[A 基础达标]
1．在下列说法中，正确的是( )
A．第二象限角是钝角
B．第二象限角必大于第一象限角
C．－150°是第二象限角
D．－252°16′、467°44′、1 187°44′是终边相同的角
解析：选D.第二象限角中，除包含钝角以外，还包含与钝角相差k·360°，k∈Z的角，如460°是第二象限角但不是钝角，A项错；460°是第二象限角，730°是第一象限角，显然460°小于730°，B项错；C项中－150°应为第三象限角．故A、B、C项都是错误的，D项中三个角相差360°的整数倍，则它们的终边相同，故选D.
2．下列是第三象限角的是( )
A．－110° B．－210°
C．80° D．－13°
解析：选A.－110°角是第三象限角，－210°角是第二象限角，80°角是第一象限角，－13°角是第四象限角．故选A.
3．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解析：选C.－457°角与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，所以应选C.
4．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
解析：选C.因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．
5．在平面直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则必有( )
A．α＝－β
B．α＝k·180°＋β(k∈Z)
C．α＝180°＋β
D．α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)
解析：选D.因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以角α与角β的终边关于原点对称，所以α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)．
6．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
解析：根据终边相同角的定义知，与－60°角终边相同的角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°角终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°.故填120°，300°.
答案：120°，300°
7．设角α的终边与252°角的终边关于y轴对称且－360°<α<360°，那么α＝________．
解析：在0°～360°间与252°角的终边关于y轴对称的角为288°，所以与288°终边相同的角的集合为S＝{α|α＝k·360°＋288°，k∈Z}，又－360°<α<360°，那么α＝－72°，288°.
答案：－72°，288°
8．设集合A＝{x|k·360°＋60°解析：A∩B＝{x|k·360°＋60°答案：{x|k·360°＋150°9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)[－720°，－360°)内的角．
解：与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°≤k·360°＋530°<－360°且k∈Z，得k＝－3，故所求的角为－550°.
10．若角β的终边落在直线y＝－x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.
解：因为角β的终边落在直线y＝－x上，
所以在[0°，360°)内的角为150°和330°，
所以角β的集合为S＝{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}．
当－360°＜β＜360°时，
角β为－210°，－30°，150°，330°.
[B 能力提升]
11．如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}
解析：选D.终边落在直线y＝±x在[0°，360°)内的角有45°，135°，225°和315°共四个角，相邻两角之间均相差90°，故终边落在直线y＝±x上的角的集合为S＝{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}．
12．如果角α与x＋45°具有相同的终边，角β与x－45°具有相同的终边，则α与β间的关系是( )
A．α＋β＝0°
B．α－β＝0°
C．α＋β＝k·360°，k∈Z
D．α－β＝k·360°＋90°，k∈Z
解析：选D.由已知得，α＝m·360°＋x＋45°，m∈Z，β＝n·360°＋x－45°，n∈Z，则α－β＝(m－n)·360°＋90°，(m－n)∈Z，所以α－β＝k·360°＋90°，k∈Z.故选D.
13．终边在直线y＝x上的所有角的集合是________，在这个集合中，在[－180°，180°]内的角是________．
解析：终边在直线y＝x上的所有角的集合是{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}．上述集合中，在[－180°，180°]内的角有－120°和60°，即当k＝－1和k＝0时取得．
答案：{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z} －120°，60°
14．如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解：(1)终边落在OA位置上的角的集合为S＝{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}．
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是由在[－30°，135°]内的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为S＝{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[C 拓展探究]
15．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．
解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z.由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，进而知2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，所以45°<α＝·180°<90°，45°<β＝·180°<90°，所以
7．1 任意角的概念与弧度制
7．1.1 角的推广
考点
学习目标
核心素养
任意角的概念
理解任意角的概念，能区分各类角
数学抽象
终边相同的角
掌握终边相同的角的含义及其表示方法
数学抽象、逻辑推理
象限角与区域角的表示
掌握象限角的概念并能用集合表示各类象限角及区域角
数学抽象、直观想象
问题导学
预习教材P3－P7，并思考以下问题：
1．角的概念推广后，分类的标准是什么？
2．如何判断角所在的象限？
3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？
1．角的概念的推广
(1)角的推广：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．
(2)角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：
①正角：按照逆时针方向旋转而成的角；
②负角：按照顺时针方向旋转而成的角；
③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．
这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角．
■名师点拨
(1)正确理解正角、负角、零角的定义，关键是抓住角的终边的位置是由角的始边所对应的射线按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转还是没有旋转得到的．
(2)若两角旋转方向相同且旋转量相等，则两角相等．
2．象限角
(1)象限角
若角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
(2)终边相同的角
所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
■名师点拨
(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
(2)k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．
(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)角的始边、终边是确定的，角的大小就是确定的．( )
(2)第一象限的角一定是锐角．( )
(3)终边相同的角是相等的角．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
下列各角中，与330°角的终边相同的角是( )
A．510° B．150°
C．－150° D．－390°
解析：选D.与330°角的终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D.
如图，角α的终边为OB，则α＝________．
答案：{α|α＝125°＋k·360°，k∈Z}
将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．
答案：－25° 395°
任意角的概念
(1)若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：
①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．
【解析】 (1)①错误，0°角是象限界角；②③④正确．
(2)分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×2＝－960°.
【答案】 (1)C (2)－960°
与角的概念有关问题的解决方法
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
在下列说法中：
①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．
错误说法的序号为________．
解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．
答案：①②④
终边相同的角
在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角β.
(1)最大的负角；
(2)[360°，720°)内的角．
【解】 与10 030°角终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)．
(1)由－360°(2)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°≤k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
[变问法]在本例条件下，求最小的正角．
解：由0°(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°)内相应的角；
②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
(2)终边相同的角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；
②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
1．下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是( )
A．－37° B．143°
C．379° D．－143°
解析：选D.与37°角的终边在同一直线上的角可表示为β＝37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D.
2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )
A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z
解析：选B.角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，
则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.
3．终边在直线y＝－x上的角β的集合S＝________．
解析：由题意可知，终边在直线y＝－x上的角有两种情况：①当终边在第二象限时，可知集合S1＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}；②当终边在第四象限时，可知集合S2＝{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}．
综合①②可得，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
象限角与区域角的表示
(1)如图，终边落在阴影部分的角的集合是( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
(2)已知角α是第三象限角，则角是( )
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第四象限角
【解析】 (1)阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，即k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z.
(2)因为α是第三象限角，
所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)，
所以k·180°＋90°＜＜k·180°＋135°(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°＜＜n·360°＋135°(n∈Z)，所以是第二象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°＜＜n·360°＋315°(n∈Z)，
所以是第四象限角．
【答案】 (1)C (2)D
(1)象限角的判定方法
①根据图像判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系；
②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360° 范围内没有两个角终边是相同的．
(2)表示区域角的三个步骤
①借助图形，在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界；
②按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β；
③分别将起始边界，终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即可求得区域角．
1．给出下列各角：
－300°，－240°，－145°，－45°，30°，124°，210°，300°.
则第一象限角有__________________；第二象限角有____________________；第三象限角有______________________；第四象限角有__________________．
答案：－300°，30° －240°，124° －145°，210°
－45°，300°
2．如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.
(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；
(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在[0°，360°)内的角的集合．
解：(1)因为与角β终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为S＝{γ|k·360°－45°<γ(2)由(1)知，终边落在阴影部分(不包括边界)，且在[0°，360°)内的角的集合为{θ|0°≤θ<60°或315°<θ<360°}．
1．以下说法正确的是( )
A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A?B
C．若k·360°<αD．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
解析：选B.对于选项B：集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，所以A?B，故选B.
2．已知集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则有( )
A．M＝N B．N?M
C．M?N D．M∩N＝?
解析：选C.由于k·90°(k∈Z)表示终边在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45°(k∈Z)表示终边落在y＝x或y＝－x上的角．(如图(1))
又由于k·45°＋90°(k∈Z)表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x 8个位置上的角(如图(2))，因而M?N，故正确答案为C.
3．若角α与角β终边相同，则α－β＝________．
解析：根据终边相同角的定义可知，α－β＝k·360°(k∈Z)．
答案：k·360°(k∈Z)
4．在[0°，360°)内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
(1)－120°；(2)640°.
解：(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，所以在[0°，360°)内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，所以在[0°，360°)内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
[A 基础达标]
1．在下列说法中，正确的是( )
A．第二象限角是钝角
B．第二象限角必大于第一象限角
C．－150°是第二象限角
D．－252°16′、467°44′、1 187°44′是终边相同的角
解析：选D.第二象限角中，除包含钝角以外，还包含与钝角相差k·360°，k∈Z的角，如460°是第二象限角但不是钝角，A项错；460°是第二象限角，730°是第一象限角，显然460°小于730°，B项错；C项中－150°应为第三象限角．故A、B、C项都是错误的，D项中三个角相差360°的整数倍，则它们的终边相同，故选D.
2．下列是第三象限角的是( )
A．－110° B．－210°
C．80° D．－13°
解析：选A.－110°角是第三象限角，－210°角是第二象限角，80°角是第一象限角，－13°角是第四象限角．故选A.
3．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解析：选C.－457°角与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，所以应选C.
4．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
解析：选C.因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．
5．在平面直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则必有( )
A．α＝－β
B．α＝k·180°＋β(k∈Z)
C．α＝180°＋β
D．α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)
解析：选D.因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以角α与角β的终边关于原点对称，所以α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)．
6．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
解析：根据终边相同角的定义知，与－60°角终边相同的角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°角终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°.故填120°，300°.
答案：120°，300°
7．设角α的终边与252°角的终边关于y轴对称且－360°<α<360°，那么α＝________．
解析：在0°～360°间与252°角的终边关于y轴对称的角为288°，所以与288°终边相同的角的集合为S＝{α|α＝k·360°＋288°，k∈Z}，又－360°<α<360°，那么α＝－72°，288°.
答案：－72°，288°
8．设集合A＝{x|k·360°＋60°解析：A∩B＝{x|k·360°＋60°答案：{x|k·360°＋150°9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)[－720°，－360°)内的角．
解：与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°≤k·360°＋530°<－360°且k∈Z，得k＝－3，故所求的角为－550°.
10．若角β的终边落在直线y＝－x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.
解：因为角β的终边落在直线y＝－x上，
所以在[0°，360°)内的角为150°和330°，
所以角β的集合为S＝{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}．
当－360°＜β＜360°时，
角β为－210°，－30°，150°，330°.
[B 能力提升]
11．如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}
解析：选D.终边落在直线y＝±x在[0°，360°)内的角有45°，135°，225°和315°共四个角，相邻两角之间均相差90°，故终边落在直线y＝±x上的角的集合为S＝{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}．
12．如果角α与x＋45°具有相同的终边，角β与x－45°具有相同的终边，则α与β间的关系是( )
A．α＋β＝0°
B．α－β＝0°
C．α＋β＝k·360°，k∈Z
D．α－β＝k·360°＋90°，k∈Z
解析：选D.由已知得，α＝m·360°＋x＋45°，m∈Z，β＝n·360°＋x－45°，n∈Z，则α－β＝(m－n)·360°＋90°，(m－n)∈Z，所以α－β＝k·360°＋90°，k∈Z.故选D.
13．终边在直线y＝x上的所有角的集合是________，在这个集合中，在[－180°，180°]内的角是________．
解析：终边在直线y＝x上的所有角的集合是{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}．上述集合中，在[－180°，180°]内的角有－120°和60°，即当k＝－1和k＝0时取得．
答案：{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z} －120°，60°
14．如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解：(1)终边落在OA位置上的角的集合为S＝{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}．
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是由在[－30°，135°]内的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为S＝{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[C 拓展探究]
15．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．
解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z.由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，进而知2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，所以45°<α＝·180°<90°，45°<β＝·180°<90°，所以课件37张PPT。第七章 三角函数第七章 三角函数射线始边终边逆时针顺时针没有旋转转角第几象限角坐标轴×××本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
