6．1 平面向量及其线性运算
6．1.1 向量的概念
考点
学习目标
核心素养
向量的概念
理解向量的有关概念及向量的几何表示
数学抽象
共线向量、相等向量
理解共线向量、相等向量的概念
数学抽象
向量与几何的关系
正确区分向量平行与直线平行
直观想象
问题导学
预习教材P133－P136的内容，思考以下问题：
1．向量是如何定义的？怎样表示向量？
2．向量的相关概念有哪些？
3．两个向量能比较大小吗？
1．位移与向量
(1)向量的概念
一般地，像位移这样既有大小又有 方向的量称为向量(也称为矢量)．
向量的大小也称为向量的模(或长度)；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量．
(2)向量的表示方法
①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示．除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量．
②始点和终点相同的向量称为零向量．零向量的模为0．零向量的方向是不确定．模不为0的向量通常称为非零向量．模等于1的向量称为单位向量．e是单位向量的充要条件是|e|＝1．
■名师点拨
向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．
2．向量的相等与平行
一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．
如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行．因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作 a∥b．两个向量平行也称为两个向量共线．
■名师点拨
共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零向量没有方向．( )
(2)向量的长度和向量的模相等．( )
(3)单位向量都平行．( )
(4)零向量与任意向量都平行．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
在下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量．
关于零向量，下列说法中错误的是( )
A．零向量是没有方向的
B．零向量的长度为0
C．零向量只与零向量相等
D．零向量的方向是任意的
答案：A
如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)．
①与；②与；
③与；④与.
答案：①④
向量的有关概念
判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
【解】 (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量的长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
(1)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
(2)共线向量与平行向量
①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误．若b＝0，则①不成立．
②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同．
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求两个向量，必须在同一直线上．
答案：③
向量的表示及应用
(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
①，使||＝4，点A在点O北偏东45°处；
②，使||＝4，点B在点A正东处；
③，使||＝6，点C在点B北偏东30°处．
【解】 (1)可以写出12个向量，分别是：，，，，，，，，，，，，故填12.
(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
②由于点B在点A正东处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
(1)向量的两种表示方法
①几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．
②字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．
(2)两种向量表示方法的作用
①用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．
②用字母表示法表示向量，便于向量的运算．
某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求的模．
解：(1)作出向量，，，如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米．
相等向量和共线向量
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
【解】 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
1．[变问法]本例条件不变，试写出与向量相等的向量．
解：与向量相等的向量有，，.
2．[变条件，变问法]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．
解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量共线的向量；
(2)找出与向量相等的向量．
解：(1)依据图形可知，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，.
(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
1．下列结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①错误．温度是数量不是向量；②错误．零向量的模为0.③正确．因为零向量与任意向量共线；④错误．向量不能比较大小．
2．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是( )
A．相等的向量 B．平行的向量
C．有相同起点的向量 D．模相等的向量
解析：选D.由正方形的性质知||＝||＝||＝||.
3．在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向向量；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
解析：选D.由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，故选D.
4．在下列命题中：
①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．
正确命题的序号是________．
解析：由向量的相关概念可知④⑥正确．
答案：④⑥
[A 基础达标]
1．下面几个命题：
(1)若a＝b，则|a|＝|b|；
(2)若|a|＝0，则a＝0；
(3)若|a|＝|b|，则a＝b；
(4)若向量a，b满足则a＝b.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.(1)正确．(2)错误．|a|＝0，则a＝0.(3)错误．a与b的方向不一定相同．(4)错误．a与b的方向有可能相反．
2．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
解析：选A.平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．
3.如图，在⊙O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析：选C.由圆的性质可知||＝||＝||.
4．以下命题：①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.①正确；②错误；终点相同方向不一定相同或相反；③正确．
5.如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
解析：选B.向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．
6．下列命题正确的是( )
A．共线向量一定在同一条直线上
B．所有零向量都相等
C．向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线
D．平行四边形两对边所表示的向量一定是相等向量
解析：选B.A错误，两个向量的方向相同或相反都是共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上，也可能在两条平行直线上．B显然正确．C错误，注意到零向量与任意向量共线，若b＝0，此结论不成立；若b≠0，此结论成立．D错误，平行四边形两对边所表示的向量可能方向相反．
7．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是________(填序号)．
解析：①错误．|a|＝时，|a|＜|b|；②错误．a与b的方向关系无法确定；③正确，④错误．|b|＝1.
答案：③
8．在?ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S}，且M，N不重合，则集合T中元素的个数为________．
解析：S＝{A，B，C，D，O}，S中任意两点连成的有向线段有：，，，；，，，；，，，；，，，；，，，.由平行四边形的性质可知(如图所示)，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，又集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个．
答案：12
9.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
解：(1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．
10.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1 或C2 时，
||取得最小值＝；
②当点C位于点C5 或C6 时，
||取得最大值＝.
所以||的最大值为，最小值为.
[B 能力提升]
11.四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是( )
A．||＝||
B.与共线
C.与共线
D.与共线
解析：选C.因为三个四边形都是全等的菱形，所以||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线．又三点D，C，E共线，所以与共线，故A，B，D都正确．故选C.
12．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：选C.因为＝，所以BA∥CD且BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．
又因为||＝||，
所以四边形ABCD为菱形．
13.如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
(1)与向量相等的向量有________；
(2)与向量共线，且模相等的向量有________；
(3)与向量共线，且模相等的向量有________．
解析：向量相等?向量方向相同且模相等．
向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合．
答案：(1)， (2)，，，，
(3)，，，，
14．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．画图表示向量，，，并指出向量的模和方向．
解：以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．
据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，，如图所示，
由已知可得，△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.
又∠ACD＝45°，CD＝1 000 km，
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以AD＝1 000 km，∠CAD＝45°.
故向量的模为1 000 km，方向为东南方向．
[C 拓展探究]
15．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法，如图，马可从A跳到A1，也可跳到A2，用向量，表示马走了“一步”，试在图中分别画出马在B，C处走“一步”的所有情况．
解：马在B处，有3处可走，马在C处有8处可走，如图．
课件36张PPT。第六章 平面向量初步第六章 平面向量初步大小方向模标量零向量0不确定非零向量单位向量相等相同相同或相反共线×√×√本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放[A 基础达标]
1．下面几个命题：
(1)若a＝b，则|a|＝|b|；
(2)若|a|＝0，则a＝0；
(3)若|a|＝|b|，则a＝b；
(4)若向量a，b满足则a＝b.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.(1)正确．(2)错误．|a|＝0，则a＝0.(3)错误．a与b的方向不一定相同．(4)错误．a与b的方向有可能相反．
2．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
解析：选A.平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．
3.如图，在⊙O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析：选C.由圆的性质可知||＝||＝||.
4．以下命题：①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.①正确；②错误；终点相同方向不一定相同或相反；③正确．
5.如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
解析：选B.向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．
6．下列命题正确的是( )
A．共线向量一定在同一条直线上
B．所有零向量都相等
C．向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线
D．平行四边形两对边所表示的向量一定是相等向量
解析：选B.A错误，两个向量的方向相同或相反都是共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上，也可能在两条平行直线上．B显然正确．C错误，注意到零向量与任意向量共线，若b＝0，此结论不成立；若b≠0，此结论成立．D错误，平行四边形两对边所表示的向量可能方向相反．
7．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是________(填序号)．
解析：①错误．|a|＝时，|a|＜|b|；②错误．a与b的方向关系无法确定；③正确，④错误．|b|＝1.
答案：③
8．在?ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S}，且M，N不重合，则集合T中元素的个数为________．
解析：S＝{A，B，C，D，O}，S中任意两点连成的有向线段有：，，，；，，，；，，，；，，，；，，，.由平行四边形的性质可知(如图所示)，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，又集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个．
答案：12
9.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
解：(1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．
10.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1 或C2 时，
||取得最小值＝；
②当点C位于点C5 或C6 时，
||取得最大值＝.
所以||的最大值为，最小值为.
[B 能力提升]
11.四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是( )
A．||＝||
B.与共线
C.与共线
D.与共线
解析：选C.因为三个四边形都是全等的菱形，所以||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线．又三点D，C，E共线，所以与共线，故A，B，D都正确．故选C.
12．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：选C.因为＝，所以BA∥CD且BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．
又因为||＝||，
所以四边形ABCD为菱形．
13.如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
(1)与向量相等的向量有________；
(2)与向量共线，且模相等的向量有________；
(3)与向量共线，且模相等的向量有________．
解析：向量相等?向量方向相同且模相等．
向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合．
答案：(1)， (2)，，，，
(3)，，，，
14．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．画图表示向量，，，并指出向量的模和方向．
解：以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．
据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，，如图所示，
由已知可得，△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.
又∠ACD＝45°，CD＝1 000 km，
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以AD＝1 000 km，∠CAD＝45°.
故向量的模为1 000 km，方向为东南方向．
[C 拓展探究]
15．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法，如图，马可从A跳到A1，也可跳到A2，用向量，表示马走了“一步”，试在图中分别画出马在B，C处走“一步”的所有情况．
解：马在B处，有3处可走，马在C处有8处可走，如图．
