7．2 任意角的三角函数
7．2.1 三角函数的定义
考点
学习目标
核心素养
三角函数的定义
理解三角函数的定义，会求给定角的三角函数值
数学抽象、数学运算
三角函数值的符号判断
掌握各象限角的三角函数值的符号规律
逻辑推理
问题导学
预习教材P14－P17，并思考以下问题：
1．任意角的三角函数的定义是什么？
2．如何判断三角函数值在各象限内的符号？
1．任意角的正弦、余弦与正切的定义
在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)．
三角函数
定义
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
{α|α≠kπ＋，k∈Z}
2.正弦、余弦与正切在各象限的符号
■名师点拨
(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
(2)要明确sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0，cos α≥0.( )
(2)若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角．( )
(3)对于任意角α，三角函数sin α、cos α、tan α都有意义．( )
(4)三角函数值的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
已知角α的终边经过P(－b，4)，且cos α＝－，则b的值为( )
A．3 B．－3
C．±3 D．5
解析：选A.由x＝－b，y＝4，
得r＝，
所以cos α＝＝－，
解得b＝3(b＝－3舍去)．
若角α的终边上有一点P(3，4)，则sin α＋cos α＝________．
解析：由三角函数定义知，sin α＝，cos α＝，
所以sin α＋cos α＝.
答案：
已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是________象限角．
解析：因为cos θ·tan θ<0，所以cos θ，tan θ异号．
故由象限角知识可知θ在第三或第四象限．
答案：第三或第四
任意角三角函数的定义及应用
(1)若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点有( )
A．(－4，3) B．(3，－4)
C．(4，－3) D．(－3，4)
(2)若α＝－，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．
(3)已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________．
【解析】 (1)由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A.
(2)因为角－的终边与单位圆交于点P，
所以sin α＝－，cos α＝，
tan α＝－.
(3)因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
【答案】 (1)A (2)－ － (3)1或－1
由角α终边上任意一点的坐标求
其三角函数值的步骤
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
设函数f(θ)＝sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.若点P的坐标为，求f(θ)的值．
解：由点P的坐标为和三角函数定义得sin θ＝，cos θ＝，
所以f(θ)＝sin θ＋cos θ＝×＋＝2.
三角函数符号的判断
判断下列各式的符号．
(1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°；
(2)tan 191°－cos 191°；
(3)sin 2cos 3tan 4.
【解】 (1)因为2 015°＝5×360°＋215°，
2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°，
所以它们都是第三象限角，
所以sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0，
所以sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0.
(2)因为191°角是第三象限角，
所以tan 191°>0，cos 191°<0，
所以tan 191°－cos 191°>0.
(3)因为<2<π，<3<π，π<4<，
所以2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
所以sin 2cos 3tan 4<0.
由三角函数的定义知sin α＝，cos α＝，tan α＝(r＞0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键．
判断sin 320°·cos 385°·tan 155°·tan(－480°)的符号．
解：270°<320°<360°，360°<385°<450°，90°<155°<180°，－540°<－480°<－450°，
则320°为第四象限角，385°为第一象限角，155°为第二象限角，－480°为第三象限角，
所以sin 320°<0，cos 385°>0，tan 155°<0，tan(－480°)>0.
所以sin 320°·cos 385°·tan 155°·tan(－480°)>0，即符号为正．
三角函数式的化简与求值
求＋＋的值．
【解】 因为x≠kπ，k∈Z，
所以当x是第一象限的角时，
sin x>0，cos x>0，tan x>0，
原式＝＋＋＝3.
当x是第二象限的角时，
sin x>0，cos x<0，tan x<0，
原式＝＋＋＝－1.
当x是第三象限的角时，
sin x<0，cos x<0，tan x>0，
原式＝＋＋＝－1.
当x是第四象限的角时，
sin x<0，cos x>0，tan x<0，
原式＝＋＋＝－1.
综上可知，＋＋的值为3或－1.
简单的三角函数的化简求值，因给出的式子中含绝对值符号，所以要分类讨论，分类一定要全，求值一定要准．
已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
解析：因为sin θ＝＝－，
所以y<0，且y2＝64.
所以y＝－8.
答案：－8
1．已知点P(1，－5)是α终边上一点，则sin α＝( )
A．1 B．－5
C．－ D.
解析：选C.因为x＝1，y＝－5，
所以r＝，
所以sin α＝＝－.
2．sin 1·cos 2·tan 3的值是( )
A．正数 B．负数
C．0 D．不存在
解析：选A.因为0<1<，<2<π，<3<π，
所以sin 1>0，cos 2<0，tan 3<0，
所以sin 1·cos 2·tan 3>0.
3．若点P(2m，－3m)(m<0)在角α的终边上，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
解析：因为m<0，
所以r＝＝－m，
所以sin α＝＝＝；
cos α＝＝＝－；
tan α＝＝＝－.
答案： － －
4．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，求sin α＋cos α的值．
解：根据三角函数的定义，tan α＝＝－，所以a＝－12，所以P(5，－12)，r＝13，
所以sin α＝－，cos α＝，从而sin α＋cos α＝－.
[A 基础达标]
1．下列三角函数判断错误的是( )
A．sin 165°>0 B．cos 280°>0
C．tan 170°>0 D．tan 310°<0
解析：选C.因为90°<165°<180°，所以sin 165°>0；
又270°<280°<360°，所以cos 280°>0；
又90°<170°<180°，所以tan 170°<0；
又270°<310°<360°，所以tan 310°<0，故选C.
2．已知角α的终边过点P(－3，4)，则sin α＋cos α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C.因为r＝＝5，所以sin α＝，cos α＝－，
所以sin α＋cos α＝－＝.
3．已知角α的终边上有异于原点的一点P，且|PO|＝r，则点P的坐标为( )
A．P(sin α，cos α) B．P(cos α，sin α)
C．P(rsin α，rcos α) D．P(rcos α，rsin α)
解析：选D.设P(x，y)，则sin α＝，所以y＝rsin α，又cos α＝，所以x＝rcos α，所以P(rcos α，rsin α)，故选D.
4．已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等于( )
A．－ B.
C．－4 D．4
解析：选C.由题意可知，cos α＝＝－，易知m<0，解得m＝－4，故选C.
5．若θ是第二象限角，则( )
A．sin >0 B．cos <0
C．tan >0 D．以上均不对
解析：选C.因为θ是第二象限角，所以2kπ＋<θ<2kπ＋π，所以kπ＋<0.
6．设α为第二象限角，则点P(cos α，sin α)在第________象限．
解析：因为α为第二象限角，所以cos α<0，sin α>0.
答案：二
7．已知角α的终边经过点P(x，－6)且cos α＝－，则x＝________.
解析：因为|OP|＝＝，所以cos α＝，又cos α＝－，所以＝－，解得x＝－8.
答案：－8
8．已知角α的终边经过点P(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
解析：由得
解得－2＜a≤3.
答案：－2＜a≤3
9．已知＝－，且lg cos α有意义．
(1)试判断角α的终边所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，可知sin α<0.
由lg cos α有意义，可知cos α>0，
所以角α的终边在第四象限．
(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，
解得m＝±.
又α是第四象限角，
故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知
sin α＝＝＝＝－.
10．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，cos α＝x，求sin α.
解：因为α是第二象限角，所以x<0.
因为|OP|＝＝，
所以cos α＝＝x，
所以x2＝3.
又因为x<0，
所以x＝－，
所以sin α＝＝＝.
[B 能力提升]
11．若sin α>0，tan α<0，则α为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B.由sin α>0可知角α的终边在第一、二象限或在y轴正半轴上，由tan α<0可知角α的终边在第二、四象限．综上可知角α为第二象限角．
12．如果α的终边过点P，则sin α的值等于( )
A. B．－
C．－ D．－
解析：选C.因为2sin＝1，－2cos＝－，
所以r＝＝2，
所以sin α＝－.
13．判断下列各式的符号．
(1)sin 340°cos 265°；
(2)sin 4tan；
(3)(θ为第二象限角)．
解：(1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角，
所以sin 340°<0，cos 265°<0，
所以sin 340°cos 265°>0.
(2)因为π<4<，所以4是第三象限角，
因为－＝－6π＋，
所以－是第一象限角．
所以sin 4<0，tan>0，
所以sin 4tan<0.
(3)因为θ为第二象限角，
所以0所以sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0，
所以<0.
[C 拓展探究]
14．已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求＋＋的值．
解：由题意可知P(a，－b)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝－；
由题意可知Q(b，a)，则sin β＝，cos β＝，tan β＝，
所以＋＋＝－1－＋＝0.
课件28张PPT。第七章 三角函数第七章 三角函数×××√本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
[A 基础达标]
1．下列三角函数判断错误的是( )
A．sin 165°>0 B．cos 280°>0
C．tan 170°>0 D．tan 310°<0
解析：选C.因为90°<165°<180°，所以sin 165°>0；
又270°<280°<360°，所以cos 280°>0；
又90°<170°<180°，所以tan 170°<0；
又270°<310°<360°，所以tan 310°<0，故选C.
2．已知角α的终边过点P(－3，4)，则sin α＋cos α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C.因为r＝＝5，所以sin α＝，cos α＝－，
所以sin α＋cos α＝－＝.
3．已知角α的终边上有异于原点的一点P，且|PO|＝r，则点P的坐标为( )
A．P(sin α，cos α) B．P(cos α，sin α)
C．P(rsin α，rcos α) D．P(rcos α，rsin α)
解析：选D.设P(x，y)，则sin α＝，所以y＝rsin α，又cos α＝，所以x＝rcos α，所以P(rcos α，rsin α)，故选D.
4．已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等于( )
A．－ B.
C．－4 D．4
解析：选C.由题意可知，cos α＝＝－，易知m<0，解得m＝－4，故选C.
5．若θ是第二象限角，则( )
A．sin >0 B．cos <0
C．tan >0 D．以上均不对
解析：选C.因为θ是第二象限角，所以2kπ＋<θ<2kπ＋π，所以kπ＋<0.
6．设α为第二象限角，则点P(cos α，sin α)在第________象限．
解析：因为α为第二象限角，所以cos α<0，sin α>0.
答案：二
7．已知角α的终边经过点P(x，－6)且cos α＝－，则x＝________.
解析：因为|OP|＝＝，所以cos α＝，又cos α＝－，所以＝－，解得x＝－8.
答案：－8
8．已知角α的终边经过点P(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
解析：由得
解得－2＜a≤3.
答案：－2＜a≤3
9．已知＝－，且lg cos α有意义．
(1)试判断角α的终边所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，可知sin α<0.
由lg cos α有意义，可知cos α>0，
所以角α的终边在第四象限．
(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，
解得m＝±.
又α是第四象限角，
故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知
sin α＝＝＝＝－.
10．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，cos α＝x，求sin α.
解：因为α是第二象限角，所以x<0.
因为|OP|＝＝，
所以cos α＝＝x，
所以x2＝3.
又因为x<0，
所以x＝－，
所以sin α＝＝＝.
[B 能力提升]
11．若sin α>0，tan α<0，则α为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B.由sin α>0可知角α的终边在第一、二象限或在y轴正半轴上，由tan α<0可知角α的终边在第二、四象限．综上可知角α为第二象限角．
12．如果α的终边过点P，则sin α的值等于( )
A. B．－
C．－ D．－
解析：选C.因为2sin＝1，－2cos＝－，
所以r＝＝2，
所以sin α＝－.
13．判断下列各式的符号．
(1)sin 340°cos 265°；
(2)sin 4tan；
(3)(θ为第二象限角)．
解：(1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角，
所以sin 340°<0，cos 265°<0，
所以sin 340°cos 265°>0.
(2)因为π<4<，所以4是第三象限角，
因为－＝－6π＋，
所以－是第一象限角．
所以sin 4<0，tan>0，
所以sin 4tan<0.
(3)因为θ为第二象限角，
所以0所以sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0，
所以<0.
[C 拓展探究]
14．已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求＋＋的值．
解：由题意可知P(a，－b)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝－；
由题意可知Q(b，a)，则sin β＝，cos β＝，tan β＝，
所以＋＋＝－1－＋＝0.
