课时作业44 有限样本空间与随机事件
知识点一 样本点、样本空间
1.根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间．
(1)任意抽取1张，记录它的花色；
(2)任意抽取1张，记录它的点数；
(3)在同一种花色的牌中一次抽取2张，记录每张的点数；
(4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张的点数之和．
解 (1)一副扑克牌有四种花色，所以样本空间为Ω＝{红心，方块，黑桃，草花}．
(2)扑克牌的点数是从1～6，所以样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}．
(3)一次抽取2张，点数不会相同，则所有结果如下表所示．
故样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)}．
(4)一次抽取2张，计算两张的点数之和，样本空间为Ω＝{3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
知识点二 事件
2.指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书．
解 (1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．
(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件．
(4)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件．
3．做掷红、蓝两个骰子的试验，用(x，y)表示样本点，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验包含的基本事件个数；
(3)用集合表示事件A：出现的点数之和大于8，事件B：出现的点数相同．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
(2)这个试验包含36个基本事件．
(3)A＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
B＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}．
一、选择题
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③抛一枚硬币，出现正面；④一个三角形的大边对大角，小边对小角．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 其中①是随机事件，②是不可能事件，③是随机事件，④是必然事件．故选B.
2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
答案 C
解析 25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故选C.
3．“连续掷两个质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点共有( )
A．6个 B．12个
C．24个 D．36个
答案 D
解析 该试验的样本点分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个．故选D.
4．掷一个骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件一定发生的是( )
A．“出现奇数点” B．“出现偶数点”
C．“点数大于3” D．“点数是3的倍数”
答案 B
解析 “出现2点”这个事件发生，由于2为偶数，故“出现偶数点”这一事件一定发生．故选B.
5．在10个学生中，男生有x个，现从10个学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( )
A．5 B．6
C．3或4 D．5或6
答案 C
解析 由题意知，10个学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故选C.
二、填空题
6．给出下列事件：
①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；
②下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ℃；
③同时掷两枚骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；
④射击1次，命中靶心；
⑤当x为实数时，x2＋4x＋4<0.
其中，必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．
答案 ③ ⑤ ①②④
解析 根据事件发生的前提条件及生活常识知：①是随机事件，②是随机事件，③是必然事件，④是随机事件，⑤是不可能事件．
7．从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，其样本空间为________．
答案 {0,1,2,3,4}
解析 取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品，得Ω＝{0,1,2,3,4}．
8．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点数为________．
答案 4
解析 从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数，故所求事件包含的样本点数为4.
三、解答题
9．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，下列事件：
(1)在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
(2)在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
(3)在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
(4)在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100.
哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
解 (1)(3)是随机事件；(2)是不可能事件；(4)是必然事件．
10．已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件A＝{(－2，－4)，(－4，－2)}所表示的实际意义．
解 (1)样本空间为Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2，6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4,3)，(5,3)，(6,3)}．
(2)样本点的总数是12.
(3)“得到的点是第一象限内的点”包含以下4个样本点：(3,5)，(3,6)，(5,3)，(6,3)．
(4)事件A表示“得到的点是第三象限内的点”．
PAGE
- 1 -
课时作业45 事件的关系和运算
知识点一 事件的运算
1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( )
A．E?F B．G?F
C．E∪F＝G D．E∩F＝G
答案 C
解析 根据事件之间的关系，知E?G，F?G，事件E，F之间不具有包含关系，故排除A，B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以E∩F＝?，故排除D；事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生，所以E∪F＝G.故选C.
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么？
解 (1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故C∩A＝A.
知识点二 事件关系的判断
3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
答案 C
解析 “恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件；
“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件；
“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件；
“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事件．故选C.
4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与2名全是男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
解 (1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)当选出的是“1名男生和1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
5．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏．两个转盘各转一次，观察指针所指区域颜色(不考虑指针落在分界线上的情况)．事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿色”，事件C表示“两转盘指针所指区域颜色相同”．
(1)用样本点表示A∩B，A∪B；
(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件．
解 列表如下：
由上表可知，共有15种等可能的结果．
(1)由上表可知A＝{(黄，蓝)，(黄，黄)，(黄，红)，(黄，绿)，(黄，紫)}，B＝{(红，绿)，(黄，绿)，(蓝，绿)}，A∩B＝{(黄，绿)}，A∪B＝{(黄，绿)，(黄，黄)，(黄，红)，(黄，蓝)，(黄，紫)，(红，绿)，(蓝，绿)}．
(2)C＝{(蓝，蓝)，(黄，黄)，(红，红)}，因为A∩B＝{(黄，绿)}≠?、A∩C＝{(黄，黄)}≠?、B∩C＝?，所以事件A与B，A与C不是互斥事件，B与C是互斥事件.
易错点 分不清“互斥事件”与“对立事件”致误
6.已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G中任意两个事件均互斥
D．E与G对立
易错分析 解答本题易出现两个错误．一是对互斥事件与对立事件的概念模糊不清，理解不透；二是对“全是、全不是、至多、至少”搞不清楚，从而导致错误．
答案 D
正解 由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确．事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B不正确，D正确．故选D.
一、选择题
1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A．A?D B．B∩D＝?
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
答案 D
解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.
2．一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是( )
A．至多有一次为正面 B．两次均为正面
C．只有一次为正面 D．两次均为反面
答案 D
解析 对于A，“至多有一次为正面”与“至少有一次为正面”，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，“两次均为正面”与“至少有一次为正面”，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，“只有一次为正面”与“至少有一次为正面”，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，“两次均为反面”与“至少有一次为正面”，不能够同时发生，是互斥事件．故选D.
3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是 ( )
A．1个白球2个红球 B．2个白球1个红球
C．3个都是红球 D．至少有一个红球
答案 C
解析 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是所取的3个球中没有白球，∴事件A的对立事件是3个都是红球．故选C.
4．打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则事件A＝A1∪A2∪A3表示( )
A．全部未击中 B．至少有一次击中
C．全部击中 D．至多有一次击中
答案 B
解析 事件A0，A1，A2，A3彼此互斥，且0＝A1＋A2＋A3＝A，故A表示至少击中一次．
5．如果事件A与B是互斥事件，则( )
A．A∪B是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.∪是必然事件
答案 D
解析 由互斥事件的意义可知，互斥事件是不能同时发生的事件，它与对立事件不同，它们的补集的和事件一定是必然事件，故选D.
二、填空题
6．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A∪ 包含的样本点有________．
答案 2,4,5,6
解析 A＝{2,4}，B＝{1,2,3,4}，＝{5,6}，A∪＝{2,4,5,6}．
7．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件：
①“这张牌是红心”与”这张牌是方块”；
②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；
③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”；
④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”．
其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)．
答案 ②④
解析 从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是对立事件．故答案为②④.
8．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等．事件A表示“第二个路口是红灯”，事件B表示“第三个路口是红灯”，事件C表示“至少遇到两个绿灯”，则A∩B包含的样本点有________个，事件A∩B与C的关系是________．
答案 2 互斥但不对立
解析 根据题意，画出如图所示的树状图．
由图可得A∩B＝{红红红，绿红红}，包含2个样本点，C＝{红绿绿，绿红绿，绿绿红，绿绿绿}，(A∩B)∩C＝?，故事件A∩B与C互斥，又(A∩B)∪C≠Ω，故事件A∩B与C的关系是互斥但不对立．
三、解答题
9．掷一枚骰子，有下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于3}，D＝{出现点数大于2}，E＝{出现点数是3的倍数}．
(1)用样本点表示事件A∩B，事件B∩C；
(2)用样本点表示事件A∪B，事件B∪C；
(3)用样本点表示事件，事件∩C，事件∪C，事件∪.
解 由题意可得A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，
C＝{1,2}，D＝{3,4,5,6}，E＝{3,6}．
(1)A∩B＝{1,3,5}∩{2,4,6}＝?.
B∩C＝{2,4,6}∩{1,2}＝{2}．
(2)A∪B＝{1,3,5}∪{2,4,6}＝{1,2,3,4,5,6}，
B∪C＝{2,4,6}∪{1,2}＝{1,2,4,6}．
(3)＝{1,2}，＝{2,4,6}，∩C{2,4,6}∩{1,2}＝{2}，＝{1,3,5}，∪C＝{1,3,5}∪{1,2}＝{1,2,3,5}，＝{1,2,4,5}，∪＝{1,2}∪{1,2,4,5}＝{1,2,4,5}．
10．如图，转盘①的三个扇形面积相等，分别标有数字1,2,3，转盘②的四个扇形面积相等，分别标有数字1,2,3,4.转动①，②转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字记录下来(不考虑指针落在分界线上的情况)．
事件A表示“两数字之积为偶数”，事件B表示“两数字之和为偶数”，事件C表示“两数字之差的绝对值等于3”．
(1)用样本点表示A∩B，A∪B；
(2)判断事件A与C，B与C的关系．
解 由题意列表如下：
由上表可知：
(1)A＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)}，
B＝{(1,1)，(1,3)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)}，
A∩B＝{(2,2)，(2,4)}，
A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)}．
(2)C＝{(1,4)}，A∩C＝{(1,4)}，故A与C能同时发生，不互斥也不对立．
B∩C＝?，B∪C≠Ω，故B与C互斥但不对立．
PAGE
- 1 -
课时作业46 古典概型
知识点一 样本点个数的计算
1.一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
答案 C
解析 把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.
2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求出这个试验的样本点的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
(2)样本点的总数为6.
(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个样本点：(2,0)，(2,1).
知识点二 古典概型的判断
3.下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________．
答案 ③
解析 ①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.
知识点三 古典概型概率的计算
4.一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为A1，A2,4个黑球记为B1，B2，B3，B4，从中一次性摸出2个球．
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；
(2)求摸出的2个球颜色不同的概率．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个样本点．
(2)因为(1)中的15个样本点出现的可能性是相等的，事件“摸出的2个球颜色不同”包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，共8个，故所求事件的概率P＝.
5．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张形状、大小完全相同的标签，先后随机地选取2张标签，根据下列条件，分别求2张标签上的数字为相邻整数的概率．
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
解 记事件A为“选取的2张标签上的数字为相邻整数”．
(1)从4张标签中无放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点．
由古典概型的概率计算公式知P(A)＝＝，故无放回地选取2张标签，这2张标签上数字为相邻整数的概率为.
(2)从4张标签中有放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共有16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的．A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点，这6个样本点出现的可能性是相等的．由古典概型的概率计算公式知P(A)＝＝，故有放回地选取2张标签，这2张标签上数字为相邻整数的概率为.
6．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解 甲校的男教师用A，B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用E，F表示．
(1)根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，这个试验的样本空间Ω1＝{AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF}，共有9个样本点，这9个样本点发生的可能性是相等的．
其中“选出的2名教师性别相同”包含的样本点有AD，BD，CE，CF，共4个．
故选出的2名教师性别相同的概率P1＝.
(2)若从报名的6名教师中任选2名，这个试验的样本空间Ω2＝{AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF}，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．
其中“选出的2名教师来自同一个学校”包含的样本点有AB，AC，BC，DE，DF，EF，共6个样本点．
故选出的2名教师来自同一学校的概率P2＝＝.
易错点 对样本空间列举不全致误
7.任意掷两个骰子，计算：
(1)出现点数之和为奇数的概率；
(2)出现点数之和为偶数的概率．
易错分析 本题易出现样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)}的错误；忽略先后顺序导致对样本空间列举不全致误．
正解 任意掷两个骰子，这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的．
(1)“出现点数之和为奇数”包含的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共18个．因此点数之和为奇数的概率为＝.
(2)“出现点数之和为偶数”包含的样本点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个．因此点数之和为偶数的概率为＝.
一、选择题
1．下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有样本点的个数只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝.
其中所有正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①③
C．③④ D．①③④
答案 D
解析 ②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．故选D.
2．将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 这个试验的样本空间中共包含36个样本点，且这36个样本点发生的可能性是相等的，“点数之和为3的倍数”包含的样本点有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12个，因此所求概率为＝.
3．从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 这个试验的样本空间Ω＝{12,13,21,23,31,32}，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的，因此是古典概型．其中“大于23”包含的样本点有31,32，共2个，所以所求概率P＝＝.
4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别为b1，b2，b3.
齐王与田忌赛马，其情况有：
(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；
(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜．共6种情况，且这6种情况发生的可能性是相等的．
其中田忌获胜的只有一种情形，即(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，则田忌获胜的概率为.故选D.
5．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，这个试验共包含16个样本点，这16个样本点发生的可能性是相等的，其中“|a－b|≤1”包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为＝.
二、填空题
6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．
答案
解析 设一、二等奖分别用A，B表示，另一张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取一张，这个试验的样本空间Ω＝{AB，AC，BA，BC，CA，CB}，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中两人都中奖的事件包含的样本点有AB，BA，共2个，故所求的概率P＝＝.
7．从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为________．
答案
解析 从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，共6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中“甲、乙两人中有且只有一人被选取”这个事件包含的样本点有(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，共4个，故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为＝.
8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．
答案
解析 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，且组成这24个自然数的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以组成的三位数为“有缘数”的概率为＝.
三、解答题
9．先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A∪B)．
解 用数对(x，y)表示抛掷结果，则这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，
共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的，A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含6个样本点，所以P(A)＝＝.
B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)}，包含15个样本点，所以P(B)＝＝.
AB＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)}，包含3个样本点，所以P(AB)＝＝.
A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含18个样本点，所以P(A∪B)＝＝.
10．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数(不考虑指针落在分界线上的情况)．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以样本点总数n＝16，且这16个样本点发生的可能性是相等的．
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3
则事件B包含的样本点共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以P(B)＝＝.
事件C包含的样本点共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P(C)＝.因为>，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
PAGE
- 1 -
课时作业47 概率的基本性质
知识点一 概率的性质
1.下列结论正确的是( )
A．事件A发生的概率为P(A)＝1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．如果A?B，那么P(A)答案 B
解析 因为事件A发生的概率0≤P(A)≤1，所以A错误；不可能事件的概率规定为0，必然事件的概率规定为1，所以B正确；小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，但并不是不发生，大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，所以C错误；由概率的单调性可知，如果A?B，那么P(A)≤P(B)，所以D错误.
知识点二 互斥事件的概率
2.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．
答案
解析 记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，
所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
3．在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：
等候人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.05 0.14 0.35 0.30 0.10 0.06
求：(1)等候人数不超过2的概率；
(2)等候人数大于等于3的概率．
解 设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0,1,2,3,4，大于等于5的事件，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)设M表示事件“等候人数不超过2”，则M＝A∪B∪C，故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54.
(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”，则N＝D∪E∪F，故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46.
知识点三 对立事件的概率
4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
答案 C
解析 由对立事件的概率关系知抽到的不是一等品的概率为P＝1－0.65＝0.35.
5．某射击手平时的射击成绩统计如下表所示：
环数 7环以下 7 8 9 10
命中概率 0.13 a b 0.25 0.24
已知他命中7环及7环以下的概率为0.29.
(1)求a和b的值；
(2)求命中10环或9环的概率；
(3)求命中环数不足9环的概率．
解 (1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29，
所以a＝0.29－0.13＝0.16，b＝1－(0.29＋0.25＋0.24)＝0.22.
(2)命中10环或9环的概率为0.24＋0.25＝0.49.
(3)命中环数不足9环的概率为1－0.49＝0.51.
易错点 不能区分事件是否互斥而错用加法公式
6.掷一个质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)．
易错分析 由于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解，而致误．
正解 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4.
故P(A∪B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
一、选择题
1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可知
即即解得
2．下列说法正确的是( )
A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是对立事件
D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
答案 A
解析 根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A正确．对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，且均为零，故B错误．若P(A)＋P(B)＝1，且AB＝?时，事件A与B是对立事件，故C错误．事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生，A，B都发生；A，B中恰有一个发生包括A发生B不发生，A不发生B发生；当事件A，B互斥时，事件A，B至少有一个发生的概率等于事件A，B恰有一个发生的概率，故D错误．
3．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A∪B及B∪C的概率分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
答案 A
解析 P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.因为事件A，B，C两两互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝.
4．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是( )
①A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件；
②A1∪A2＋A3是必然事件；
③P(A2∪A3)＝0.8；
④P(A1∪A2)≤0.5.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 由题意知，A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A3)≤0.7，所以，只有④正确，所以说法正确的个数为1.故选B.
5．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是( )
A．都是一级品
B．都是二级品
C．一级品和二级品各1件
D．至少有1件二级品
答案 D
解析 设A1，A2，A3分别表示3件一级品，B1，B2分别表示2件二级品．任取2件，则样本空间Ω＝{A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2}，共10个样本点，每个样本点出现的可能性相等．
事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，
则P(A)＝，
事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，
则P(B)＝，
事件C表示“2件中一件一级品、一件二级品”，包含6个样本点，则P(C)＝＝.
事件A，B，C互斥，P(B)＋P(C)＝，B∪C表示“至少有1件二级品”，故选D.
二、填空题
6．从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A∪B)＝________.
答案
解析 事件A，B为互斥事件，由题意可知P(A)＝，P(B)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
7．在掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A∪发生的概率为________．(表示B的对立事件)
答案
解析 随机掷一枚质地均匀的骰子一次共有六种不同的结果，且每种结果发生的可能性是相等的．其中事件A“出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果，P(A)＝＝.
事件B“出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果，
P(B)＝＝，P()＝.
且事件A和事件是互斥事件，所以P(A∪)＝＋＝.
8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是________，________，________.
答案
解析 设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，且事件A，B，C，D两两互斥，根据题意，得
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
三、解答题
9．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，
∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，由对立事件概率公式得P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
10．甲、乙两人玩一种游戏，每次甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若事件A表示“和为6”，求P(A)；
(2)现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解 (1)易知样本点总数n＝25，且每个样本点出现的可能性相等．
事件A包含的样本点共5个：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．所以P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次．
(3)这种游戏规则不公平．
和为偶数的样本点有：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．共13个，
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为1－＝，
所以这种游戏规则不公平．
PAGE
- 1 -
课时作业48 事件的相互独立性
知识点一 事件独立性的判定
1.袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
答案 A
解析 根据相互独立事件的概念可知，A1与A2相互独立，故A1与2也相互独立．
2．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
解 (1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω1＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共包含4个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω2＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共包含8个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为.这时A包含6个样本点，B包含4个样本点，AB包含3个样本点．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的.
知识点二 相互独立事件同时发生的概率
3.如图所示，在两个转盘中，指针落在转盘每个数所在区域的机会均等(不考虑指针落在分界线上的情况)，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵左边转盘指针落在奇数区域的概率为，右边转盘指针落在奇数区域的概率为，∴两个转盘指针同时落在奇数区域的概率为×＝.
4．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．
答案
解析 用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
且P()＝P()P()P()＝××＝.
∴此密码被破译的概率为1－＝.
知识点三 相互独立事件的综合应用
5.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；
(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．
解 (1)记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”．
依题意知，事件A和事件B相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C，则C＝A1A2A34∪1A2A3A4，且A1A2A34与1A2A3A4是互斥事件．
由于A1，A2，A3，A4之间相互独立，
所以Ai与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．
由于P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，
P(1)＝P(2)＝P(3)＝P(4)＝，
故P(C)＝P(A1A2A34∪1A2A3A4)
＝P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＋P(1)P(A2)P(A3)P(A4)
＝3×＋×3＝.
所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为.
(3)记事件Bi表示“乙第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，
则D＝B1B234∪1B234，
且B1B234与1B234是互斥事件．
由于B1，B2，B3，B4之间相互独立，
所以Bi与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．
由于P(Bi)＝(i＝1,2,3,4)，P(i)＝(i＝1,2,3,4)，
故P(D)＝P(B1B234∪1B234)
＝P(B1B234)＋P(1B234)
＝P(B1)P(B2)P(3)P(4)＋P(1)P(B2)P(3)P(4)
＝2×2＋×3＝.
所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为.
易错点 不能正确理解独立事件发生的概率致误
6.设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率．
易错分析 在相互独立事件A和B中，只有A发生，即事件A发生；只有B发生，即事件B发生．
解决此类问题时，往往会误认为P(A)＝P(B)＝，其实在A和B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个基本事件同时发生，即事件A发生．
正解 因为A和B相互独立，
所以A与，和B也相互独立．
所以P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝，①
P(B)＝P()P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝.②
①－②，得P(A)＝P(B)．③
①③联立，解得P(A)＝P(B)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
故事件A和事件B同时发生的概率为.
一、选择题
1．掷一枚骰子一次，记A表示事件“出现偶数点”，B表示事件“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．既互斥又相互独立事件
D．既不互斥又不相互独立事件
答案 B
解析 因为该试验的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×＝P(A)P(B)，所以A与B是相互独立事件．
2．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设事件A：甲实习生加工的零件为一等品，事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝，P(B)＝，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
3．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )
A．0.95 B．0.6
C．0.05 D．0.4
答案 A
解析 解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故所求事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.
解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故所求事件的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.故选A.
4．甲、乙、丙三位学生用计算机学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各答一次，则三人中只有1人及格的概率为( )
A. B.
C. D．以上都不对
答案 C
解析 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为××＋××＋××＝.
5．如图所示，用K，A1，A2三个不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
答案 B
解析 解法一：由题意知，K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.
因为K，A1，A2相互独立，
所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为
P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，
所以系统正常工作的概率为
P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
解法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为
1－P(12)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.
所以系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
二、填空题
6．有一批书共100本，其中文科书有40本，理科书有60本，按装订可分为精装、平装两种，其中精装书有70本．记“某人从这100本书中任取1本，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书”为事件M，则事件M发生的概率是________．
答案
解析 设“任取1本书是文科书”为事件A，“任取1本书是精装书”为事件B，根据题意可知P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P(M)＝P(A)P(B)＝×＝.
7．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________．
答案
解析 设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C＝A∪B，且A和B互斥．
故P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
8．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
答案 0.46
解析 设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A12A3∪1A2A3发生，故所求概率为
P＝P(A1A2A3∪A12A3∪1A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)·P(A2)P(A3)
＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
三、解答题
9．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
解 记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3,4,5)．
(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则
A＝A3A4∪B3B4，由于各局比赛结果相互独立，故
P(A)＝P(A3A4∪B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
所以再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.
(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5，
由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5)
＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
所以甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.
10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
(1)该应聘者用方案一通过考试的概率；
(2)该应聘者用方案二通过考试的概率．
解 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9.
(1)应聘者用方案一通过考试的概率为
P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC)
＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)P(C)
＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75.
(2)从三门课程中随机选取两门的样本空间为Ω＝{AB，AC，BC}，每个样本点发生的概率均为，因此，应聘者用方案二通过考试的概率为
P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)
＝P(A)P(B)＋P(B)P(C)＋P(A)P(C)
＝×0.5×0.6＋×0.6×0.9＋×0.5×0.9
＝0.43.
PAGE
- 1 -
课时作业49 频率的稳定性
知识点一 频率与概率
1.在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，P(A)与的关系是( )
A．P(A)≈ B．P(A)<
C．P(A)> D．P(A)＝
答案 A
解析 根据概率的定义，当n很大时，频率是概率的近似值．
2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：
抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000
优等品数m 45 92 194 470 954 1902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球为优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
解 (1)表中乒乓球为优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，随着抽取的球数n的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数0.950的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为0.950.
知识点二 对概率的正确理解及简单
3.经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．
解 这种解释不正确．理由如下：
因为“投篮命中”是一个随机事件，投篮命中率为90%，是指该运动员投篮命中的概率是一种可能性，就一次投篮而言，可能发生也可能不发生，而不是说投篮100次就一定命中90次．
4．某理工院校一个班级有60人，男生人数为57，把该班学生学号打乱，随机指定一个学生，你认为这个学生是男生还是女生？
解 从学号中随机抽出一个，
是男生的可能性为＝95%，
要比是女生的可能性＝5%大得多，
因此随机指定一个，估计应是男生.
知识点三 用频率估计概率
5.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组 频数 频率
[500,900) 48
[900,1100) 121
[1100,1300) 208
[1300,1500) 223
[1500,1700) 193
[1700,1900) 165
1900及以上 42
(1)求各组的频率；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．
解 (1)各组的频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1500小时的频率是＝0.6.
即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.
易错点 混淆概率与频率的概念
6.把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．
易错分析 由于混淆了概率与频率的概念而致误，事实上频率是随机的，而概率是一个确定的常数，与每次的试验无关．
答案 0.5
正解 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故可认为掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5，故填0.5.
一、选择题
1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )
A．次品率小于10% B．次品率大于10%
C．次品率等于10% D．次品率接近10%
答案 D
解析 抽出的样本中次品率为，即10%，所以总体中次品率大约为10%.
2．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
答案 D
解析 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.
3．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( )
A．90% B．小于90%
C．大于90% D．无法确定
答案 A
解析 概率是一个确定的常数，在试验前已经确定，与试验次数无关．
4．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )
A．①②③④ B．①②④
C．③④ D．③
答案 A
解析 概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此①②④错误；③中抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此③错误．
5．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，欲了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：
满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2100 1000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1200＋2100＝3300，所以在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为＝.故选C.
二、填空题
6．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70]2个．则x等于________；根据样本的频率估计概率，数据落在[10,50)的概率约为________．
答案 4 0.7
解析 样本中数据总个数为20，∴x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4；在[10,50)中的数据有14个，故所求概率P＝＝0.7.
7．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示．
抽查件数 50 100 200 300 500
合格件数 47 92 192 285 478
根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品．
答案 1000
解析 由表中数据知，抽查5次，产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品，则≈0.95，所以n≈1000.
8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果．
投资成功 投资失败
192次 8次
则估计该公司一年后可获得的平均收益是________万元．
答案 0.476
解析 应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数．设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%.
一年后公司成功的概率估计为＝，
失败的概率估计为＝.
所以估计一年后公司可获得的平均收益为
5×12%×－5×50%×＝0.476万元．
三、解答题
9．某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [0， 900) [900， 1100) [1100， 1300) [1300， 1500) [1500， 1700) [1700， 1900) [1900， ＋∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．
解 (1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1500小时的频数是
48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中使用寿命不足1500小时的频率是＝0.6，即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.
10．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，
获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
11．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
解 记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；
CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；
CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；
CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，
C＝CB1CA1＋CB2CA2.
P(C)＝P(CB1CA1＋CB2CA2)
＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)
＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．
由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，，故P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝，P(C)＝×＋×＝0.48.
12．某中学一年级有12个班，要从中选出2个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班参加．有人提议用如下方法：投掷两个骰子得到的点数和是几(见表)，就选几班，你认为这种方法公平吗？
1点 2点 3点 4点 5点 6点
1点 2 3 4 5 6 7
2点 3 4 5 6 7 8
3点 4 5 6 7 8 9
4点 5 6 7 8 9 10
5点 6 7 8 9 10 11
6点 7 8 9 10 11 12
解 从表中可以看出投掷两个骰子得到的点数之和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12的情况分别有1种，2种，3种，4种，5种，6种，5种，4种，3种，2种，1种，总结果数为36种．
∴点数和是2与点数和是12的频数相等，则其概率也相等，为；
同理，点数和是3与点数和是11的概率为＝；
点数和是4与点数和是10的概率为＝；
点数和是5与点数和是9的概率为＝；
点数和是6与点数和是8的概率为；
点数和是7的概率为＝.
由此分析得知，掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班这种方法不公平．若按这种选法，显然七班被选中的机会最大，二班和十二班被选中的机会最小．
PAGE
- 1 -
课时作业50 随机模拟
知识点一 随机数产生的方法
1.下列不能产生随机数的是( )
A．抛掷骰子试验
B．抛硬币
C．利用计算器
D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体
答案 D
解析 D项中，出现2的概率为，出现1,3,4,5的概率均是，故不能产生随机数．
2．试用随机数把a，b，c，d，e五位同学排成一排．
解 用计算器的随机函数RANDI(1,5)或计算机的RANDBETWEEN(1,5)产生5个不同的1到5之间的取整数值的随机数，即依次为a，b，c，d，e五位同学的座位号.
知识点二 随机模拟法估计概率
3.一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．
解 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：
330130 302220 133020 022011 313121
222330 231022 001003 213322 030032
100211 022210 231330 321202 031210
232111 210010 212020 230331 112000
102330 200313 303321 012033 321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，共有4组数，由此可得该同学6道选择题至少答对3道的概率近似为＝0.16.
易错点 用随机模拟估计概率时审题不清致误
4.通过模拟试验产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________．
易错分析 错误的根本原因是由于审题不清，或因击中目标数多查或漏查而出现错误，导致计算结果不正确．
答案 0.25
正解 因为表示三次击中目标分别是：3013,2604,5725,6576,6754，共5个数．随机数总共20个，所以所求的概率近似为＝0.25.
一、选择题
1．某校某高一学生在“体音美2＋1＋1项目”中学习游泳，他每次游泳测试达标的概率都为0.6.现采用随机模拟的方法估计该同学三次测试恰有两次达标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数随机数，指定1,2,3,4表示未达标，5,6,7,8,9,0表示达标；再以每三个随机数为一组，代表三次测试的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
917 966 891 925 271 932 872 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 507 989
据此估计，该同学三次测试恰有两次达标的概率为( )
A．0.50 B．0.40
C．0.43 D．0.48
答案 A
解析 显然基本事件的总数为20，再从这20组随机数中统计出符合条件的个数，进而可求出所求事件的频率，据此便可估计出所求事件的概率．在这20个数据中符合条件的有917,891,925,872,458,683,257,027,488,730，共10个，所以所求事件的概率为＝0.50，故选A.
2．甲、乙两人一起去故宫，他们约定，各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 甲、乙最后一小时他们所在的景点共有36种情况，甲、乙最后一小时他们同在一个景点共有6种情况．由古典概型的概率公式知最后一小时他们同在一个景点的概率是P＝＝.
3．袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外小球完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色．用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0,1,2,3代表黑球，4,5,6,7,8,9代表白球，在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为( )
160 288 905 467 589 239 079 146 351
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 二白一黑的组为288,905,079,146，共4组．
4．池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨，6,7,8,9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281
7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436
5987 3882 0753 8935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 在20组四位随机数中，0～5的整数恰出现3次的四位数有8组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为＝.
5．袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“秋”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 在20组随机模拟数中，表示第二次就停止的有13,43,23,13,13，共5组．故模拟概率为＝.
二、填空题
6．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为________．
答案 0.5
解析 20组随机数中表示恰有一次中靶心的有93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10种，故所求概率P＝＝0.5.
7．一个小组有6位同学，选1位小组长，用随机模拟方法估计甲被选中的概率，给出下列步骤：
①统计甲的编号出现的个数m；
②将6名同学编号1,2,3,4,5,6；
③利用计算机或计算器产生1到6之间的整数随机数，统计个数为n；
④则甲被选中的概率近似为.
其正确步骤顺序为________(写出序号)．
答案 ②③①④
解析 正确步骤顺序为②③①④.
8．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性为________．
答案
解析 [a，b]中共有(b－a＋1)个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是.
三、解答题
9．一个口袋中有大小相等的5个白球和3个黑球，从中有放回地取出一球，共取两次，试用随机模拟的方法求取出的球都是白球的概率．
解 利用计算器或计算机产生1到8之间的取整数值的随机数，用1,2,3,4,5表示白球，6,7,8表示黑球，每两个一组，统计产生随机数的总组数N及两个数字都小于6的组数N1，则频率即为两次取球都为白球的概率的近似值．
10．某射击运动员每次击中目标的概率都是80%.若该运动员连续射击10次，用随机模拟方法估计其恰好有5次击中目标的概率．
解 步骤：(1)用1,2,3,4,5,6,7,8表示击中目标，用9,0表示未击中目标，这样可以体现击中的概率为80%；
(2)利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数，每10个作为一组，统计组数n；
(3)统计这n组数中恰有5个数在1,2,3,4,5,6,7,8中的组数m；
(4)则连续射击10次恰有5次击中目标的概率的近似值是.
PAGE
- 1 -
第十章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，随机事件的个数是( )
①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④x∈R，则|x|的值不小于0.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 ①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
2．下列说法正确的个数为( )
①彩票的中奖率为千分之一，那么买一千张彩票就肯定能中奖；
②抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大；
③在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球，甲、乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，那么这种游戏是公平的．
A．1 B．2
C．3 D．0
答案 D
解析 对于①，彩票的中奖率为千分之一，但买一千张彩票不一定能中奖，故错误；对于②，抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面一样大，故错误；对于③，根据古典概型概率计算公式可得，甲获胜的概率为，故这种游戏是不公平的，故错误．所以说法正确的个数为0个，故选D.
3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A．0.2 B．0.28
C．0.52 D．0.8
答案 A
解析 设“摸出红球”为事件M，“摸出白球”为事件N，“摸出黑球”为事件E，则P(M)＋P(N)＋P(E)＝1，所以P(E)＝1－P(M)－P(N)＝1－0.52－0.28＝0.2.故选A.
4．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案 A
解析 由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．
5．若“A∪B”发生(A，B中至少有一个发生)的概率为0.6，则，同时发生的概率为( )
A．0.6 B．0.36
C．0.24 D．0.4
答案 D
解析 “A∪B”发生指A，B中至少有一个发生，它的对立事件为A，B都不发生，即，同时发生．
6．在5盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 对5盒酸奶编号1～5,4,5代表过期．从中任取2盒，则样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，这10个样本点出现的可能性相等．含4,5的有7个，所以所求概率为，故选C.
7．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1，共12种情况，这12种情况发生的可能性是相等的．而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，共4种情况，则所求事件发生的概率为P＝＝.故选A.
8．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙领到的钱数不少于乙、丁的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(4,2,3)，(4,3,2)，(5,2,2)，共有10种情况，这10种情况发生的可能性是相等的．而丙领到的钱数不少于乙、丁的情况有(2,4,3)，(2,5,2)，(3,3,3)，(3,4,2)，共计4种，故所求概率为＝.故选C.
9．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为的是( )
A．颜色相同 B．颜色不全同
C．颜色全不同 D．无红球
答案 B
解析 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不同的结果有6种，其概率为＝；无红球的结果有8种，其概率为.故选B.
10．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题设条件可得，P(A)P()＝P()P(B)，P()P()＝，又P(A)＝1－P()，P(B)＝1－P()，所以P()＝P()＝.所以P(A)＝1－P()＝.
11．某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：
所用时间(分钟) [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
人数 25 50 15 5 5
公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是y＝200＋40，其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( )
A．0.5 B．0.7
C．0.8 D．0.9
答案 D
解析 由题意知y≤300，即200＋40≤300，即≤2.5，解得0≤t<60，由表可知t∈[0,60)的人数为90，故所求概率为＝0.9.
12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 根据题中频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，
设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A，B，
设生产产品件数在[15,20)内的4人分别是C，D，E，F，
则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，这15种结果出现的可能性相等．
2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．
则选取的这2人不在同一组的概率为.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为________．
答案
解析 列出满足题意的编号情况：2与5,3与5,4与5,3与4，共4种．又总共有10种情况，且这10种情况发生的可能性是相等的，故所求概率为＝.
14．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
答案
解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，这9种情况发生的可能性是相等的．他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P＝＝.
15．A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，则A或B在边上的概率为________．
答案
解析 A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，基本事件数共24种，这24种基本事件发生的可能性是相等的，如下图所示．
A，B都不在边上共4种，所以A或B在边上的概率为P＝1－＝.
16．设两个相互独立的事件A与B，若事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1－p，则A与B同时发生的概率的最大值是________．
答案
解析 A与B同时发生，即事件AB发生，根据相互独立事件的概率的乘法公式，得P(AB)＝P(A)P(B)＝p(1－p)＝p－p2＝－2＋.
当p＝时，P(AB)取得最大值.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解 (1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
18．(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表(单位：人)：
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
解 (1)记“该同学至少参加上述一个社团”为事件A，则P(A)＝＝.
所以该同学至少参加上述一个社团的概率为.
(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有的样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共15个，这15个样本点发生的可能性是相等的．其中A1被选中且B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.
19．(本小题满分12分)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用比例分配的分层随机抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解 (1)从小学中抽取的学校数目为6×＝3，从中学中抽取的学校数目为6×＝2，从大学中抽取的学校数目为6×＝1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种，每种结果出现的可能性相等．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝＝.
所以抽取的2所学校均为小学的概率为.
20．(本小题满分12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．
解 (1)由题意可知，取到标号为2的小球的概率为，可得＝，解得n＝2.
(2)不放回地随机抽取2个小球的所有样本点为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，这12个样本点发生的可能性是相等的．事件A包含的样本点为(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．所以P(A)＝＝.
21．(本小题满分12分)在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为，，，求：
(1)3人都通过体能测试的概率；
(2)只有2人通过体能测试的概率；
(3)只有1人通过体能测试的概率．
解 设事件A表示“甲通过体能测试”，事件B表示“乙通过体能测试”，事件C表示“丙通过体能测试”．由题意有：
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)设M1表示事件“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M1＝ABC.
由事件A，B，C相互独立，可得
P(M1)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
＝××＝.
所以3人都通过体能测试的概率为.
(2)设M2表示事件“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则M2＝AB∪AC∪BC，由于事件A，B，C，，，均相互独立，并且事件AB，AC，BC两两互斥，因此所求概率为
P(M2)＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C)＝××＋××＋××＝.
所以只有2人通过体能测试的概率为.
(3)设M3表示事件“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则M3＝A ∪B∪ C，
由于事件A，B，C，，，均相互独立，并且事件A ，B， C两两互斥，因此所求概率为P(M3)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝××＋××＋××＝.
所以只有1人通过体能测试的概率为.
22．(本小题满分12分)某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在[65,90)内)分组如下：第一组[65,70)，第二组[70,75)，第三组[75,80)，第四组[80,85)，第五组[85,90)．得到频率分布直方图如图．
(1)求测试成绩在[80,85)内的频率；
(2)从第三、四、五组学生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率．
解 (1)测试成绩在[80,85)内的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.
(2)第三组的人数为0.06×5×100＝30，第四组的人数为0.2×100＝20，第五组的人数为0.02×5×100＝10，所以第三组抽取3人，第四组抽取2人，第五组抽取1人．
设第三组抽到的3人为A1，A2，A3，第四组抽到的2人为B1，B2，第五组抽到的1人为C.
从6名学生中随机选取2名学生的所有可能结果有15种：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，这15种结果出现的可能性相等．
设“第四组2名学生中至少有1名学生被抽中”为事件M，则事件M包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共9种．
所以，第四组至少有1名学生被抽中的概率P(M)＝＝.
PAGE
- 1 -
