1．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z)}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z)}，则( )
A．M＝N B．M?N C．M?N D．M∩N＝?
解析：选C.M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z)}＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z)}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z)}＝{x|x＝(k＋2)·45°，k∈Z)}．因为k∈Z，所以k＋2∈Z)，且2k＋1为奇数，所以M?N，故选C.
2．函数y＝2sin的图像( )
A．关于原点对称 B．关于点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线x＝对称
解析：选B.因为当x＝0时，y＝2sin＝，
当x＝时，y＝2sin＝，
当x＝－时，y＝2sin 0＝0.
所以A、C、D错误，B正确．
3．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
解析：选C.由图像知，T＝4＝4π＝，
所以ω＝.又当x＝时，y＝1，
所以sin＝1，
＋φ＝2kπ＋，k∈Z)，当k＝0时，φ＝.
4．函数f(x)＝Asin ωx(ω＞0)，对任意x有f＝f，且f＝－a，那么f等于( )
A．a B．2a
C．3a D．4a
解析：选A.由f＝f，得f(x＋1)＝f＝f＝f(x)，即1是f(x)的周期．而f(x)为奇函数，则f＝f＝－f＝a.
5．已知函数f(x)＝sin＋(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin 2x(x∈R))的图像经过怎样的变换得到？
解：(1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以所求函数的最小正周期为π，所求函数的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)变换情况如下：
y＝sin 2x
y＝sin
y＝sin＋.
6．已知函数f(x)＝cos(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
解：(1)因为f(x)＝cos，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为f(x)＝cos在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又f＝0，f＝，f＝cos＝－cos＝－1，
所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x＝；最小值为－1，此时x＝.
章末复习提升课
三角函数的定义
函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域为________．
【解析】 要使函数有意义，必须有
即解得(k∈Z)
所以＋2kπ≤x<＋2kπ(k∈Z)．
故所求函数的定义域为
.
【答案】
(1)利用三角函数线解三角不等式的方法
利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x≥b，
cos x≥a(或sin x≤b，cos x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan x≥c(或tan x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得．
(2)利用三角函数图像解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤
①作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图像．
②确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
③确定sin x>a(或cos x>a)的解集．
[注意] 解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图像求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．
已知角α的终边经过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则sin α＝________，tan α＝________．
解析：因为θ∈，所以cos θ<0，
所以r＝＝＝－5cos θ.
故sin α＝＝－，tan α＝＝－.
答案：－ －
同角三角函数基本关系式和诱导公式
已知cos(π＋α)＝－，且角α在第四象限，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)(n∈Z)．
【解】 因为cos(π＋α)＝－，
所以－cos α＝－，cos α＝.
又角α在第四象限，
所以sin α＝－＝－.
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)
＝－sin α＝.
(2)
＝
＝＝
＝－＝－4.
(1)同角三角函数基本关系的应用
①已知一个三角函数求另外两个：利用平方关系、商式关系直接求解或解方程(组)求解．
②已知正切，求含正弦、余弦的齐次式；
(i)齐次式为分式时，分子分母同除以cos α或cos2α，化成正切后代入．
(ii)齐次式为整式时，分母看成1，利用1＝sin2α＋cos2α代入，再通过分子分母同除以cos α或cos2α化切．
(2)用诱导公式化简求值的方法
①对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α，π±α，±α，π±α(或k·±α，k∈Z)的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简．
②解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．
1．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－cos θ，所以tan θ＝.因为|θ|＜，所以θ＝.
2．已知＝2，则tan α＝________．
解析：由已知得原式＝＝2，则5sin α＝cos α，所以tan α＝.
答案：
3．已知－解析：由sin x＋cos x＝，
平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
即2sin xcos x＝－，
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.
又因为－所以sin x<0，cos x>0，sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
答案：－
三角函数的图像及变换
如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k，A>0，ω>0，
|φ|<的一段图像．
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？
【解】 (1)由图像知A＝＝，
k＝＝－1，T＝2×＝π，
所以ω＝＝2，所以y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，所以φ＝，
所以所求函数的解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin x向左平移个单位得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin，
最后把函数y＝sin的图像向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图像．
(1)由图像或部分图像确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数
①A：由最大值、最小值来确定A.
②ω：通过求周期T来确定ω.
③φ：利用已知点列方程求出．
(2)函数y＝sin x的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0)x∈R，图像的两种方法
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R，其中A>0，ω>0，0<φ<的周期为π，且图像上一个最高点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值，并写出相应的x值．
解：(1)因为T＝π，所以＝π，所以ω＝2.
又因为图像上一个最高点为M，
所以A＝2.
且2×＋φ＝，φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)因为0≤x≤，
所以≤2x＋≤，
所以≤sin≤1.
1≤f(x)≤2.
当2x＋＝即x＝0时，f(x)min＝1；
当2x＋＝即x＝时，f(x)max＝2.
三角函数的性质
已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．
【解】 (1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，
所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1.
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，
所以2x＝＋2kπ，所以x＝＋kπ(k∈Z)，
所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是 .
(1)三角函数的两条性质
①周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋B的形式．
(2)求三角函数值域(最值)的方法
①利用sin x，cos x的有界性．
②从y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．
③换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
在下列给出的函数中，以π为周期且在内是增函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos 2x
C．y＝sin D．y＝tan
解析：选D.由函数周期为π可排除选项A.x∈时，2x∈(0，π)，2x＋∈，此时B，C项中函数均不是增函数．故选D.
1．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z)}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z)}，则( )
A．M＝N B．M?N C．M?N D．M∩N＝?
解析：选C.M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z)}＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z)}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z)}＝{x|x＝(k＋2)·45°，k∈Z)}．因为k∈Z，所以k＋2∈Z)，且2k＋1为奇数，所以M?N，故选C.
2．函数y＝2sin的图像( )
A．关于原点对称 B．关于点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线x＝对称
解析：选B.因为当x＝0时，y＝2sin＝，
当x＝时，y＝2sin＝，
当x＝－时，y＝2sin 0＝0.
所以A、C、D错误，B正确．
3．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
解析：选C.由图像知，T＝4＝4π＝，
所以ω＝.又当x＝时，y＝1，
所以sin＝1，
＋φ＝2kπ＋，k∈Z)，当k＝0时，φ＝.
4．函数f(x)＝Asin ωx(ω＞0)，对任意x有f＝f，且f＝－a，那么f等于( )
A．a B．2a
C．3a D．4a
解析：选A.由f＝f，得f(x＋1)＝f＝f＝f(x)，即1是f(x)的周期．而f(x)为奇函数，则f＝f＝－f＝a.
5．已知函数f(x)＝sin＋(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin 2x(x∈R))的图像经过怎样的变换得到？
解：(1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以所求函数的最小正周期为π，所求函数的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)变换情况如下：
y＝sin 2x
y＝sin
y＝sin＋.
6．已知函数f(x)＝cos(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
解：(1)因为f(x)＝cos，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为f(x)＝cos在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又f＝0，f＝，f＝cos＝－cos＝－1，
所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x＝；最小值为－1，此时x＝.
课件32张PPT。第七章 三角函数本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放章末综合检测(七)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为( )
A. B．－
C．－ D．－
解析：选C.2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－，
所以x＝1，y＝－，r＝＝2，
所以sin α＝＝－.故选C.
2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.因为sin α＝，所以sin2α＝，cos2 α＝1－sin2 α＝，所以sin4 α－cos4 α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝－＝－.故选B.
3．已知函数y＝f(x)＝2sin 2x，则函数的图像的一条对称轴方程是( )
A．x＝π B．x＝－π
C．x＝ D．x＝－
解析：选D.由2x＝＋kπ(k∈Z)可得，x＝＋(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－.故选D.
4．已知函数y＝2cos x的定义域为[，]，值域为[a，b]，则b－a的值是( )
A．2 B．3
C.＋2 D．2
解析：选B.根据函数y＝2cos x的定义域为[，]，故它的值域为[－2，1]，再根据它的值域为[a，b]，可得b－a＝1－(－2)＝3.故选B.
5．对于函数y＝sin，下面说法中正确的是( )
A．函数是最小正周期为π的奇函数
B．函数是最小正周期为π的偶函数
C．函数是最小正周期为2π的奇函数
D．函数是最小正周期为2π的偶函数
解析：选D.y＝sin＝sin＝sin＝cos x．所以T＝2π且为偶函数．
6．已知f(sin x)＝x，且x∈，则f的值等于( )
A．sin B.
C．－ D.
解析：选D.因为f(sin x)＝x，且x∈，所以求f，即解sin x＝，且x∈，所以x＝，故选D.
7．已知sin＝，α∈，则tan α等于( )
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选A.sin＝cos α＝.因为α∈，所以sin α＝－＝－，所以tan α＝＝－2.
8．将函数y＝sin x的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：选C.由题意可得，y＝sin xy＝siny＝sin.
9．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图像关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是( )
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝cos
解析：选C.由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．
10．已知α∈(0，)，且4tan(2π＋α)＋3sin(6π＋β)－10＝0，－2tan(－α)－12sin(－β)＋2＝0，则tan α的值为( )
A．－3 B．3
C．±3 D．不确定
解析：选B.将条件化为
由①×4－②得14tan α－42＝0，
所以tan α＝3.故选B.
11．如图为函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M>0，ω>0，≤φ≤π)的部分图像，若点A，B分别为函数f(x)的最高点与最低点，且|AB|＝5，那么f(－1)＝( )
A．2 B.
C．－ D．－2
解析：选A.由题图，可知M＝2，f(0)＝1，
即2sin φ＝1，解得sin φ＝，
又因为≤φ≤π，所以φ＝.
又A，B两点是函数图像上的最高点和最低点，设A(x1，2)，B(x2，－2)，
由题意知|AB|＝5，即＝5，
解得|x2－x1|＝3.
由题图，可知A，B两点横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即|x2－x1|＝，而T＝，
故＝3，解得ω＝，
所以f(x)＝2sin，
故f(－1)＝2sin＝2sin＝2，故选A.
12．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(x∈R)，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
解析：选A.由函数的周期可得ω＝，
故f(x)＝2sin，又f＝2sin＝2，解得π＋φ＝2kπ＋?φ＝2kπ＋(k∈Z)，
又－π＜φ≤π，故φ＝，因此f(x)＝2sin.
即当x∈[－2π，0]，x＋∈，
函数在区间[－2π，0]上为增函数，故选A.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．函数y＝＋log3sin(π－x)的定义域为________.
解析：因为y＝＋log3sin(π－x)＝＋log3sin x，
所以要使函数有意义，则所以所以－5≤x<－π或0答案：[－5，－π)∪(0，π)
14．将cos 0，cos，cos 1，cos 30°按从小到大的顺序排列为________．
解析：因为0＜＜＜1，cos x在(0，π)上是减函数．
所以cos 0＞cos＞cos 30°＞cos 1.
答案：cos 1＜cos 30°＜cos＜cos 0
15．已知tan θ＝2，则＝________．
解析：原式＝＝.
答案：
16．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0，2π)的部分图像如图所示，则f(2 016)＝________．
解析：由题图可知，＝2，
所以T＝8，所以ω＝.
由点(1，1)在函数图像上，
可得f(1)＝sin＝1，
故＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，
又φ∈[0，2π)，所以φ＝.
故f(x)＝sin，
所以f(2 016)＝sin
＝sin＝sin＝.
答案：
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知α是第三象限角，且f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)由已知得tan α＝2，＝2，sin α＝2cos α，sin2α＝4cos2α，1－cos2α＝4cos2α，cos2α＝.
因为α是第三象限角，
所以cos α<0，
所以cos α＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos.
(1)若f(x)＝1，x∈，求x的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)根据题意知cos＝，
所以－2x＝2kπ±(k∈Z)．
又x∈，
所以x＝0.
(2)易知2kπ≤－2x≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得－kπ－≤x≤－kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
从而f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图像的一个对称中心是.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．
解：(1)因为是函数y＝f(x)的图像的对称中心，
所以sin＝0，
所以＋φ＝kπ(k∈Z)，
所以φ＝kπ－(k∈Z)．
因为－π<φ<0，
所以φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，
因此y＝sin，
由题意得，2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数y＝sin(2x－)的单调递增区间为(k∈Z)．
20．(本小题满分12分)已知x∈.
(1)求函数y＝cos x的值域；
(2)求函数y＝－3sin2x－4cos x＋4的值域．
解：(1)因为y＝cos x在上为增函数，在上为减函数，
所以当x＝0时，y取最大值1；x＝时，y取最小值－.
所以y＝cos x的值域为.
(2)原函数化为y＝3cos2x－4cos x＋1，
即y＝3－，
由(1)知，cos x∈，
故y的值域为.
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．
解：(1)由图像知，A＝2，
又＝－＝，ω>0，
所以T＝2π＝，得ω＝1.
所以f(x)＝2sin(x＋φ)，
将点代入，
得＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
即φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又因为－<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)当x∈时，
x＋∈，
所以sin∈，
即f(x)∈[－，2]．
22．(本小题满分12分)已知函数y＝sin(ωx＋φ)，在同一个周期内，当x＝时，y取最大值1，当x＝时，y取最小值－1.
(1)求函数的解析式y＝f(x)，并说明函数y＝sin x的图像经过怎样的变换可得到y＝f(x)的图像？
(2)若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0＜a＜1)，求此方程在[0，2π]内的所有实数根之和．
解：(1)因为T＝2×＝，
所以ω＝＝3.
又sin＝1，
所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|＜，
所以φ＝－，
所以y＝f(x)＝sin.
y＝sin x的图像向右平移个单位长度，
得到y＝sin的图像，
再将y＝sin的图像上的所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到y＝sin的图像．
(2)因为f(x)＝sin的最小正周期为，
所以f(x)＝sin在[0，2π]内恰有3个周期，
所以sin＝a(0＜a＜1)在[0，2π]内有6个实数根，从小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，
则x1＋x2＝×2＝，
x3＋x4＝×2＝，
x5＋x6＝×2＝，
故所有实数根之和为＋＋＝.
