120°，∠CGF＝60°，
∴∠BGN＝60°，∠EGF＝120°，
∴∠BGE＝360°﹣120°﹣120°﹣60°＝60°，
∴∠BGN＝∠BGE，
在△BGN和△BGE中，
，
∴△BGN≌△BGE（ASA），
∴BE＝BN，EG＝GN
∴EG＝GN＝GF
∵BC＝BN+CN＝BE+CF，
∴BE+CF＝BC；
（3）如图，延长CE，DA交于点H，延长BF交AD于点P，过点B作BM⊥AC于M，
∵BE：CF＝1：2，
∴设BE＝a，CF＝2a，
由（2）可知BC＝BE+CF＝a+2a＝3a，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠H＝∠BCE，∠APB＝∠FBC，
∵CE、BF分别∠ACB、∠ABC的角平分线
∴∠ACE＝∠BCE，∠ABF＝∠CBF
∴∠H＝∠ACE，∠APB＝∠ABF
∴AH＝AC，AP＝AB，
设AE＝c，AF＝b，
∴AB＝c+a，AC＝b+2a，
∵AH∥BC
∴△AHE∽△BCE
∴
∴
∴b+2a＝3c①
∵AH∥BC
∴△APF∽△CBF
∴
∴
∴c+a＝b②
由①②组成方程组
解得：
∴AB＝c，AC＝3c，
由（2）可知FG＝EG＝2
∵∠EGB＝∠BAC＝60°，∠ABF＝∠GBE，
∴△ABF∽△GEB，
∴
∴
∴BG＝3，c＝8
∴a＝7，b＝10
∴AB＝15，AC＝24，BC＝21，
∵∠BAC＝60°，BM⊥AC
∴AM＝AB＝，BM＝AM＝，
∴S?ABCD＝2S△ABC＝2××＝180
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△ABO的边长为4．
（1）求点A的坐标．
（2）若点P从点O出发以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，△PAB的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的范围．
（3）在（2）的条件下，当点P在点B的右侧时，若S＝，在平面内是否存在点Q，使点P、Q、A、B围成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用等边三角形的性质即可得出结论；
（2）分点P在边OB和OB的延长线上，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）分三种情况，利用中点坐标公式和平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，OD＝OB＝2，
在Rt△AOD中，AD＝OD＝2，
∴A（2，2）；
（2）由运动知，OP＝t，
当0≤t＜4时，如图2，BP＝OB﹣OP＝4﹣t，
∴S＝S△ABP＝BP?AD＝（4﹣t）×2＝﹣t+4，
当t＞4时，如图3，BP＝OP﹣OB＝t﹣4，
∴S＝S△ABP＝BP?AD4＝（t﹣4）×2＝t﹣4；
（3）由（2）知，点P在点B右侧时，t＞4，S＝t﹣4，
∵S＝，
∴t﹣4＝，
∴t＝5，
∴P（5，0），
∵等边△ABC的边长为4，
∴B（4，0），
∵A（2，2），设Q（m，n），
∵使点P、Q、A、B围成的四边形是平行四边形，
∴①当AP为对角线时，
∴AP与BQ互相平分，
∴（2+5）＝（4+m），（2+0）＝（0+n），
∴m＝3，n＝2，
∴Q（3，2），
②当AB为对角线时，∴AB与PQ互相平分，
∴（2+4）＝（5+m），（2+0）＝（0+n），
∴m＝1，n＝2，
∴Q（1，2），
③当BP为对角线时，∴BP与AQ互相平分，
∴（4+5）＝（2+m），（0+0）＝（2+n），
∴m＝7，n＝﹣2，
∴Q（7，﹣2），
即：满足条件的点Q的坐标为（3，2）或（1，2）或（7，﹣2）．