7．2.3 同角三角函数的基本关系式
考点
学习目标
核心素养
同角三角函数的基本关系式
理解同角三角函数的基本关系式
数学运算
同角三角函数基本关系式的应用
能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P22－P25，并思考以下问题：
1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？
2．同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？
同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tan__α.
■名师点拨
(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等．
(2)注意公式的变形，特别是公式的逆用．
(3)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．
(4)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin2＋cos2＝1.( )
(2)sin α2＋cos α2＝1.( )
(3)对于任意角α都有sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.因为cos2α＝1－sin2α＝1－＝，
所以sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝－＝－.
若sin α＋3cos α＝0，则的值为________．
解析：因为sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－3，因此
原式＝＝＝－.
答案：－
利用同角基本关系式求值
(1)已知角α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α 的值是( )
A. B．－
C. D．－
(2)已知＝2，则＝________．
【解析】 (1)因为α为第二象限角，
所以sin α＝＝ ＝，
所以tan α＝＝＝－.
(2)由＝2，
化简得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
原式＝＝.
【答案】 (1)D (2)
[变问法]本例(2)条件不变，计算2sin2α－3sin αcos α的值．
解：因为tan α＝3，
所以原式＝＝
＝＝＝.
(1)求三角函数值的方法
①已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解
②已知tan θ求 sin θ(或cos θ)常用以下方法求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
(2)已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
①关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；
②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
已知角α是第二象限角，且tan α＝－，则cos α＝________．
解析：因为α是第二象限角，故sin α＞0，cos α＜0，
又tan α＝－，
所以＝－，
又sin2α＋cos2α＝1，解得cos α＝－.
答案：－
应用同角三角函数关系式化简
若sin α·tan α<0，化简 ＋.
【解】 因为sin α·tan α<0，所以cos α<0.
原式＝＋
＝＋＝＋
＝＝－.
解答此类题目常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
化简：
.
解：原式＝
＝
＝
＝1.
三角恒等式的证明
求证：＝.
【证明】 左边
＝
＝
＝
＝＝＝＝右边，
所以原等式成立．
(1)证明恒等式常用的思路是：①从一边证到另一边，一般由繁到简；②左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；③比较法(作差，作比法)．
(2)常用的技巧有：①巧用“1”的代换；②化切为弦；③多项式运算技巧的应用(分解因式)．
(3)解决此类问题要有整体代换思想．
求证：＝.
证明：右边＝＝
＝
＝＝左边，所以原等式成立．
1．如果角α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－ B．cos α＝－
C．sin α＝－ D．tan α＝
解析：选B.由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确．
2．已知sin α＝－，且α∈，则tan α＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选C.由α∈，
得cos α<0，又sin α＝－，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝.
3．已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝________．
解析：因为sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝.
所以sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝.
所以1＋2sin αcos α＝.
所以sin αcos α＝－.
答案：－
4．已知tan α＝，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值．
解：由tan α＝＝得
sin α＝cos α.①
又因为sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1.
所以cos2α＝.
又因为α是第三象限的角，
所以cos α＝－.
所以sin α＝cos α＝－.
[A 基础达标]
1．若sin α＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α的值等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由sin α＋sin2α＝1，得sin α＝cos2α，所以cos2α＋cos4α＝sin α＋sin2α＝1.
2．已知角α是第三象限的角，cos α＝－，则sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.因为α是第三象限的角，
所以sin α＝－＝－＝－.
3．若α∈[0，2π)，且有＋＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为＋＝sin α－cos α，
所以又α∈[0，2π)，
所以α∈，故选B.
4．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋的值是( )
A．－2 B．2
C．±2 D.
解析：选B.tan θ＋＝＋＝＝＝＝2，选B.
5．若tan α＝3，则2sin αcos α＝( )
A．± B．－
C. D.
解析：选C.2sin αcos α＝＝＝＝.
6．已知sin αcos α＝，则sin α－cos α＝________．
解析：(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－2sin αcos α＝，则sin α－cos α＝±.
答案：±
7．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝________，tan2α＋＝________．
解析：因为tan α＋＝＝3，
所以sin αcos α＝.
又tan2 α＋＝－2＝9－2＝7，
所以tan2 α＋＝7.
答案： 7
8．已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________．
解析：由α∈及tan α＝2，
得sin α＝2cos α<0，
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos α＝－.
答案：－
9．已知tan α＝，求下列各式的值．
(1)＋；
(2)；
(3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α.
解：(1)＋
＝＋＝＋＝.
(2)＝
＝＝.
(3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α
＝
＝＝＝.
10．求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
证明：右边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边，
所以2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
[B 能力提升]
11．已知△ABC中，tan A＝－，则cos A＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D.因为tan A＝－，又A是三角形的内角，
所以A是钝角．
因为＝－，
所以－5cos A＝12sin A.
又sin2A＋cos2A＝1，
所以cos A＝－.
12．已知sin θ－cos θ＝，则sin3θ－cos3θ＝________．
解析：由已知得，1－2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝.
所以sin3θ－cos3θ＝(sin θ－cos θ)(sin2θ＋sin θcos θ＋cos2θ)＝×＝.
答案：
13．化简：－(α为第二象限角)．
解：因为α是第二象限角，
所以cos α<0.
则原式＝－
＝·－
＝＋＝＝＝tan α.
14．已知－(1)sin x－cos x；
(2).
解：(1)因为sin x＋cos x＝，
所以(sin x＋cos x)2＝，
即1＋2sin xcos x＝，
所以2sin xcos x＝－.
因为(sin x－cos x)2＝sin2x－2sin xcos x＋cos2x＝1－2sin xcos x＝1＋＝，
又－0，
所以sin x－cos x<0，所以sin x－cos x＝－.
(2)由已知条件及(1)，可知，
解得，所以＝＝.
[C 拓展探究]
15．(2019·南昌检测)设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
因为sin α<0，cos α<0，
所以sin α＋cos α＝－m<0②，
sin αcos α＝>0③.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.
把②③代入上式得－2×＝1，
即9m2－8m－20＝0，
解得m1＝2，m2＝－.
因为m1＝2不满足条件①，舍去；
因为m2＝－不满足条件②③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．
课件30张PPT。第七章 三角函数第七章 三角函数1×××本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
[A 基础达标]
1．若sin α＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α的值等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由sin α＋sin2α＝1，得sin α＝cos2α，所以cos2α＋cos4α＝sin α＋sin2α＝1.
2．已知角α是第三象限的角，cos α＝－，则sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.因为α是第三象限的角，
所以sin α＝－＝－＝－.
3．若α∈[0，2π)，且有＋＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为＋＝sin α－cos α，
所以又α∈[0，2π)，
所以α∈，故选B.
4．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋的值是( )
A．－2 B．2
C．±2 D.
解析：选B.tan θ＋＝＋＝＝＝＝2，选B.
5．若tan α＝3，则2sin αcos α＝( )
A．± B．－
C. D.
解析：选C.2sin αcos α＝＝＝＝.
6．已知sin αcos α＝，则sin α－cos α＝________．
解析：(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－2sin αcos α＝，则sin α－cos α＝±.
答案：±
7．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝________，tan2α＋＝________．
解析：因为tan α＋＝＝3，
所以sin αcos α＝.
又tan2 α＋＝－2＝9－2＝7，
所以tan2 α＋＝7.
答案： 7
8．已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________．
解析：由α∈及tan α＝2，
得sin α＝2cos α<0，
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos α＝－.
答案：－
9．已知tan α＝，求下列各式的值．
(1)＋；
(2)；
(3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α.
解：(1)＋
＝＋＝＋＝.
(2)＝
＝＝.
(3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α
＝
＝＝＝.
10．求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
证明：右边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边，
所以2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
[B 能力提升]
11．已知△ABC中，tan A＝－，则cos A＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D.因为tan A＝－，又A是三角形的内角，
所以A是钝角．
因为＝－，
所以－5cos A＝12sin A.
又sin2A＋cos2A＝1，
所以cos A＝－.
12．已知sin θ－cos θ＝，则sin3θ－cos3θ＝________．
解析：由已知得，1－2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝.
所以sin3θ－cos3θ＝(sin θ－cos θ)(sin2θ＋sin θcos θ＋cos2θ)＝×＝.
答案：
13．化简：－(α为第二象限角)．
解：因为α是第二象限角，
所以cos α<0.
则原式＝－
＝·－
＝＋＝＝＝tan α.
14．已知－(1)sin x－cos x；
(2).
解：(1)因为sin x＋cos x＝，
所以(sin x＋cos x)2＝，
即1＋2sin xcos x＝，
所以2sin xcos x＝－.
因为(sin x－cos x)2＝sin2x－2sin xcos x＋cos2x＝1－2sin xcos x＝1＋＝，
又－0，
所以sin x－cos x<0，所以sin x－cos x＝－.
(2)由已知条件及(1)，可知，
解得，所以＝＝.
[C 拓展探究]
15．(2019·南昌检测)设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
因为sin α<0，cos α<0，
所以sin α＋cos α＝－m<0②，
sin αcos α＝>0③.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.
把②③代入上式得－2×＝1，
即9m2－8m－20＝0，
解得m1＝2，m2＝－.
因为m1＝2不满足条件①，舍去；
因为m2＝－不满足条件②③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．
