[A 基础达标]
1．(2019·安徽省安庆市期末)cos的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C.cos＝cos(2π－)＝cos(－)＝cos＝.
2．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β B．sin(α－2π)＝sin β
C．cos α＝cos β D．cos(2π－α)＝－cos β
解析：选C.由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.
3．sin 600°＋tan(－300°)的值是( )
A．－ B.
C．－＋ D.＋
解析：选B.原式＝sin(360°＋180°＋60°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝.
4．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于( )
A．－m B．－m
C.m D.m
解析：选B.因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sin α＝－m，
所以sin α＝，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.故选B.
5．设f(α)＝，则f的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.f(α)＝
＝＝－.
所以f＝－＝－＝－.
6．sin＝________．
解析：sin＝－sin
＝－sin＝sin
＝sin＝－sin＝－.
答案：－
7．化简：·tan(2π－α)＝________．
解析：原式＝·tan(－α)
＝·＝－1.
答案：－1
8．当θ＝时，(k∈Z)的值等于________．
解析：原式＝＝－.
当θ＝时，原式＝－＝2.
答案：2
9．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：
＝－.
证明：因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，
所以－sin α＝2cos α，
所以sin α＝－2cos α.
所以左边＝
＝＝＝－＝右边，
所以原式得证．
10．求值：sin(－1 200°)×cos 1 290°＋cos(－1 020°)×sin(－1 050°)＋tan 855°.
解：原式＝－sin(120°＋3×360°)×cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)×[－sin(330°＋2×360°)]＋tan(135°＋2×360°)
＝－sin 120°×cos 210°－cos 300°×sin 330°＋tan 135°
＝－sin (180°－60°)×cos (180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＋tan(180°－45°)
＝sin 60°×cos 30°＋cos 60°×sin 30°－tan 45°
＝×＋×－1＝0.
[B 能力提升]
11．已知tan＝，则tan＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.因为tan
＝tan＝－tan，
所以tan＝－.
12．若f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝________．
解析：f(1)＝sin＝，f(2)＝sin＝，f(3)＝sin π＝0，f(4)＝sin＝－，f(5)＝sin＝－，f(6)＝sin 2π＝0，f(7)＝sin＝sin＝f(1)，f(8)＝f(2)，…，
因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋336×0＝.
答案：
13．已知sin(α＋π)＝，且sin αcos α<0，求的值．
解：因为sin(α＋π)＝，
所以sin α＝－，
又因为sin αcos α<0，
所以cos α>0，cos α＝＝，
所以tan α＝－.
所以原式＝
＝＝－.
[C 拓展探究]
14．化简下列各式．
(1)(k∈Z)；
(2).
解：(1)当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
(2)原式＝
＝
＝＝＝－1.
7．2.4 诱导公式
第1课时 诱导公式①、②、③、④
考点
学习目标
核心素养
诱导公式①、②、③、④
理解诱导公式的推导方法
逻辑推理
诱导公式①、②、③、④的应用
能运用公式进行三角函数式的求值、化简以及证明
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P27－P30，并思考以下问题：
1．α＋k·2π，π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
2．诱导公式①、②、③、④的内容是什么？
1．诱导公式①
sin(α＋k·2π)＝sin__α，
cos(α＋k·2π)＝cos__α，
tan(α＋k·2π)＝tan__α，
其中k∈Z.
2．诱导公式②
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式
sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，
tan(－α)＝－tan__α
3.诱导公式③
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于y轴对称
公式
sin(π－α)＝sin__α，
cos(π－α)＝－cos__α，
tan(π－α)＝－tan__α
4.诱导公式④
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式
sin(π＋α)＝－sin__α，
cos(π＋α)＝－cos__α，
tan(π＋α)＝tan__α
■名师点拨
诱导公式的记忆
(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
(2)记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．
“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式②可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．( )
(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．( )
(3)由诱导公式③知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( )
(4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
下列式子中正确的是( )
A．sin(π－α)＝－sin α
B．cos(π＋α)＝cos α
C．cos α＝sin α
D．sin(2π＋α)＝sin α
答案：D
已知tan α＝6，则tan(π－α)＝________．
答案：－6
cos 120°＝________，sin＝________．
答案：－ －
给角求值问题
利用公式求下列三角函数值．
(1)cosπ；(2)tan(－855°)；
(3)sin(－945°)＋cos(－π)；
(4)tanπ＋sinπ.
【解】 (1)cosπ＝cos(π＋6π)
＝cosπ＝cos(2π－)＝cos＝.
(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
(3)原式＝sin(－2×360°－225°)＋cos
＝sin(－225°)＋cos
＝－sin(180°＋45°)＋cos
＝sin 45°－cos＝－
＝.
(4)原式＝tan＋sin
＝－tan－sin
＝－1－
＝－.
利用诱导公式解决给角求值问题的方法
(1)“负化正”，用公式①或②来转化；
(2)“大化小”，用公式①将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”，用公式③或④将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．
1．(2019·重庆一中期末检测)tan＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A.tan＝tan(2π－)
＝－tan＝－，故选A.
2．求下列各三角函数值．
(1)cos；
(2)tan(－765°)；
(3)sin·cos·tan.
解：(1)cos＝cos
＝cos
＝cos
＝－cos＝－.
(2)tan(－765°)＝－tan 765°
＝－tan(45°＋2×360°)
＝－tan 45°＝－1.
(3)sin·cos·tan
＝sincos·tan
＝－sincostan
＝－××1＝－.
化简求值问题
化简下列各式．
(1)；
(2).
【解析】 (1)原式＝
＝
＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝
＝＝－1.
三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
1．化简：＝________．
解析：＝
＝＝＝1.
答案：1
2．化简：＝________．
解析：原式＝＝＝1.
答案：1
给值(式)求值问题
(1)若cos(2π－α)＝且α∈，则sin(π－α)＝( )
A．－ B．－
C．－ D．±
(2)已知cos＝，则cos＝________．
【解析】 (1)因为cos(2π－α)＝cos α＝，
且α∈，
所以sin α＝－＝－，
所以sin(π－α)＝sin α＝－.
(2)cos＝cos
＝－cos＝－.
【答案】 (1)B (2)－
1．[变问法]若本例(2)中的条件不变，求cos.
解：cos＝cos＝cos
＝cos＝.
2．[变问法]若本例(2)中的条件不变，求cos－sin2的值．
解：因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－＝，
所以cos－sin2
＝－－＝－.
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
1．若sin(π＋α)＝，α∈，则tan(π－α)等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选D.因为sin(π＋α)＝－sin α，
根据条件得sin α＝－，
又α∈，
所以cos α＝－＝－.
所以tan α＝＝＝.
所以tan(π－α)＝－tan α＝－.
2．已知tan(π＋α)＝3，求的值．
解：因为tan(π＋α)＝3，
所以tan α＝3.
故
＝
＝＝＝7.
1．计算cos(－600°)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.cos(－600°)＝cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
2．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于( )
A．－ B.
C．± D.
解析：选A.由cos(α－π)＝－，
得cos α＝.又α为第四象限角，
所以sin(－2π＋α)＝sin α
＝－＝－.
3．计算tan 690°＝________．
解析：tan 690°＝tan(2×360°－30°)＝tan(－30°)
＝－tan 30°＝－.
答案：－
4．化简：.
解：原式＝
＝
＝＝－cos2α.
[A 基础达标]
1．(2019·安徽省安庆市期末)cos的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C.cos＝cos(2π－)＝cos(－)＝cos＝.
2．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β B．sin(α－2π)＝sin β
C．cos α＝cos β D．cos(2π－α)＝－cos β
解析：选C.由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.
3．sin 600°＋tan(－300°)的值是( )
A．－ B.
C．－＋ D.＋
解析：选B.原式＝sin(360°＋180°＋60°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝.
4．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于( )
A．－m B．－m
C.m D.m
解析：选B.因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sin α＝－m，
所以sin α＝，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.故选B.
5．设f(α)＝，则f的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.f(α)＝
＝＝－.
所以f＝－＝－＝－.
6．sin＝________．
解析：sin＝－sin
＝－sin＝sin
＝sin＝－sin＝－.
答案：－
7．化简：·tan(2π－α)＝________．
解析：原式＝·tan(－α)
＝·＝－1.
答案：－1
8．当θ＝时，(k∈Z)的值等于________．
解析：原式＝＝－.
当θ＝时，原式＝－＝2.
答案：2
9．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：
＝－.
证明：因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，
所以－sin α＝2cos α，
所以sin α＝－2cos α.
所以左边＝
＝＝＝－＝右边，
所以原式得证．
10．求值：sin(－1 200°)×cos 1 290°＋cos(－1 020°)×sin(－1 050°)＋tan 855°.
解：原式＝－sin(120°＋3×360°)×cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)×[－sin(330°＋2×360°)]＋tan(135°＋2×360°)
＝－sin 120°×cos 210°－cos 300°×sin 330°＋tan 135°
＝－sin (180°－60°)×cos (180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＋tan(180°－45°)
＝sin 60°×cos 30°＋cos 60°×sin 30°－tan 45°
＝×＋×－1＝0.
[B 能力提升]
11．已知tan＝，则tan＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.因为tan
＝tan＝－tan，
所以tan＝－.
12．若f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝________．
解析：f(1)＝sin＝，f(2)＝sin＝，f(3)＝sin π＝0，f(4)＝sin＝－，f(5)＝sin＝－，f(6)＝sin 2π＝0，f(7)＝sin＝sin＝f(1)，f(8)＝f(2)，…，
因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋336×0＝.
答案：
13．已知sin(α＋π)＝，且sin αcos α<0，求的值．
解：因为sin(α＋π)＝，
所以sin α＝－，
又因为sin αcos α<0，
所以cos α>0，cos α＝＝，
所以tan α＝－.
所以原式＝
＝＝－.
[C 拓展探究]
14．化简下列各式．
(1)(k∈Z)；
(2).
解：(1)当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
(2)原式＝
＝
＝＝＝－1.
课件41张PPT。第七章 三角函数第七章 三角函数x轴y轴原点√××√本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放[A 基础达标]
1．化简：sin＝( )
A．sin x B．cos x
C．－sin x D．－cos x
解析：选B.sin＝sin＝sin＝cos x.
2．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B.cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.
3．已知sin＝，则cos的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A.cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
4．(2019·山西大学附中月考)已知α∈，cos＝，则tan(2 018π－α)＝( )
A. B．－
C.或－ D.或－
解析：选B.由cos＝得sin α＝－，
又0<α<，所以π<α<，
所以cos α＝－＝－，tan α＝.
因为tan(2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－，
故选B.
5．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A.f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
6．已知sin(π＋α)＝－，则cos＝________．
解析：因为sin(π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝，cos＝cos＝－sin α＝－.
答案：－
7．化简sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝________．
解析：原式＝－sin α·sin α－cos α·cos α＝－1.
答案：－1
8．已知cos＝2sin，则
＝________．
解析：因为cos＝2sin，
所以sin α＝2cos α.
原式＝＝＝.
答案：
9．化简：(1)·sincos；
(2).
解：(1)原式＝·sin(－sin α)
＝·(－sin α)
＝·(－cos α)(－sin α)＝－cos2α.
(2)原式＝
＝＝1.
10．(2019·湖北孝感八校期末检测)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
解：因为sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，
所以－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，
所以－sin(π－α)＝2cos(－α)，
所以sin α＝－2cos α，且cos α≠0，
所以原式＝
＝＝＝－.
[B 能力提升]
11．已知α，β∈(0，)，且α，β的终边关于直线y＝x对称，若sin α＝，则sin β＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由α，β∈(0，)，且α，β的终边关于直线y＝x对称知α＋β＝，因此β＝－α，所以sin β＝sin(－α)＝cos α＝＝，故选B.
12．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
解析：因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，所以原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋＝.
答案：
13．已知角α的终边经过点P(m，2)，sin α＝且α为第二象限角．
(1)求m的值；
(2)若tan β＝，求的值．
解：(1)由三角函数定义可知sin α＝＝，
解得m＝±1.
因为α为第二象限角，
所以m＝－1.
(2)由(1)知tan α＝－2，
又tan β＝，
所以
＝－
＝－
＝－＝.
14．(2019·河南息县一中月考)已知函数f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·f＝－，且≤α≤，求f(α)＋f的值；
(3)若f＝2f(α)，求f(α)·f的值．
解：(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)f＝－cos＝sin α，
因为f(α)·f＝－，
所以cos α·sin α＝，
可得(sin α－cos α)2＝，
由≤α≤，得cos α>sin α，
所以f(α)＋f＝sin α－cos α＝－.
(3)由(1)，(2)得f＝2f(α)
即为sin α＝－2cos α，联立sin2α＋cos2α＝1，
解得cos2α＝，
所以f(α)·f＝－sin αcos α＝2cos2α＝.
[C 拓展探究]
15．是否存在角α，β，α∈(－，)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：存在由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
所以sin2α＝.
又α∈，所以α＝或α＝－.
将α＝代入②，得cos β＝.
又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知符合．
将α＝－代入②得cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知不符合．
综上可知，存在α＝，β＝满足条件．
第2课时 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧
考点
学习目标
核心素养
诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧
掌握诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧的推导过程
逻辑推理
诱导公式的应用
能利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P31－P32，并思考以下问题：
1.±α，±α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
2．诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧的内容是什么？
1．诱导公式⑤
sin＝cos__α；cos＝sin__α
2．诱导公式⑥
sin＝cos__α；cos＝－sin__α
3．诱导公式⑦
cos＝sin__α；sin＝－cos__α
4．诱导公式⑧
cos＝－sin__α；sin＝－cos__α
■名师点拨
诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧反映的是角±α，±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式⑤、⑥中的角α只能是锐角．( )
(2)sin＝cos α.( )
(3)若α为第二象限角，则sin＝cos α.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
已知sin α＝，则cos等于( )
A. B．－
C. D．－
答案：A
已知sin＝，α∈，则sin α等于( )
A．－ B. C．－ D.
解析：选C.sin＝sin＝cos α＝，又α∈，所以sin α＝－＝－.
sin 95°＋cos 175°的值为________．
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)
＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：0
利用诱导公式求值
(1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值．
(2)已知sin＝，求cos的值．
【解】 (1)因为cos(π＋α)＝－cos α＝－，
所以cos α＝，
又α为第一象限角．
则cos＝－sin α＝－
＝－ ＝－.
(2)cos＝cos
＝sin＝.
[变问法]若本例(2)条件不变，如何求cos的值．
解：cos＝cos
＝－sin＝－.
解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
1．若cos(α＋π)＝－，则sin(－α－)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.因为cos(α＋π)＝－cos α＝－，所以cos α＝.所以sin＝cos α＝.
2．已知sin＝，则cos的值为________．
解析：cos＝cos
＝－sin＝－.
答案：－
3．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．
解：因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P，所以a2＋＝1(a＜0)，
所以a＝－，
所以sin α＝，cos α＝－，
所以原式＝
＝－·
＝×＝2.
利用诱导公式化简、证明
化简：.
【解】 原式＝
＝＝－cos α.
(1)利用诱导公式化简三角函数式的步骤
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．
(2)证明三角恒等式的常用方法
①由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则；
②证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用；
③通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1或＝1.
1．化简cos2＋cos2＝________．
解析：原式＝sin2＋cos2
＝sin2＋cos2＝1.
答案：1
2．求证：·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.
证明：左边＝·[－sin(2π－α)]cos α
＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边，故原式成立．
诱导公式的综合应用
已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
【解】 (1)f(α)
＝
＝＝－cos α.
(2)因为cos＝，
又cos＝cos＝－sin α，
即sin α＝－，
而α是第三象限角，
所以cos α＝－
＝－＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
(3)当α＝－时，f(α)＝－cos α
＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝(<α<π)，求下列各式的值．
(1)sin α－cos α；
(2)cos2(＋α)－cos2(－α)．
解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝.
将两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝－.
又<α<π，
所以sin α>0，cos α<0.
(1)因为(sin α－cos α)2
＝1－2sin αcos α＝1－＝，
又sin α－cos α>0，
所以sin α－cos α＝.
(2)cos2－cos2(－α)
＝sin2α－cos2α
＝(sin α＋cos α)(sin α－cos α)
＝×＝.
1．若sin＜0，且cos＞0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B.由于sin＝cos θ＜0，
cos＝sin θ＞0，
所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A.因为sin(3π＋α)＝－sin α＝－，
所以sin α＝.所以cos＝cos
＝－cos＝－sin α＝－.
3．化简：＋.
解：因为sin＝cos α，cos＝sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，
cos＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，
所以原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
[A 基础达标]
1．化简：sin＝( )
A．sin x B．cos x
C．－sin x D．－cos x
解析：选B.sin＝sin＝sin＝cos x.
2．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B.cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.
3．已知sin＝，则cos的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A.cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
4．(2019·山西大学附中月考)已知α∈，cos＝，则tan(2 018π－α)＝( )
A. B．－
C.或－ D.或－
解析：选B.由cos＝得sin α＝－，
又0<α<，所以π<α<，
所以cos α＝－＝－，tan α＝.
因为tan(2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－，
故选B.
5．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A.f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
6．已知sin(π＋α)＝－，则cos＝________．
解析：因为sin(π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝，cos＝cos＝－sin α＝－.
答案：－
7．化简sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝________．
解析：原式＝－sin α·sin α－cos α·cos α＝－1.
答案：－1
8．已知cos＝2sin，则
＝________．
解析：因为cos＝2sin，
所以sin α＝2cos α.
原式＝＝＝.
答案：
9．化简：(1)·sincos；
(2).
解：(1)原式＝·sin(－sin α)
＝·(－sin α)
＝·(－cos α)(－sin α)＝－cos2α.
(2)原式＝
＝＝1.
10．(2019·湖北孝感八校期末检测)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
解：因为sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，
所以－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，
所以－sin(π－α)＝2cos(－α)，
所以sin α＝－2cos α，且cos α≠0，
所以原式＝
＝＝＝－.
[B 能力提升]
11．已知α，β∈(0，)，且α，β的终边关于直线y＝x对称，若sin α＝，则sin β＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由α，β∈(0，)，且α，β的终边关于直线y＝x对称知α＋β＝，因此β＝－α，所以sin β＝sin(－α)＝cos α＝＝，故选B.
12．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
解析：因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，所以原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋＝.
答案：
13．已知角α的终边经过点P(m，2)，sin α＝且α为第二象限角．
(1)求m的值；
(2)若tan β＝，求的值．
解：(1)由三角函数定义可知sin α＝＝，
解得m＝±1.
因为α为第二象限角，
所以m＝－1.
(2)由(1)知tan α＝－2，
又tan β＝，
所以
＝－
＝－
＝－＝.
14．(2019·河南息县一中月考)已知函数f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·f＝－，且≤α≤，求f(α)＋f的值；
(3)若f＝2f(α)，求f(α)·f的值．
解：(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)f＝－cos＝sin α，
因为f(α)·f＝－，
所以cos α·sin α＝，
可得(sin α－cos α)2＝，
由≤α≤，得cos α>sin α，
所以f(α)＋f＝sin α－cos α＝－.
(3)由(1)，(2)得f＝2f(α)
即为sin α＝－2cos α，联立sin2α＋cos2α＝1，
解得cos2α＝，
所以f(α)·f＝－sin αcos α＝2cos2α＝.
[C 拓展探究]
15．是否存在角α，β，α∈(－，)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：存在由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
所以sin2α＝.
又α∈，所以α＝或α＝－.
将α＝代入②，得cos β＝.
又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知符合．
将α＝－代入②得cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知不符合．
综上可知，存在α＝，β＝满足条件．
课件34张PPT。第七章 三角函数第七章 三角函数××√本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
