7．2.2 单位圆与三角函数线
考点
学习目标
核心素养
三角函数线的意义
了解三角函数线的意义
数学抽象、直观想象
三角函数线的求值
会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切
逻辑推理
问题导学
预习教材P18－P21，并思考以下问题：
1．什么是单位圆？
2．三角函数线是如何定义的？
3．如何用三角函数线比较大小？
1．单位圆
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆．因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos__α，sin__α)．
2．三角函数线
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
■名师点拨
(1)三角函数线的方向
正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．
(2)三角函数线的正负
三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)角的三角函数线是直线．( )
(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度．( )
(3)第二象限的角没有正切线．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线，正切线
B．正弦线，正切线
C．正弦线，正切线
D．正弦线，正切线
解析：选C.由单位圆中的三角函数线定义可知，角α的正弦线为，正切线为.
角和角有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
解析：选C.与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．
角的终边与单位圆的交点的坐标是________．
解析：由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos＝－，纵坐标是sin＝，
所以角的终边与单位圆的交点的坐标是.
答案：
三角函数线的意义
分别作出π和－π的正弦线、余弦线和正切线．
【解】 (1)在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则π的正弦线为，余弦线为，正切线为.
(2)同理可作出－π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙．
－π的正弦线为，余弦线为，正切线为.
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．
下列四个命题中：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．
不正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如与；③中当α＝时，α与α＋π都没有正切线．
利用单位圆解三角不等式
在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
【解】 (1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为
.
(2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为.
(1)通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：
①作出取等号的角的终边；
②利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；
③将图中的范围用不等式表示出来．
(2)求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．
求y＝lg(1－cos x)的定义域．
解：如图所示，
因为1－cos x＞0，
所以cos x＜，
所以2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，
所以函数的定义域为(k∈Z)．
三角函数线的综合应用
已知α∈，试比较sin α，α，tan α的大小．
【解】 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM⊥x轴，PN⊥y轴，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，
得sin α＝||，tan α＝||，
又α＝的长，
所以S△AOP＝·OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝··OA
＝·＝α，
S△AOT＝·OA·AT＝tan α.
又因为S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，
所以sin α＜α＜tan α.
(1)本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题．
(2)三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题．
利用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1.
证明：如图所示，在△OMP中，OP＝1，||＝|cos α|，||＝|sin α|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin α|＋|cos α|＞1.
当点P在坐标轴上时，|sin α|＋|cos α|＝1.
综上可知，|sin α|＋|cos α|≥1.
1．已知角α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
解析：选C.由题意知，角α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或.
2．在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x≥的取值范围是.
3．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．
解析：因为<1<，
所以正弦线大于余弦线的长度，
所以sin 1>cos 1.
答案：sin 1>cos 1
4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝；(2)cos α＝－.
解：(1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，连接OP，OQ，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，连接OM，ON，则OM与ON为角α的终边，如图乙．
[A 基础达标]
1．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在直线y＝x上 D．在直线y＝x或y＝－x上
解析：选B.因为sin α＝1或sin α＝－1，所以角α的终边在y轴上．故选B.
2．如果＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )
A．cos θ＜tan θ＜sin θ B．sin θ＜cos θ＜tan θ
C．tan θ＜sin θ＜cos θ D．cos θ＜sin θ＜tan θ
解析：选A.由于＜θ＜π，如图所示，正弦线，余弦线，正切线，由此容易得到cos θ＜tan θ＜0＜sin θ，故选A.
3．在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是( )
A.∪ B.
C. D.∪
答案：C
4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第二、第三象限的角平分线上
解析：选C.角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，所以sin α＝－cos α，即sin α＋cos α＝0，所以角α的终边在直线x＋y＝0上，所以选C.
5．依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin＝sin；②cos＝cos；③tan＞tan；④sin＞sin.
其中判断正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.
6．函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，
有1－2sin x≥0，得sin x≤，
如图，确定正弦值为的角的终边OP与OP′，
其对应的一个角分别为π，π，
所求函数定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，利用三角函数线得到α的取值范围是________．
解析：利用单位圆作出正弦线、余弦线，
所以α的范围是0<α<或<α<2π.
答案：∪
8．比较大小：
(1)sin与sin；(2)tan与tan.
解：如图所示，作出对应的正弦线、正切线分别为和.
作出对应的正弦线、正切线分别为和.
由图可知：
||>||，||>||.
又tan与tan均取负值，
故sin>sin，tan9．求函数f(x)＝＋ln的定义域．
解：由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
所以.
[B 能力提升]
10．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：选D.当0＜α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝，所以α必为钝角．
11．sin，cos，tan从小到大的顺序是________．
解析：在单位圆中分别作角与角，可知为第三象限角，所以cos<0.
又0<<<，所以的正切线大于正弦线，
即0所以cos答案：cos12．若θ∈，则下列各式错误的是________．
①sin θ＋cos θ＜0；②sin θ－cos θ＞0；
③|sin θ|＜|cos θ|；④sin θ＋cos θ＞0.
解析：若θ∈，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.
答案：④
13．已知α∈，求证：1＜sin α＋cos α＜.
证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M，N分别为垂足．
所以|MP|＝y＝sin α，|OM|＝x＝cos α，
在△OMP中，|OM|＋|MP|＞|OP|，
所以sin α＋cos α＞1.
因为S△OAP＝|OA|·|MP|＝y＝sin α，
S△OBP＝|OB|·|NP|＝x＝cos α，
S扇形OAB＝π×12＝，
又因为S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB，
所以sin α＋cos α＜，即sin α＋cos α＜，
所以1＜sin α＋cos α＜.
[C 拓展探究]
14．若α、β是关于x的二次方程x2＋2(cos θ＋1)x＋cos2θ＝0的两根，且(α－β)2≤8.求θ的范围．
解：因为方程有两实根，
所以Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos2θ≥0.
所以cos θ≥－，
由根与系数的关系得α＋β＝－2(cos θ＋1)，α·β＝cos2θ.
又(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝4(cos θ＋1)2－4cos2θ＝8cos θ＋4≤8.
所以cos θ≤.
综上知－≤cos θ≤.
如图所示，
所以＋2kπ≤θ≤＋2kπ或＋2kπ≤θ≤＋2kπ(k∈Z)．
所以＋kπ≤θ≤＋kπ(k∈Z)．
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[A 基础达标]
1．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在直线y＝x上 D．在直线y＝x或y＝－x上
解析：选B.因为sin α＝1或sin α＝－1，所以角α的终边在y轴上．故选B.
2．如果＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )
A．cos θ＜tan θ＜sin θ B．sin θ＜cos θ＜tan θ
C．tan θ＜sin θ＜cos θ D．cos θ＜sin θ＜tan θ
解析：选A.由于＜θ＜π，如图所示，正弦线，余弦线，正切线，由此容易得到cos θ＜tan θ＜0＜sin θ，故选A.
3．在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是( )
A.∪ B.
C. D.∪
答案：C
4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第二、第三象限的角平分线上
解析：选C.角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，所以sin α＝－cos α，即sin α＋cos α＝0，所以角α的终边在直线x＋y＝0上，所以选C.
5．依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin＝sin；②cos＝cos；③tan＞tan；④sin＞sin.
其中判断正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.
6．函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，
有1－2sin x≥0，得sin x≤，
如图，确定正弦值为的角的终边OP与OP′，
其对应的一个角分别为π，π，
所求函数定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，利用三角函数线得到α的取值范围是________．
解析：利用单位圆作出正弦线、余弦线，
所以α的范围是0<α<或<α<2π.
答案：∪
8．比较大小：
(1)sin与sin；(2)tan与tan.
解：如图所示，作出对应的正弦线、正切线分别为和.
作出对应的正弦线、正切线分别为和.
由图可知：
||>||，||>||.
又tan与tan均取负值，
故sin>sin，tan9．求函数f(x)＝＋ln的定义域．
解：由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
所以.
[B 能力提升]
10．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：选D.当0＜α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝，所以α必为钝角．
11．sin，cos，tan从小到大的顺序是________．
解析：在单位圆中分别作角与角，可知为第三象限角，所以cos<0.
又0<<<，所以的正切线大于正弦线，
即0所以cos答案：cos12．若θ∈，则下列各式错误的是________．
①sin θ＋cos θ＜0；②sin θ－cos θ＞0；
③|sin θ|＜|cos θ|；④sin θ＋cos θ＞0.
解析：若θ∈，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.
答案：④
13．已知α∈，求证：1＜sin α＋cos α＜.
证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M，N分别为垂足．
所以|MP|＝y＝sin α，|OM|＝x＝cos α，
在△OMP中，|OM|＋|MP|＞|OP|，
所以sin α＋cos α＞1.
因为S△OAP＝|OA|·|MP|＝y＝sin α，
S△OBP＝|OB|·|NP|＝x＝cos α，
S扇形OAB＝π×12＝，
又因为S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB，
所以sin α＋cos α＜，即sin α＋cos α＜，
所以1＜sin α＋cos α＜.
[C 拓展探究]
14．若α、β是关于x的二次方程x2＋2(cos θ＋1)x＋cos2θ＝0的两根，且(α－β)2≤8.求θ的范围．
解：因为方程有两实根，
所以Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos2θ≥0.
所以cos θ≥－，
由根与系数的关系得α＋β＝－2(cos θ＋1)，α·β＝cos2θ.
又(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝4(cos θ＋1)2－4cos2θ＝8cos θ＋4≤8.
所以cos θ≤.
综上知－≤cos θ≤.
如图所示，
所以＋2kπ≤θ≤＋2kπ或＋2kπ≤θ≤＋2kπ(k∈Z)．
所以＋kπ≤θ≤＋kπ(k∈Z)．
