6．3 平面向量线性运算的应用
考点
学习目标
核心素养
几何应用
通过本节课学习理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性并体会向量在几何和现实生活中的意义
数学抽象、数学建模
物理应用
运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决简单的物理问题
数学抽象、数学建模
问题导学
预习教材P168－P170的内容，思考以下问题：
1．平面向量是如何体现在几何问题中的？
2．平面向量是如何体现在物理问题中的？
1．用向量方法解决平面几何问题的步骤
(1)转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
(3)翻译：把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量方法解决物理问题的步骤
(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题．
(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型．
(3)参数的获取，求出数学模型的相关解．
(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数学结果去解释一些物理现象．
已知向量a＝(－2，m)与向量b＝(1－m，1)平行，则实数m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
解析：选D.由＝－，得m＝－1或m＝2，故选D.
已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4 等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(1，2)
解析：选D.由物理学知识知，要使物体保持平衡，则有－f4＝f1＋f2＋f3＝(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)＝(－1，－2)，
所以f4＝(1，2)．
故选D.
如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
解析：设点P(x，y)，则＝(x，y)，
＝(4，4)，＝(x－4，y－0)＝(x－4，y)，＝(2－4，6－0)＝(－2，6)，由与共线得4x－4y＝0①，
由与共线得6(x－4)－(－2)y＝0②，
联立①②，解得x＝3，y＝3，即点P的坐标为(3，3)．
答案：(3，3)
如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________N；若用坐标表示合力F，则F＝________.
解析：由图可知F1＝(2，3)，F2＝(3，1)，
则合力F＝F1＋F2＝(2，3)＋(3，1)＝(5，4)，
所以|F|＝＝.
答案： (5，4)
向量在平面几何中的应用
已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0.
(1)用，表示；
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
【解】 (1)因为2＋＝0，
所以2(－)＋(－)＝0，
2－2＋－＝0，
所以＝2－.
(2)证明：如图，由题得，＝＋
＝－＋＝ (2－)．
结合(1)知，＝.
所以∥，即DA∥OC，故四边形OCAD是梯形．
用向量方法解决平面几何问题的步骤
如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.根据图形由题意可得
＝＋＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋(＋)
＝＋(＋)
＝＋.
因为＝r＋s，
所以r＝，s＝，
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
向量在物理中的应用(速度)
某人骑车以a km/h的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a km/h时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．
【解】 设此人行驶速度为a，则|a|＝a，无风时此人感觉到风速为－a，又设实际风速为v，
由题意知，此人所感到的从正北方向吹来的风速为(v－a)，
如图所示，令＝－a，＝－2a，
由于＋＝，故＝v－a.
又＋＝，故＝v－2a，即此人的速度是原来的2倍时所感到的风速，由题意得∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而△BPO为等腰三角形，
所以PB＝PO，∠POA＝∠APO＝45°，
所以PO＝a，|v|＝a km/h.
故实际吹来的风是风速为a km/h的西北风．
物理中的矢量主要有力、速度、位移，一般求功、动量及前面的三种只需根据它们的运算特征作出几何图形，即可利用向量求解．
已知船在静水中的速度大小为5 m/s，且船在静水中的速度大小大于水的速度大小，河宽为20 m，船垂直到达对岸用的时间为5 s，试用向量的减法来求水流的速度大小．
解：设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船的实际速度为v3，建立如图坐标系．
|v1|＝5 m/s，|v3|＝＝4 m/s，则
v3＝(0，4)，v1＝(－3，4)，v2＝v3－v1＝(0，4)－(－3，4)＝(3，0)．
所以|v2|＝3 m/s.即水流的速度大小为3 m/s.
向量在物理中的应用(力)
如图，一物体受到两个大小均为60 N的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向．
【解】 以，为邻边作平行四边形OACB，则即为合力．由已知可得△OAC为等腰三角形，
且∠COA＝30°，过A作AD⊥OC于点D，则在Rt△OAD中，||＝||·cos 30°＝60×＝30，故||＝2||＝60，即合力的大小为60 N，方向与水平方向成30°角．
用向量方法解决物理问题的步骤
(1)转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化为向量问题的模型．
(2)运算：通过向量的运算使问题得以解决．
(3)还原：把结果还原为物理问题．
如图所示，若物体的重量为G，且被两根不等长的绳子吊起，绳子两端点A和B保持同一高度，绳子与竖直方向的夹角分别为α和β，试求拉力F1，F2 的大小．
解：以力的作用点O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，将F1，F2分别分解为水平方向和竖直方向上的力F1x，F1y，F2x，F2y，如图所示，
所以F1x＋F1y＝F1，F2x＋F2y＝F2.则由受力平衡知物体在水平方向和竖直方向上所受的合力分别为0，得
所以
解得
两根绳子的拉力F1，F2的大小分别为
，.
1．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以ABCD为顶点的四边形是( )
A．梯形
B．邻边不相等的平行四边形
C．菱形
D．两组对边均不平行的四边形
解析：选B.因为＝(8，0)，＝(8，0)，所以＝，因为＝(4，－3)，所以||＝5，而||＝8，故为邻边不相等的平行四边形．
2．已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3 的终点坐标为( )
A．(9，1) B．(1，9)
C．(9，0) D．(0，9)
解析：选A.f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
设终点为B(x，y)，则(x－1，y－1)＝(8，0)，
所以所以所以终点坐标为(9，1)．
3．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间为________．
解析：设所用时间为t，则
＝tv，即(3，6)＝t(1，2)，所以t＝3.
答案：3
[A 基础达标]
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则人的实际速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B.由向量的加法法则可得人的实际速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：选D.由题意作出示意图，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，所以θ＝120°.
3．河水的流速为5 m/s，一艘小船想以12 m/s的速度沿垂直河岸方向驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )
A．13 m/s B．12 m/s
C．17 m/s D．15 m/s
解析：选A.设小船的静水速度为v1，
河水的流速为v2，
静水速度与河水速度的合速度为v，
为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即静水速度v1 斜向上游方向，河水速度v2 平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度v指向对岸，
即静水速度|v1|＝＝＝13(m/s)．
4．已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
解析：选A.因为＝，＝(3，4)，
所以＝，所以∥，即AB∥DC.
又||＝ ＝，||＝＝5，
所以||≠||，所以四边形ABCD是梯形．
5．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________N.
解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，
则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案：10
6．如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝________．
解析：设AB的中点是D.
因为＋＝2＝－，
所以＝－，
所以P为CD的五等分点，
所以△ABP的面积为△ABC的面积的.
答案：
7．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.
解析：
设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，由向量求和的平行四边形法则及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos 60°＝10×＝5(m/s)，即该物体在水平方向上的速度是5 m/s.
答案：5
8．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
证明：设＝a，＝b，则＝－
＝－a＝b－a，
＝－
＝b－＝b－a，
所以＝，
且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．
9.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若＝a，＝b.
(1)试以a，b为基底表示，；
(2)求证：A，G，C三点共线．
解：(1)＝－＝b－a，
＝－＝a－b.
(2)证明：因为D，G，F三点共线，则＝λ，
即＝＋λ＝λa＋(1－λ)b.
因为B，G，E三点共线，则＝μ，
即＝＋μ＝(1－μ)a＋μb，
由平面向量基本定理知解得λ＝μ＝，
所以＝(a＋b)＝，
所以A，G，C三点共线．
[B 能力提升]
10．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.如图所示，
由＝＋得，
点D在平行于AB边的中位线上，
所以＝.
11．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________J.
解析：所做的功W＝60×50×cos 30°＝1 500(J)．
答案：1 500
12．已知点A(，1)，B(0，0)，C(，0)，∠BAC的平分线AE与BC相交于点E，则＝λ，其中λ等于______．
解析：由＝＝2，得||＝2||(如图)．
从而||＝3||，又与方向相反，
所以＝－3，所以λ＝－3.
答案：－3
13.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是________．(写出正确说法的所有序号)
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ，则|F|cos θ＝|f|，所以|F|＝.
因为θ增大，cos θ减小，所以|F|增大．
因为|F|sin θ增大，所以船的浮力减小．
答案：①③
[C 拓展探究]
14．如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
解：设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得解得
所以＝，＝.故AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
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1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则人的实际速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B.由向量的加法法则可得人的实际速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：选D.由题意作出示意图，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，所以θ＝120°.
3．河水的流速为5 m/s，一艘小船想以12 m/s的速度沿垂直河岸方向驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )
A．13 m/s B．12 m/s
C．17 m/s D．15 m/s
解析：选A.设小船的静水速度为v1，
河水的流速为v2，
静水速度与河水速度的合速度为v，
为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即静水速度v1 斜向上游方向，河水速度v2 平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度v指向对岸，
即静水速度|v1|＝＝＝13(m/s)．
4．已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
解析：选A.因为＝，＝(3，4)，
所以＝，所以∥，即AB∥DC.
又||＝ ＝，||＝＝5，
所以||≠||，所以四边形ABCD是梯形．
5．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________N.
解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，
则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案：10
6．如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝________．
解析：设AB的中点是D.
因为＋＝2＝－，
所以＝－，
所以P为CD的五等分点，
所以△ABP的面积为△ABC的面积的.
答案：
7．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.
解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，由向量求和的平行四边形法则及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos 60°＝10×＝5(m/s)，即该物体在水平方向上的速度是5 m/s.
答案：5
8．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
证明：设＝a，＝b，则＝－
＝－a＝b－a，
＝－
＝b－＝b－a，
所以＝，
且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．
9.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若＝a，＝b.
(1)试以a，b为基底表示，；
(2)求证：A，G，C三点共线．
解：(1)＝－＝b－a，
＝－＝a－b.
(2)证明：因为D，G，F三点共线，则＝λ，
即＝＋λ＝λa＋(1－λ)b.
因为B，G，E三点共线，则＝μ，
即＝＋μ＝(1－μ)a＋μb，
由平面向量基本定理知解得λ＝μ＝，
所以＝(a＋b)＝，
所以A，G，C三点共线．
[B 能力提升]
10．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.如图所示，
由＝＋得，
点D在平行于AB边的中位线上，
所以＝.
11．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________J.
解析：所做的功W＝60×50×cos 30°＝1 500(J)．
答案：1 500
12．已知点A(，1)，B(0，0)，C(，0)，∠BAC的平分线AE与BC相交于点E，则＝λ，其中λ等于______．
解析：由＝＝2，得||＝2||(如图)．
从而||＝3||，又与方向相反，
所以＝－3，所以λ＝－3.
答案：－3
13.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是________．(写出正确说法的所有序号)
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ，则|F|cos θ＝|f|，所以|F|＝.
因为θ增大，cos θ减小，所以|F|增大．
因为|F|sin θ增大，所以船的浮力减小．
答案：①③
[C 拓展探究]
14．如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
解：设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得解得
所以＝，＝.故AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
