课时作业16 数系的扩充和复数的概念
知识点一 复数的概念
1.下列命题中正确的是( )
A．0是实数不是复数
B．实数集与复数集的交集是实数集
C．复数集与虚数集的交集是空集
D．若实数a与ai对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应
答案 B
解析 A中，0是实数也是复数，A不正确；B中，实数集与复数集的交集是实数集，B正确；C中，复数集与虚数集的交集是虚数集，C不正确；D中，当a＝0时，ai＝0，所以实数0在纯虚数集中没有对应元素，D不正确．故选B.
2．(1＋)i的实部与虚部分别是( )
A．1， B．1＋，0
C．0,1＋ D．0，(1＋)i
答案 C
解析 (1＋)i的实部为0，虚部为1＋.
知识点二 复数的分类
3.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
答案 A
解析 由复数z为纯虚数，可知
解得x＝－1.
4．设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为a，b∈R，则“a＝0”时，“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件.
知识点三 复数相等
5.已知复数z1＝(a＋2b)＋(a－b)i，z2＝－4b＋(2a＋1)i(a，b∈R)，当z1＝z2时，a＋b＝________.
答案 －1
解析 依题意，得解得所以a＋b＝－＋＝－1.
6．求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)xi－i2＝y＋2i；
(2)(x2＋y2)＋2xyi＝6－6i；
(3)(2x－1)－(3－y)i＝0.
解 (1)由i2＝－1可得xi＋1＝y＋2i，根据复数相等的充要条件可得
(2)根据复数相等的充要条件可得解得 或
(3)由于0＝0＋0i，则根据复数相等的充要条件可得
解得
7．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
解 由题意，得
∴∴当m＝3时，原不等式成立．
一、选择题
1．已知a，b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若a＝b＝0，则(a－b)＋(a＋b)i不是纯虚数；
若(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，则
2．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则( )
A．M∪R＝I B．(?IM)∪R＝I
C．(?IM)∩R＝R D．M∩(?IR)＝?
答案 C
解析 根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示．
所以应有：M∪RI，(?IM)∪R＝?IM，M∩(?IR)≠?，故A，B，D均错误，只有C正确．
3．以复数－i(x2＋2x＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点( )
A．在圆x2＋y2＝2上
B．在圆x2＋y2＝2外
C．在圆x2＋y2＝2内
D．与圆x2＋y2＝2的位置关系不确定
答案 B
解析 因为以复数－i(x2＋2x＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点为.又＋x2＋2x＝(x＋1)2＋＞2，所以该点在圆x2＋y2＝2外，选B.
4．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D.＋(k∈Z)
答案 B
解析 由得(k∈Z)．
∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为( )
A．0 B．－1 C．－ D.
答案 A
解析 由z1＞z2，得
即
二、填空题
6．给出下列复数：①－2i，②3＋，③8i2，④isinπ，⑤4＋i.其中表示实数的有________(填序号)．
答案 ②③④
解析 ②显然为实数；③8i2＝－8为实数；④isinπ＝0为实数．
7．已知(1＋i)m2＋(7－5i)m＋10－14i＝0，则实数m＝________.
答案 －2
解析 把原式整理得，
(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，
∵m∈R，∴解得m＝－2.
8．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为________．
答案
解析 由z1＝z2，得
消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝42－.
由于－1≤sinθ≤1，故－≤λ≤7.
三、解答题
9．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，求实数m，n的值．
解 ∵z1＝z2，∴解得或∴m＝2，n＝±2.
10．求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.
(1)复数z是实数的充要条件是：
即即m＝－2.
∴当m＝－2时复数z为实数．
(2)复数z是虚数的充要条件是：
即m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时复数z为虚数．
(3)复数z是纯虚数的充要条件是：
即即m＝3.
∴当m＝3时复数z为纯虚数．
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课时作业17 复数的几何意义
知识点一 复平面内的复数与点的对应
1.复数1－2i在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 复数1－2i在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．
2．在复平面内的复数3i－i2对应的点的坐标为( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1,3) D．(3，－1)
答案 A
解析 3i－i2＝1＋3i，故复数3i－i2对应的点的坐标为(1,3)．故选A.
3．已知z＝(m2－1)＋mi在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(－∞，1)
答案 C
解析 由z在复平面内对应的点在第二象限，得解得0
4．在复平面内，复数z＝5a＋(6－a2)i，表示其共轭复数的点在第三象限，则实数a满足( )
A．－C．0答案 A
解析 ∵根据题意，z＝5a＋(6－a2)i对应的点在第二象限，∴解得－知识点二 复数的模
5.已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )
A．z1>z2 B．z1C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
答案 D
解析 复数不能比较大小，排除选项A，B.
又|z1|＝，|z2|＝.∴|z1|<|z2|.
故选D.
6．已知复数z满足|z|＝1，则z＝( )
A．±1
B．±i
C．a＋bi(a，b∈R)，且a2＋b2＝1
D．1＋i
答案 C
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由|z|＝1，得a2＋b2＝1.故选C.
7．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 |z|＝≤2，解得－≤m≤.
知识点三 复数的几何意义的应用
8.设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
解 由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．
9．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．
解 因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，所以a＝(－3,0)，b＝.又a，b的夹角为60°，
所以cos60°＝，
即＝，解得m＝±.
一、选择题
1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
答案 A
解析 由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1.故选A.
2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是( )
A．(1，) B．(1，) C．(1,3) D．(1,5)
答案 B
解析 |z|＝.∵0＜a＜2，∴0＜a2＜4.
∴1＜＜，即1＜|z|＜.故选B.
3．已知复数z＝x＋1＋(y－1)i(x，y∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，则点(x，y)所在的平面区域是( )
答案 A
解析 由题意得解得故点(x，y)所在的平面区域为A项中的阴影部分．
4．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为( )
A．1＋i,1＋i B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i D．2＋i,1＋i
答案 C
解析 ∵表示复数1＋i，∴点A(1,1)，
将向右平移一个单位，得对应1＋i，A′(2,1)，
∴点A′对应复数2＋i.故选C.
5．向量＝(，1)按逆时针方向旋转60°后得到的向量所对应的复数为( )
A．－＋i B．2i C．1＋i D．－1＋i
答案 B
解析 向量＝(，1)，设其方向与x轴正方向夹角为θ，tanθ＝＝，则θ＝30°，按逆时针方向旋转60°后与x轴正方向夹角为90°，又||＝2，所以旋转后对应的复数为2i.故选B.
二、填空题
6．在复平面内，O为坐标原点，向量O对应的复数为3－4i，如果点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量O对应的复数为________．
答案 3＋4i
解析 ∵点B的坐标为(3，－4)，
∴点A的坐标为(－3,4)．
∴点C的坐标为(3,4)．
∴向量对应的复数为3＋4i.
7．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为________．
答案 (0,2)
解析 |z|＝＝，
∵π<α<2π，∴－1∴0<2＋2cosα<4，∴|z|∈(0,2)．
8．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝a＋2＋(1－2a)i在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的________．(填“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)
答案 充要条件
解析 由题意得，在复平面内点M的坐标为(a＋2,1－2a)，当a>时，a＋2>>0,1－2a<0，所以点M在第四象限；当点M在第四象限时，则解得a>.故“a>”是“点M在第四象限”的充要条件．
三、解答题
9．求当实数m为何实数时，复平面内表示复数z＝(1－m)＋(4－m2)i的点位于(1)虚轴上；(2)第二象限；(3)直线3x－y＋1＝0上．
解 ∵m为实数，∴1－m,4－m2都是实数，
∴复数z＝(1－m)＋(4－m2)i对应的点的坐标为(1－m，4－m2)．
(1)复数z对应的点位于虚轴上，则解得m＝1.
(2)复数z对应的点位于第二象限，则
∴故1＜m＜2.
(3)复数z对应的点位于直线3x－y＋1＝0上，则3(1－m)－(4－m2)＋1＝0，解得m＝0或m＝3.
10．设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数ω＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．
解 |ω|＝＝＝|z|，而1≤|z|≤，故≤|ω|≤2.所以ω对应点的集合是以原点为圆心，半径为和2的两圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－()2]＝2π.
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课时作业18 复数的加、减运算及其几何意义
知识点一 复数的加减运算
1.已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 ∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．
2．设z1＝1－i，z2＝a＋2ai(a∈R)，其中i是虚数单位，若复数z1＋z2是纯虚数，则有( )
A．a＝1 B．a＝
C．a＝0 D．a＝－1
答案 D
解析 ∵复数z1＋z2＝1－i＋a＋2ai＝1＋a＋(2a－1)i是纯虚数，∴a＋1＝0,2a－1≠0，∴a＝－1.
知识点二 复数加减运算的几何意义
3.在复平面上复数－1＋i,0,3＋2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为( )
A．5 B.
C. D.
答案 B
解析 对应的复数为－1＋i，对应的复数为3＋2i，
∵＝＋，
∴对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.
∴BD的长为.
4．已知复数z1对应的向量的终点在第二象限，复数z2对应的向量的终点在第二象限，那么复数z1＋z2对应的向量的终点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 根据题意结合向量加法运算的平行四边形法则知复数z1＋z2对应的向量的终点一定在复数z1，z2对应的向量所在的直线之间，即其终点也是在第二象限．故选B.
5．满足条件|z－2i|＋|z＋1|＝的点的集合是( )
A．正方形 B．直线
C．线段 D．圆
答案 C
解析 |z－2i|＋|z＋1|＝表示动点Z到两定点(0,2)与(－1,0)的距离之和为常数，又点(0,2)与(－1，0)之间的距离为，所以动点的集合为以两定点(0,2)与(－1,0)为端点的线段．故选C.
6．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为________．
答案 2
解析 由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.
知识点三 复数加减运算几何意义的应用
7.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案 A
解析 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．
8．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
答案 A
解析 |AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A.
9．若复数z满足|z|＝2，则|1＋i＋z|的取值范围是( )
A．[1,3] B．[1,4]
C．[0,3] D．[0,4]
答案 D
解析 复数z对应的点Z(a，b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|1＋i＋z|表示点Z(a，b)到点M(－1，－)的距离．
因为(－1，－)在|z|＝2这个圆上，所以距离最小是0，最大是4.故所求取值范围是[0,4]．
10．设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足|z－i|2－5|z－i|＋6<0的点Z的集合是什么图形？
解 ∵|z－i|2－5|z－i|＋6<0，∴(|z－i|－2)(|z－i|－3)<0，∴2<|z－i|<3.不等式|z－i|<3的解集是圆|z－i|＝3的内部所有的点组成的集合，不等式|z－i|>2的解集是圆|z－i|＝2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<|z－i|<3的点Z的集合．所求的集合是以(0,1)为圆心，以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．
一、选择题
1．计算2(5－2i)－3(－1＋i)－5i＝( )
A．－8i B．13＋8i
C．8＋13i D．13－12i
答案 D
解析 原式＝10－4i＋3－3i－5i＝13－12i.故选D.
2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝( )
A．－1＋2i B．－2－2i
C．1＋2i D．1－2i
答案 B
解析 由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i.故选B.
3．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)是( )
A．1－5i B．－2＋9i
C．－2－i D．5＋3i
答案 D
解析 ∵f(z)＝z－2i，∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝(3＋4i)－(－2－i)－2i＝(3＋2)＋(4＋1－2)i＝5＋3i.
4．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则|BD|等于( )
A．5 B. C. D.
答案 B
解析 依据复数加法、减法的几何意义可得＝(－1,1)，＝(3,2)，所以＝＋＝(2,3)，所以|BD|＝||＝＝.
5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵z＝3－4i，∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.
二、填空题
6．设a为非零实数，则
(1)满足|z＋a|＝|z－a|的复数z是________；
(2)满足|z＋ai|＝|z－ai|的复数z是________．
答案 (1)纯虚数也可能是零 (2)实数
解析 (1)满足|z＋a|＝|z－a|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是点(－a,0)与点(a,0)连线段的垂直平分线，即复数z对应的点在虚轴上，这样的复数z可能是纯虚数也可能是零．
(2)满足|z＋ai|＝|z－ai|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是点(0，－a)与点(0，a)连线段的垂直平分线，即复数z对应的点在实轴上，复数z一定是实数．
7．已知f(z＋i)＝3z－2i(z∈C)，则f(i)＝________.
答案 －2i
解析 解法一：∵f(z＋i)＝3z－2i＝3z＋3i－5i＝3(z＋i)－5i，则f(x)＝3x－5i，
∴f(i)＝3i－5i＝－2i.
解法二：令z＝0可得f(i)＝－2i.
8．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应点的集合是________．
答案 直线
解析 设z＝x＋yi，x，y∈R，
由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，得
＝，
化简可得3x－4y＝0，
所以复数z在复平面上对应点的集合是一条直线．
三、解答题
9．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．
解 设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z＋2－2i|＝1，得|z－(－2＋2i)|＝1，表示以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，由数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.
10．在平行四边形ABCD中，已知，对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.
(1)求B对应的复数；
(2)求B对应的复数；
(3)求平行四边形ABCD的面积．
解 (1)由于＝＋＝＋，
所以＝－.
故对应的复数为
z＝z1－z2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.
(2)由于＝－＝－，
所以对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中，
＝＝(－1,2)，＝＝(4,3)，
所以cos∠DAB＝＝＝.
因此sin∠DAB＝＝.
于是平行四边形ABCD的面积
S＝||||sin∠DAB＝×5×＝11.
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课时作业19 复数的乘、除运算
知识点一 复数的乘法运
1.设复数z＝1＋i，则z2－2z等于( )
A．－3 B．3 C．－3i D．3i
答案 A
解析 z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i－2－2－2i＝－3.
2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )
A．6－4i B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
答案 D
解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
3．若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
答案 D
解析 由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.
知识点二 复数的除法运算
4.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 ＋(1＋i)2＝i＋＋1－3＋2i＝－＋i，对应点在第二象限．
5．若z＝，则复数＝( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
答案 D
解析 z＝2＋＝2－i，＝2＋i.故选D.
6．若复数(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )
A．－2 B．4
C．－6 D．6
答案 C
解析 ∵＝＝为纯虚数，
∴∴a＝－6.
7．复数z满足(1＋i)z＝|i|，其中i为虚数单位，则z的实部与虚部之和为( )
A．1 B．0
C. D.
答案 B
解析 由(1＋i)z＝|i|＝1，得z＝＝＝－i，
∴z的实部与虚部分别为，－，和为0.故选B.
8．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )
A．i B．－i
C．±1 D．±i
答案 D
解析 令z＝x＋yi(x，y∈R)，则
得或
不难得出＝±i.故选D.
9．复数z＝的共轭复数是( )
A．1－i B．1＋i
C．－1＋i D．－1－i
答案 D
解析 z＝＝＝＝－1＋i，所以其共轭复数为＝－1－i.选D.
知识点三 虚数单位i的幂的周期性
10.已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝－z1z2＋i5在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 因为z1＝＋i，z2＝－＋i，
所以z＝－＋i5＝1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A.
11．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，i5＋i6＋i7＋i8＝i＋i2＋i3＋i4＝0，所以i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2021＝i.所以z＝＝＝＋i，所以对应点在第一象限，故选A.
12．已知复数z满足(1＋i)z＝1－3i(i是虚数单位)．
(1)求复数z的虚部；
(2)若复数(1＋ai)z是纯虚数，求实数a的值；
(3)若复数z的共轭复数为，求复数的模．
解 (1)由(1＋i)z＝1－3i，
得z＝＝＝＝－1－2i，
∴复数z的虚部为－2.
(2)(1＋ai)z＝(1＋ai)(－1－2i)＝2a－1－(2＋a)i，
∵复数(1＋ai)z是纯虚数，
∴解得a＝.
∴实数a的值为.
(3)由z＝－1－2i，得＝－1＋2i.
则＝＝＝＝－1－i，
∴|z|＝＝.
∴复数的模为.
一、选择题
1．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
答案 C
解析 z－1＝＝1－i，∴z＝2－i.
2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1024 B．1024
C．0 D．512
答案 C
解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
3．已知(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
答案 A
解析 因为＝＝为纯虚数，所以1－a＝0且1＋a≠0，得a＝1.
4．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
答案 B
解析 ∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴＝|1－ai|＝＝2，解得a＝或a＝－(舍去)．
5．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( )
A．{－1} B．{1}
C．{1，－1} D．?
答案 C
解析 因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}．
二、填空题
6．已知复数z＝，是z的共轭复数，则的模等于________．
答案 1
解析 由z＝＝＝＝－i，得||＝|z|＝|－i|＝1.
7．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ＝________.
答案 ＋kπ，k∈Z
解析 z2＝(cosθ＋isinθ)2＝cos2θ－sin2θ＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1.
于是
所以2θ＝π＋2kπ，k∈Z，
所以θ＝＋kπ，k∈Z.
8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
答案
解析 ＝＝＝
＝，
∵为纯虚数，∴
∴a＝.
三、解答题
9．计算＋2020＋.
解 原式＝＋1010＋
＝i＋(－i)1010＋＝i－1＋0＝－1＋i.
10．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
解 存在．
设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋
＝x＋＋i.
由已知得∵y≠0，∴
解得或
∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件．
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课时作业20 复数的三角表示式
知识点一 复数的三角表示
1.下列复数中已用三角形式表示的是( )
A．2(cosα－isinα)
B．2(sinα＋icosα)
C．－2(cosα＋isinα)
D．2[cos(－α)＋isin(－α)]
答案 D
解析 复数的三角形式为z＝r(cosα＋isinα)，其满足的条件为：
①r≥0.
②加号连接．
③cosα在前，sinα在后．
④α前后一致，可取任意值．
A不满足②，不正确；B不满足③，不正确；C不满足①，不正确．故选D．
2．复数z＝－3(i是虚数单位)的三角形式是( )
A．3
B．3
C．3
D．3
答案 C
解析 由复数的三角形式：z＝r(cosθ＋isinθ)得，
z＝－3＝3
＝3.故选C．
知识点二 复数的辐角与复数的模
3.复数z＝sinθ－icosθ的辐角主值是( )
A．θ－ B．π－θ
C．2π－θ D．θ＋
答案 A
解析 复数z＝sinθ－icosθ＝sin(π－θ)＋icos(π－θ)＝cos＋isin＝cos＋isin，由<θ<π，得0<θ－<，故此复数的辐角主值为θ－.故选A．
4．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
答案 B
解析 解法一：复数z＝1＋cosα＋isinα＝1＋＋i·2sincos＝2cos，
∵π<α<2π，∴<<π，cos<0，
∴|z|＝
＝2＝－2cos.
∴z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为－2cos.
解法二：∵|z|＝＝
＝ ＝ ＝，
∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴|z|＝－2cos.故选B．
5．当2π<θ<3π时，求复数z＝1－cosθ＋isinθ的模与辐角主值．
解 z＝1－cosθ＋isinθ＝2sin2＋i·2sincos
＝2sin.
∵2π<θ<3π，∴π<<，∴sin<0.
从而z＝－2sin
＝－2sin
∵π<<，∴0<－<.
故|z|＝－2sin，argz＝－.
知识点三 复数相等
6.若复数cosθ－isinθ与－sinθ＋icosθ(θ∈R)相等，则θ＝________.
答案 kπ－(k∈Z)
解析 解法一：根据两个复数相等的充要条件，得cosθ＝－sinθ，即tanθ＝－1，所以θ＝kπ－(k∈Z)．
解法二：设z1＝cosθ－isinθ，z2＝－sinθ＋icosθ，
则z1＝cos(－θ)＋isin(－θ)，
z2＝cos＋isin，
∵z1＝z2，则＋θ＝－θ＋2kπ，k∈Z，
故θ＝kπ－(k∈Z)．
知识点四 复数的三角表示与向量
7.已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解 (1)∵点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，
z2＝－cos2θ＋icos2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)．
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，∴sinθ＝±.
又∵θ∈(0，π)，∴sinθ＝，∴θ＝或.
一、选择题
1．复数z＝的辐角主值是( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 z＝＝－i＝
所以辐角主值是.故选D．
2．2i的三角形式是( )
A．2(cos0＋isin0) B．
C．2 D．2(cosπ＋isinπ)
答案 C
解析 ∵2i的模为r＝|2i|＝2,2i的辐角主值为，
∴2i的三角形式是2.故选C．
3．若复数z＝r(cosθ＋isinθ)(r>0，θ∈R)，则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r称为z的模，θ为z的辐角，若复数z的模为2，其辐角为，则＝( )
A．＋i B．－i
C．1－i D．1＋i
答案 A
解析 由已知可得z＝2＝－1＋i，所以＝＝＝＋i.故选A．
4．下列复数用三角形式表示的是( )
A．3(sin40°＋isin40°) B．3(cos40°－isin40°)
C．－3(cos40°＋isin40°) D．3(cos40°＋isin40°)
答案 D
解析 复数的三角形式表示为z＝r(cosθ＋isinθ)，参考四个选项，只有D满足．故选D．
5．复数1－5i和－3－2i的辐角主值分别为α，β，则α＋β等于( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 ∵arg(1－5i)＝α，
又1－5i对应点Z1(1，－5)在第四象限，∴<α<2π.
∵arg(－3－2i)＝β，－3－2i对应点Z2(－3，－2)在第三象限，
∴π<β<.则<α＋β<，即<α＋β<.故选C．
二、填空题
6．复数2的代数形式为________．
答案 －＋i
解析 2＝2＝－＋i.
7．复数z＝log1＋|1＋i|i的三角形式是________．
答案
解析 ∵|1＋i|＝＝，
∴z＝log1＋|1＋i|i＝i.
∵z在复平面对应点的坐标为(0，)，
∴z的辐角主值为，
∴z的三角形式是.
8．已知复数z1＝1＋i，则复数z＝的辐角主值为________．
答案
解析 将z1＝1＋i代入式中化简整理：
z＝＝＝1－i，
显然argz＝.
三、解答题
9．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式．
(1)z1＝－1＋i；(2)z2＝－－i.
解 (1)复数z1＝－1＋i对应的向量如图1所示，
则r1＝＝，
cosθ＝－＝－.
∵与z1＝－1＋i对应的点位于第二象限，则argz1＝.
故z1＝－1＋i＝.
(2)复数z2＝－－i对应的向量如图2所示，
则r2＝＝1，
cosθ＝－.
∵与z2＝－－i对应的点位于第三象限，则argz2＝，故z2＝－－i＝cos＋isin.
10．已知z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，其中0<θ1<π，0<θ2<π，求z1＋z2的模与辐角．
解 ∵z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，
∴z1＋z2＝(cosθ1＋isinθ1)＋(cosθ2＋isinθ2)
＝(cosθ1＋cosθ2)＋i(sinθ1＋sinθ2)
＝2coscos＋i·2sincos
＝2cos.
∵0<θ1<π，0<θ2<π，
∴－π<－θ2<0，－π<θ1－θ2<π，－<<，
则cos>0.
∴|z1＋z2|＝2cos.
z1＋z2的辐角是2kπ＋(k∈Z)．
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课时作业21 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
知识点一 复数三角形式乘法运算的三角表示及其几何意义
1．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是( )
A．2 B．－2i
C．－3i D．3＋i
答案 B
解析 ∵由题意知复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，∴旋转后的向量为(3－i)＝(3－i)＝－2i.故选B．
2．已知z1＝，z2＝cos＋isin，求z1z2，请把结果化为代数形式，并作出几何解释．
解 z1z2＝
＝cos＋isin
＝cos＋isin＝0＋i×1＝i.
首先作与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再保持某长度不变，这样得到一个长度为，辐角为的向量，即为积z1z2＝i所对应的向量．
3．把复数z1与z2所对应的向量，O分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量，且模相等．已知z2＝－1－i，求复数z1的代数式和它的辐角主值．
解 在复平面上B(－1，－)，向量逆时针旋转得到向量，||＝2＝||，依题意顺时针旋转后模不变，得到向量，则||＝2.
若z1＝a＋bi(a，b∈R)，
则a＝2cos＝－，b＝2sin＝，
∴z1＝－＋i.
argz1＝.
知识点二 复数三角形式除法运算的三角表示及其几何意义
4．设z＝r(cosθ＋isinθ)．求的三角表示．
解 因为＝，|z|＝r，＝r(cosθ－isinθ)，故＝(cosθ－isinθ)＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]．
5．已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝7，求.
解 设z1，z2在复平面内分别对应点A，B．
在△AOB中，|OA|＝|z1|＝3，|OB|＝|z2|＝5，
|AB|＝|z1－z2|＝7.
∴cos∠AOB＝＝－，
即arg＝或arg＝，又＝，
∴＝＝－＋i
或＝＝－－i.
知识点三 复数三角形式的综合应用
6.已知复数z＝－i，ω＝＋i，复数，z2ω3在复平面上所对应的点分别为P，Q，证明：△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点)．
证明 ∵z＝－i＝cos＋isin
∴z3＝－i.
又ω＝＋i＝cos＋isin，
∴ω4＝－1.
从而＝·＝＝i.
故＝1，即|OP|＝|OQ|且与的夹角为.
∴△OPQ是等腰直角三角形．
7．设复数z1＝cosθ＋isinθ，z2＝z1i＋1，z1，z2分别对应复平面上的点A，B，O为坐标原点，∠AOB＝α(0≤α<π)．求角α的大小．
解 ∵z1＝cosθ＋isinθ，
z2＝z1i＋1＝1－sinθ＋icosθ，
∴kOA＝＝tanθ，kOB＝，
∴tanα＝＝＝
＝＝tan，
①当0≤θ＜时，0<－≤，
∴α＝－.
②当<θ<π时，－<－<0，∵0≤α＜π，
∴α＝－＋π＝－.
一、选择题
1．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是( )
A．＋i B．＋i
C．＋i D．＋i
答案 B
解析 复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量为(1＋i)＝(1＋i)·＝＋i，故选B．
2．计算3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝( )
A．3i B．3i＋2
C．6i D．6i＋3
答案 C
解析 3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝6(cos90°＋isin90°)＝6i.
3．设模为2，辐角为的复数z是z3＋a＝0的根，那么a是( )
A．2i B．－2i
C．8i D．－8i
答案 D
解析 由题意，得z＝2，
则有a＝－z3＝－23＝－8i.
4．计算4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝( )
A．＋i B．－＋i
C．2＋i D．－2＋i
答案 B
解析 4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝
2(cos150°＋isin150°)＝2＝－＋i.
5．化简：＝( )
A．cos10θ＋isin10θ B．sin10θ＋icos10θ
C．sin3θ＋icos3θ D．cos3θ＋isin3θ
答案 A
解析
＝＝
＝
＝＝cos10θ＋isin10θ.
二、填空题
6．已知z1＝(1－i)，z2＝sin－icos，则z1z2＝________，＝________.
答案 －i －i
解析 因为z1＝cos＋isin，
z2＝cos＋isin，
所以z1z2＝cos＋isin＝－i，
＝cos＋isin＝－i.
7．将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数是－2i，则θ角的最小正值是________．
答案
解析 ∵z＝1＋i＝2，
∴将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数为
z1＝2(cosθ＋isinθ)
＝2＝－2i，
∴θ＋＝，∴θ＝.
8．观察下列各式：
①cos＋isin＝＋i；
②2＝－＋i；
③3＝－1；
④4＝－－i；
…
根据以上规律可得26＝________.
答案 －＋i
解析 解法一：根据规律，可猜n
＝cos＋isin，将n＝26代入，可得
26＝cos＋isin＝－＋i.
解法二：26＝8·2＝－＋i.
三、解答题
9．z1＝(cos20°＋isin20°)，z2＝(cos50°＋isin50°)，
z3＝(cos80°＋isin80°)，计算：
(1)z1·z2·z3；
(2)z；
(3)；
(4).
解 (1)z1·z2·z3＝10(cos20°＋isin20°)(cos50°＋isin50°)(cos80°＋isin80°)＝10(cos70°＋isin70°)(cos80°＋isin80°)＝10(cos150°＋isin150°)＝－5＋5i.
(2)z＝5(cos20°＋isin20°)3＝5(cos60°＋isin60°)
＝＋i.
(3)＝＝(cos30°＋isin30°)＝.
(4)＝
＝cos50°＋isin50°.
10．已知复数z＝＋i，ω＝＋i.求复数zω＋zω3的模及辐角主值．
解 解法一：将已知复数化为复数的三角形式为z＝＋i＝cos＋isin，ω＝＋i＝cos＋isin，
依题意有zω＋zω3＝＋＝＋i
＝，
故复数zω＋zω3的模为，辐角主值为.
解法二：zω＋zω3＝zω(1＋ω2)
＝(1＋i)
＝＝，
故复数zω＋zω3的模为，辐角主值为.
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第七章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由ab＝0，得a＝0，b≠0或a≠0，b＝0或a＝0，b＝0，则a＋＝a－bi不一定为纯虚数；若a＋＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0.综上，可知选B．
2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i B．2＋3i
C．3＋2i D．3－2i
答案 A
解析 因为z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以＝2－3i.
3．若a为实数，且(2＋ai)·(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案 B
解析 ∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，
∴解得a＝0.
4．如果复数z＝，则( )
A．|z|＝2
B．z的实部为1
C．z的虚部为－1
D．z的共轭复数为1＋i
答案 C
解析 因为z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，因此选C．
5．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
答案 A
解析 由题意知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
6．对于下列四个命题：
①任何复数的模都是非负数；
②如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆；
③|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0；
④x轴是复平面的实轴，y轴是虚轴．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 D
解析 ①正确．因为若z∈R，则|z|≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a，b∈R)，则|z|＝>0；②正确．因为|z1|＝，|z2|＝ ＝，|z3|＝，|z4|＝，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上；③错误．因为|cosθ＋isinθ|＝＝1为定值，最大、最小值相等，都是1；④正确．故选D．
7．复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 z＝＝＝＝－－i，则＝－＋i，在复平面内对应的点在第二象限．故选B．
8．复数z1＝2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量P对应的复数是( )
A． B．－3－i
C．1＋i D．3＋i
答案 D
解析 ∵z1＝(－i)2＝－1，z2＝2＋i，∴对应的复数是z2－z1＝2＋i－(－1)＝3＋i.故选D．
9．若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.故2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i，所以解得所以z＝1－2i.故选B．
10．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．一个圆 B．线段
C．两个点 D．两个圆
答案 A
解析 由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|－3)(|z|＋1)＝0.
∵|z|＋1>0，∴|z|－3＝0，即|z|＝3.
∴复数z对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．故选A．
11．复数z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．3－2 B．－1
C．3＋2 D．＋1
答案 D
解析 |z1－z2|＝|(1＋icosθ)－(sinθ－i)|
＝
＝
＝≤ ＋1.
12．若复数z1z2≠0，则z1z2＝|z1z2|是z2＝1成立的( )
A．充要条件 B．既不充分又不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
答案 D
解析 z1，z2都是复数，复数z1z2≠0成立，则z1，z2是非零复数，此时当z2＝1时，表明两复数z1，z2是一对共轭复数，故z1z2＝|z1|2，|z1z2|＝|z1|2，能得出z1z2＝|z1z2|成立；反之，若z1z2＝|z1z2|成立，当z1z2是正实数时，不一定能得出z2＝1.
故可得出z1z2＝|z1z2|是z2＝1成立的必要不充分条件．故选D．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，则ω＝________.
答案 ±(7－i)
解析 由题意，设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，
则ω＝＝.
∵|ω|＝5，∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．
14．在复平面上正方形的顶点对应的复数中有三个是1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个复数是________．
答案 2－i
解析 设正方形四个顶点A，B，C，D对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，a＋bi，O为复平面的原点，则＝(1,2)，＝(－2,1)，＝(－1，－2)，＝(a，b)，＝－＝(－3，－1)．
＝(1，－3)，则·＝0，∴AB⊥BC，又四边形ABCD为正方形，∴＝，即(－3，－1)＝－＝(－1－a，－2－b)，
∴∴∴＝(2，－1)．
即第四个复数是2－i.
15．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
答案
解析 ∵a，b∈R，且＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴∴
∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.
16．已知复数z满足z＋＝2(i为虚数单位)，其中是z的共轭复数，|z|＝，则复数z的虚部为________．
答案 ±1
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由z＋＝2可得2a＝2，解得a＝1，由z＝1＋bi，|z|＝＝，解得b＝±1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，求满足下列条件的实数m的值或取值范围．
(1)复数z与复数2－12i相等；
(2)复数z与复数12＋16i互为共轭复数；
(3)复数z在复平面内对应的点在x轴上方．
解 (1)根据复数相等的充要条件，得
解得m＝－1.
(2)根据共轭复数的定义，得
解得m＝1.
(3)由题意，知m2－2m－15＞0，
解得m＜－3或m＞5，
故实数m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
18．(本小题满分12分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z是零．
解 (1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，
所以a＝1或a＝6.
(2)z是纯虚数，只需所以a＝－2.
(3)因为z＝0，所以所以a＝1.
19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，
求的值．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)．
∵|z|＝1＋3i－z，
∴ －1－3i＋a＋bi＝0，
即
解得∴z＝－4＋3i，
∴＝＝＝3＋4i.
20．(本小题满分12分)已知z＝1＋i，若＝1－i，求实数a，b的值．
解 ∵z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝a＋b＋(2＋a)i，
z2－z＋1＝(1＋i)2－(1＋i)＋1＝i，
∴＝(2＋a)－(a＋b)i＝1－i.
∴解得
21．(本小题满分12分)已知x2－(3－2i)x－6i＝0.
(1)若x∈R，求x的值；
(2)若x∈C，求x的值．
解 (1)x∈R时，由方程得
(x2－3x)＋(2x－6)i＝0.
则得x＝3.
(2)x∈C时，设x＝a＋bi(a，b∈R)，代入方程整理，得(a2－b2－3a－2b)＋(2ab－3b＋2a－6)i＝0.
则得或
故x＝3或x＝－2i.
22．(本小题满分12分)已知复数z1＝a＋2i，z2＝3－4i(a∈R，i为虚数单位)．
(1)若z1·z2是纯虚数，求实数a的值；
(2)若复数z1·z2在复平面上对应的点在第二象限，且|z1|≤4，求实数a的取值范围．
解 (1)z1·z2＝(a＋2i)·(3－4i)＝(3a＋8)＋(－4a＋6)i，
因为z1·z2是纯虚数，故3a＋8＝0，
且－4a＋6≠0，故a＝－.
(2)|z1|≤4?a2＋4≤16?a2≤12?－2≤a≤2，根据题意z1·z2在复平面上对应的点在第二象限，可得
即a<－，
综上，实数a的取值范围为－2≤a<－}.
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