[A 基础达标]
1．－的角是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
解析：选D.因为－＝－－4π，
所以－与－的终边相同，为第四象限的角．
2．若2 rad的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是( )
A．4 cm2 B．2 cm2
C．4π cm2 D．2π cm2
解析：选A.设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，则r＝＝＝2(cm)，S＝lr＝×4×2＝4(cm2)．
3．与30°角终边相同的角的集合是( )
A.
B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D.
解析：选D.因为30°＝30× rad＝ rad，
所以与30°终边相同的所有角可表示为α＝2kπ＋，k∈Z，故选D.
4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C.设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝αr2＝×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C.设圆的半径为r，则圆内接正三角形边长为r，所以圆心角的弧度数为＝.
6．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0，2π))的形式是________．
解析：－570°＝－rad＝－π rad，
所以－π＝－4π＋π.
答案：－4π＋π
7．已知一扇形的周长为＋4，半径r＝2，则扇形的圆心角为________．
解析：设扇形的圆心角为α，则＋4＝2r＋2α.
又因为r＝2，所以α＝.
答案：
8．经过点P(a，a)(a≠0)的角α的集合是________．
解析：当a>0时，点P(a，a)在第一象限，
此时α＝2kπ＋，k∈Z；
当a<0时，点P(a，a)在第三象限，
此时α＝2kπ＋π，k∈Z，
故满足条件的角α的集合为.
答案：
9．已知角α的终边与－π的终边关于x轴对称，求角在(－π，π)内的值．
解：因为π与－π的终边关于x轴对称，且π＝8π＋，
所以角α与的终边相同．
所以α＝2kπ＋(k∈Z)，＝＋(k∈Z)．
因为－π<<π，所以－π<＋<π.
当k＝－1时，＝－∈(－π，π)；
当k＝0时，＝∈(－π，π)；
当k＝1时，＝∈(－π，π)．
所以在(－π，π)内的值有三个，它们分别是－，和.
10．已知一个扇形的周长是40.
(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；
(2)求扇形面积S的最大值．
解：(1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则由题意得解得
则α＝＝2(rad)．
故扇形的圆心角为2 rad.
(2)由l＋2r＝40得l＝40－2r，
故S＝lr＝(40－2r)·r
＝20r－r2＝－(r－10)2＋100，
故当r＝10时，扇形面积S取最大值100.
[B 能力提升]
11．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )
A.倍 B．2倍
C.倍 D．3倍
解析：选D.设圆的半径为r，弧长为l，圆心角的弧度数为，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为＝3·，即弧度数变为原来的3倍．
12．若α是第三象限的角，则π－是( )
A．第一或第二象限的角
B．第一或第三象限的角
C．第二或第三象限的角
D．第二或第四象限的角
解析：选B.因为α为第三象限的角，所以有2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，
kπ＋<－kπ－π<－<－kπ－，k∈Z，
故－kπ＋<π－<－kπ＋，k∈Z.
当k为偶数时，π－在第一象限；
当k为奇数时，π－在第三象限，故选B.
13．(1)把67°30′化成弧度＝________．
(2)把π 化成角度＝________．
解析：(1)67°30′＝67.5°＝67.5×＝π.
(2)π＝° ＝108°.
答案：(1)π (2)108°
14．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解：(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
所以α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
所以弧长l＝α·r＝×10＝，
所以S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝，
所以S＝S扇形－S△AOB＝50.
[C 拓展探究]
15．如图，一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)
解：在扇形ABA1中，圆心角恰为，弧长l1＝·AB＝·＝π，面积S1＝··AB2＝··4＝π.
在扇形A1CA2中，圆心角也为，弧长l2＝·A1C＝·1＝，面积S2＝··A1C2＝··12＝.
在扇形A2DA3中，圆心角为π－－＝，弧长l3＝·A2D＝·＝π，面积S3＝··A2D2＝··()2＝，
所以点A走过的路程长l＝l1＋l2＋l3＝π＋＋＝，点A走过的弧所在的扇形的总面积S＝S1＋S2＋S3＝π＋＋＝.
7．1.2 弧度制及其与角度制的换算
考点
学习目标
核心素养
弧度制、角度制与弧度制的换算
了解弧度制的概念能进行角度与弧度之间的互化
数学抽象、数学运算
用弧度制表示终边相同的角
能用弧度制表示终边相同的角
数学运算
扇形的弧长与面积公式
理解弧度制下扇形的弧长与面积公式
数学运算
问题导学
预习教材P8－P11，并思考以下问题：
1．1弧度的角是如何定义的？
2．如何进行弧度与角度的换算？
3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
1．弧度制
(1)定义：用度作单位来度量角的制度称为角度制，以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．
(2)度量方法：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角．
(3)记法：弧度单位用符号“rad”表示，或用弧度两个字表示．在用弧度制表示角的大小时，单位通常省略不写．
(4)公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则 α＝．
■名师点拨
(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5 rad可写成α＝－3.5.而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略.
(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．
2．弧度制与角度制的换算
(1)弧度制与角度制的互化(换算)
180°＝π rad；
设一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝．
(2)特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
π
π
π
π
2π
3．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l＝＝αr；扇形的面积：S＝＝lr＝αr2．
■名师点拨
(1)在应用扇形面积公式S＝αr2时，要注意α的单位是“弧度”．
(2)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度的角等于1度的角．( )
(2)直角的弧度数为.( )
(3)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
将864°化为弧度为( )
A. B.
C. D.π
解析：选C.864°＝864×＝，故选C.
扇形的圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
解析：因为216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，所以r＝25.
答案：25
弧度制的概念
下列命题中，假命题是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【解析】 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题．
【答案】 D
弧度制与角度制的区别与联系
区别
①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；
②定义不同
联系
不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值
下列各说法中，错误的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案：D
角度制与弧度制的转换
设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝π，β2＝－π.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．
【解】 (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z，0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．
α1＝－570°＝－π＝－4π＋π，
α2＝750°＝π＝4π＋.
所以α1在第二象限，α2在第一象限．
(2)β1＝＝108°，设θ＝β1＋k·360°(k∈Z)，
由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，
所以k＝－2或k＝－1，
所以在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612° 和 －252°.
同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.
角度制与弧度制的转换中的注意点
(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键．由它可以得：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．
(2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记．
(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法．
(4)判断角α终边所在的象限时，若α?[0，2π)，应首先把α表示成α＝2kπ＋β，β∈[0，2π)的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限．
用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
解：因为30°＝ rad，210°＝ rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.
弧长公式与扇形面积公式的应用
(1)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 rad B．2 rad
C．3 rad D．4 rad
(2)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【解】 (1)选B.设扇形半径为r，弧长为l，由题意得
解得则圆心角α＝＝2 rad.
(2)设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.
则l＝20－2r，所以S＝lr＝(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10)．
所以当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.
此时α＝＝＝2 rad.
所以当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.
弧度制下解决扇形相关问题的步骤
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝αr，S＝αr2和S＝lr(这里α必须是弧度制下的角)．
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A．2 B．
C．2sin 1 D．
解析：选D.因为2弧度的圆心角所对的弦长为4，故圆的半径为R＝＝，故这个圆心角所对的弧长为l＝2R＝.
1．把56°15′化为弧度是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.56°15′＝56.25°＝×＝.
2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A.π B.π
C.π D.π
解析：选A.因为240°＝240× rad＝π rad，所以弧长l＝α·r＝π×10＝π，选A.
3．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．
解析：由－1 485°＝－5×360°＋315°，
所以－1 485°可以表示为－10π＋π.
答案：－10π＋π
4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．
解：设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则2r＋l＝4.①
由扇形的面积公式S＝lr，得lr＝1.②
由①②得r＝1，l＝2，所以α＝＝2 rad.
所以扇形的圆心角为2 rad.
[A 基础达标]
1．－的角是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
解析：选D.因为－＝－－4π，
所以－与－的终边相同，为第四象限的角．
2．若2 rad的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是( )
A．4 cm2 B．2 cm2
C．4π cm2 D．2π cm2
解析：选A.设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，则r＝＝＝2(cm)，S＝lr＝×4×2＝4(cm2)．
3．与30°角终边相同的角的集合是( )
A.
B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D.
解析：选D.因为30°＝30× rad＝ rad，
所以与30°终边相同的所有角可表示为α＝2kπ＋，k∈Z，故选D.
4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C.设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝αr2＝×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C.设圆的半径为r，则圆内接正三角形边长为r，所以圆心角的弧度数为＝.
6．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0，2π))的形式是________．
解析：－570°＝－rad＝－π rad，
所以－π＝－4π＋π.
答案：－4π＋π
7．已知一扇形的周长为＋4，半径r＝2，则扇形的圆心角为________．
解析：设扇形的圆心角为α，则＋4＝2r＋2α.
又因为r＝2，所以α＝.
答案：
8．经过点P(a，a)(a≠0)的角α的集合是________．
解析：当a>0时，点P(a，a)在第一象限，
此时α＝2kπ＋，k∈Z；
当a<0时，点P(a，a)在第三象限，
此时α＝2kπ＋π，k∈Z，
故满足条件的角α的集合为.
答案：
9．已知角α的终边与－π的终边关于x轴对称，求角在(－π，π)内的值．
解：因为π与－π的终边关于x轴对称，且π＝8π＋，
所以角α与的终边相同．
所以α＝2kπ＋(k∈Z)，＝＋(k∈Z)．
因为－π<<π，所以－π<＋<π.
当k＝－1时，＝－∈(－π，π)；
当k＝0时，＝∈(－π，π)；
当k＝1时，＝∈(－π，π)．
所以在(－π，π)内的值有三个，它们分别是－，和.
10．已知一个扇形的周长是40.
(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；
(2)求扇形面积S的最大值．
解：(1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则由题意得解得
则α＝＝2(rad)．
故扇形的圆心角为2 rad.
(2)由l＋2r＝40得l＝40－2r，
故S＝lr＝(40－2r)·r
＝20r－r2＝－(r－10)2＋100，
故当r＝10时，扇形面积S取最大值100.
[B 能力提升]
11．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )
A.倍 B．2倍
C.倍 D．3倍
解析：选D.设圆的半径为r，弧长为l，圆心角的弧度数为，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为＝3·，即弧度数变为原来的3倍．
12．若α是第三象限的角，则π－是( )
A．第一或第二象限的角
B．第一或第三象限的角
C．第二或第三象限的角
D．第二或第四象限的角
解析：选B.因为α为第三象限的角，所以有2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，
kπ＋<－kπ－π<－<－kπ－，k∈Z，
故－kπ＋<π－<－kπ＋，k∈Z.
当k为偶数时，π－在第一象限；
当k为奇数时，π－在第三象限，故选B.
13．(1)把67°30′化成弧度＝________．
(2)把π 化成角度＝________．
解析：(1)67°30′＝67.5°＝67.5×＝π.
(2)π＝° ＝108°.
答案：(1)π (2)108°
14．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解：(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
所以α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
所以弧长l＝α·r＝×10＝，
所以S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝，
所以S＝S扇形－S△AOB＝50.
[C 拓展探究]
15．如图，一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)
解：在扇形ABA1中，圆心角恰为，弧长l1＝·AB＝·＝π，面积S1＝··AB2＝··4＝π.
在扇形A1CA2中，圆心角也为，弧长l2＝·A1C＝·1＝，面积S2＝··A1C2＝··12＝.
在扇形A2DA3中，圆心角为π－－＝，弧长l3＝·A2D＝·＝π，面积S3＝··A2D2＝··()2＝，
所以点A走过的路程长l＝l1＋l2＋l3＝π＋＋＝，点A走过的弧所在的扇形的总面积S＝S1＋S2＋S3＝π＋＋＝.
课件29张PPT。第七章 三角函数第七章 三角函数角度制弧度半径长radπαr×√√本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
