7．3.3 余弦函数的性质与图像
考点
学习目标
核心素养
余弦函数的性质
理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值等
逻辑推理、数学运算
余弦函数的图像
会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像
直观想象
问题导学
预习教材P50－P53，并思考以下问题：
1．如何把y＝sin x，x∈R的图像变换为y＝cos x，x∈R的图像？
2．余弦函数图像的五个关键点分别是什么？
1．余弦函数的图像
函数y＝cos x的图像称为余弦曲线．由于y＝cos x＝sin，因此余弦曲线可由正弦曲线向左平移个单位得到．余弦曲线的对称轴为x＝kπ，对称中心为(＋kπ，0)，其中k∈Z.
2．余弦函数的性质
函数
y＝cos x
图像
定义域
R
值域
[－1，1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性
当x∈[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)时，递增；
当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减
最大值与
最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
3.余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝．
■名师点拨
画余弦曲线的五个关键点分别是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin x的图像向右平移个单位得到函数y＝cos x的图像．( )
(2)函数y＝cos x的图像关于x轴对称．( )
(3)函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像与函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图像的形状完全一致．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图像时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：选B.令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B.
使cos x＝1－m有意义的m的值为( )
A．m≥0 B．0≤m≤2
C．－11
解析：选B.因为－1≤cos x≤1，所以－1≤1－m≤1，解得0≤m≤2.故选B.
比较大小：(1)cos 15°________cos 35°；
(2)cos________cos.
解析：(1)因为y＝cos x在[0°，180°]上为减函数，并且0°<15°<35°<180°，所以cos 15°>cos 35°.
(2)因为cos＝cos ，cos＝cos ，并且y＝cos x在x∈[0，π]上为减函数，又因为0<<<π，所以cos >cos ，即cos答案：(1)> (2)<
用“五点法”作余弦型函数的图像
用“五点法”作函数y＝2＋cos x，x∈[0，2π]的简图．
【解】 列表：
x
0
π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x
3
2
1
2
3
描点连线，如图．
(1)“五点法”是作三角函数图像的常用方法，“五点”即函数图像最高点、最低点、与x轴的交点．
(2)列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点．
用“五点法”作函数y＝3－2cos x，x∈[0，2π]的简图．
解：按五个关键点列表、描点画出图像(如图)．
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y＝3－2cos x
1
3
5
3
1
求余弦型函数的单调区间
求函数y＝cos的单调递减区间．
【解】 y＝cos＝cos，
令z＝x－，则y＝cos z，
即2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，
所以2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
故函数y＝cos的单调递减区间为，k∈Z.
(1)求形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
(2)具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时用同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．
求函数y＝2的单调递增区间．
解：y＝2＝2.
结合y＝|cos x| 的图像，
由kπ－≤x－≤kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数y＝2的单调递增区间为(k∈Z)．
有关三角函数的最值问题
已知函数y1＝a－bcos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin 3bx的最大值．
【解】 因为函数y1的最大值是，最小值是－，
当b>0时，由题意得所以
当b<0时，由题意得所以
因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x.函数的最大值均为2.
(1)对于求形如y＝acos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cos x的范围．
(2)求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．
函数y＝sin2x＋cos x的值域为________．
解析：y＝sin2x＋cos x＝1－cos2 x＋cos x，设cos x＝t，因为－≤x≤，则t∈，
所以y＝1－cos2x＋cos x
＝－＋，t∈，
故当t＝，即x＝±时，ymax＝；
当t＝1，即x＝0时，ymin＝1.
所以函数的值域为.
答案：
正、余弦函数的对称性
已知函数y＝2cos.
(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
(2)把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值．
【解】 (1)令2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－(k∈Z)．
令k＝0，得x＝－；
令k＝1，得x＝.
所以函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝.
(2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，
则f(x)＝2cos＝2cos.
因为y＝f(x)的图像关于原点(0，0)对称，
所以f(0)＝2cos＝0.
所以－2φ＝kπ＋，k∈Z.
解得φ＝－(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝.所以φ的最小正值是.
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论
(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图像关于x＝x0 对称?f(x0)＝A或－A.
(2)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图像关于点(x0，0)中心对称?f(x0)＝0.
把函数y＝cos的图像向右平移φ个单位，正好关于y轴对称，求φ的最小正值．
解：由题意知，平移后的函数为y＝cos，且关于y轴对称，所以它是偶函数，因此，当x＝0时，cos 取得最大值1或最小值－1，故－φ＝2nπ或(2n＋1)π(n∈Z)，即－φ＝kπ(k∈Z)．
所以φ＝－kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值.
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
解析：选D.因为T＝＝，
所以ω＝4.
2．函数y＝sin是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：选B.因为y＝sin＝sin
＝－sin＝－cos x，
所以函数y＝sin是偶函数．
3．函数y＝cos(－x)，x∈[0，2π]的单调递减区间是________．
解析：y＝cos(－x)＝cos x，x∈[0，2π]，其单调递减区间为[0，π]．
答案：[0，π]
4．函数y＝|cos x|的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正周期为________．
解析：将y＝cos x的图像在x轴上方的不动，下方部分对称地翻到x轴上方，即得函数y＝|cos x|的图像，如图所示．
由图可知它的最小正周期为π.
又因为在一个周期上，函数的增区间是，减区间是.
而函数的所有周期是kπ(k∈Z)，
因此函数y＝|cos x|的增区间是(k∈Z)，减区间是(k∈Z)．
答案：(k∈Z) (k∈Z) π
[A 基础达标]
1．下列对y＝cos x的图像描述错误的是( )
A．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：选C.由余弦函数的周期性可知A项正确，根据函数的图像可知B项与D项正确，y＝cos x的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z，故C项错误．
2．x轴与函数y＝cos x的图像的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
解析：选D.函数y＝cos x的图像与x轴有无数个交点，故选D.
3．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A．－1，3 B．－1，1
C．0，3 D．0，1
解析：选A.因为cosx∈[－1，1]，
所以－2cosx∈[－2，2]，
所以y＝1－2cosx的最小值为－1，最大值为3.
4．y＝|cos x|的一个单调增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.将y＝cos x的图像位于x轴下方的图像关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图像不变，即得到y＝|cos x| 的图像(如图)．故选D.
5．在(0，2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
解析：选A.因为sin x>|cos x|，所以sin x>0，所以x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图像，观察图像易得x∈.
6．函数y＝2cos的最小正周期为4π，则ω＝________．
解析：因为4π＝，所以ω＝±.
答案：±
7．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0，2π]的x的区间是________．
解析：画出y＝cos x，x∈[0，2π]上的图像如图所示．
cos x>0的区间为∪.
答案：∪
8．函数y＝lg(－2cos x)的定义域为________．
解析：由题意知－2cos x＞0，即cos x＜，所以＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)，即函数的定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
9．求函数y＝3－2cos的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x为何值时，y取最大值或最小值．
解：由于y＝cos x的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)，
又由2x－＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)；
由2x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)，
故y＝3－2cos的对称中心坐标为(k∈Z)，
对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
因为当θ＝2kπ(k∈Z)时，y＝3－2cos θ取得最小值，
所以当2x－＝2kπ，即x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最小值1.
同理可得当x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最大值5.
10．求函数y＝sin2x＋acos x－a－的最大值为1时a的值．
解：y＝1－cos2x＋acos x－a－
＝－＋－a－.
因为cos x∈[－1，1]，要使y最大，
则必须满足最小．
①当<－1，即a<－2时，
若cos x＝－1，则ymax＝－a－.
由题设，令－a－＝1，
得a＝－>－2(舍去)；
②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，
若cos x＝，则ymax＝－－.
由题设，令－－＝1，
得a＝1－(舍去正值)；
③当>1，即a>2时，
若cos x＝1，则ymax＝－，
由题设，令－＝1，得a＝5.
综上所述a＝5或a＝1－.
[B 能力提升]
11．函数y＝cos的( )
A．最小正周期为2π
B．图像关于y轴对称
C．图像关于原点对称
D．图像关于x轴对称
解析：选C.函数y＝cos的周期为：＝π，所以A项不正确；函数y＝cos＝sin 2x，当x＝0时，函数取得0，函数关于原点对称，故B项不正确，D项不正确．
12．记a＝sin(cos 210°)，b＝sin(sin 210°)，c＝cos(sin 210°)，d＝cos(cos 210°)，则a、b、c、d中最大的是( )
A．a B．b
C．c D．d
解析：选C.注意到210°＝180°＋30°，因此sin 210°＝－sin 30°＝－，cos 210°＝－cos 30°＝－，－<－<0，－<－<0，0<<<，cos >cos >0，a＝sin＝－sin<0，b＝sin＝－sin<0，c＝cos＝cos>d＝cos＝cos>0，因此选C.
13．已知函数y＝2cos的周期为T，且T∈(1，3)，则正整数k＝________．
解析：因为T＝＝(k∈Z)，
所以1<<3(k∈Z)．
所以答案：1
14．已知函数f(x)＝2cos ωx(ω＞0)，且函数y＝f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间．
解：(1)因为f(x)的周期T＝π，
故＝π，所以ω＝2，
所以f(x)＝2cos 2x，
所以f＝2cos ＝.
(2)将y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到y＝f 的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝f的图像，所以g(x)＝f＝2cos＝2cos.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
[C 拓展探究]
15．如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω＞0，0≤θ≤)的图像与y轴相交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图像上一点，点Q(x0，y0) 是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．
解：(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)，
得cos θ＝，
因为0≤θ≤，所以θ＝.
由已知T＝π，且ω＞0，
得ω＝＝＝2.
(2)因为点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
所以点P的坐标为(2x0－，)．
又因为点P在y＝2cos的图像上，
且≤x0≤π，
所以cos＝，
≤4x0－≤，
从而得4x0－＝或4x0－＝，
即x0＝或x0＝.
课件35张PPT。第七章 三角函数第七章 三角函数余弦曲线偶1－1×××本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
[A 基础达标]
1．下列对y＝cos x的图像描述错误的是( )
A．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：选C.由余弦函数的周期性可知A项正确，根据函数的图像可知B项与D项正确，y＝cos x的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z，故C项错误．
2．x轴与函数y＝cos x的图像的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
解析：选D.函数y＝cos x的图像与x轴有无数个交点，故选D.
3．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A．－1，3 B．－1，1
C．0，3 D．0，1
解析：选A.因为cosx∈[－1，1]，
所以－2cosx∈[－2，2]，
所以y＝1－2cosx的最小值为－1，最大值为3.
4．y＝|cos x|的一个单调增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.将y＝cos x的图像位于x轴下方的图像关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图像不变，即得到y＝|cos x| 的图像(如图)．故选D.
5．在(0，2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
解析：选A.因为sin x>|cos x|，所以sin x>0，所以x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图像，观察图像易得x∈.
6．函数y＝2cos的最小正周期为4π，则ω＝________．
解析：因为4π＝，所以ω＝±.
答案：±
7．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0，2π]的x的区间是________．
解析：画出y＝cos x，x∈[0，2π]上的图像如图所示．
cos x>0的区间为∪.
答案：∪
8．函数y＝lg(－2cos x)的定义域为________．
解析：由题意知－2cos x＞0，即cos x＜，所以＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)，即函数的定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
9．求函数y＝3－2cos的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x为何值时，y取最大值或最小值．
解：由于y＝cos x的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)，
又由2x－＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)；
由2x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)，
故y＝3－2cos的对称中心坐标为(k∈Z)，
对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
因为当θ＝2kπ(k∈Z)时，y＝3－2cos θ取得最小值，
所以当2x－＝2kπ，即x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最小值1.
同理可得当x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最大值5.
10．求函数y＝sin2x＋acos x－a－的最大值为1时a的值．
解：y＝1－cos2x＋acos x－a－
＝－＋－a－.
因为cos x∈[－1，1]，要使y最大，
则必须满足最小．
①当<－1，即a<－2时，
若cos x＝－1，则ymax＝－a－.
由题设，令－a－＝1，
得a＝－>－2(舍去)；
②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，
若cos x＝，则ymax＝－－.
由题设，令－－＝1，
得a＝1－(舍去正值)；
③当>1，即a>2时，
若cos x＝1，则ymax＝－，
由题设，令－＝1，得a＝5.
综上所述a＝5或a＝1－.
[B 能力提升]
11．函数y＝cos的( )
A．最小正周期为2π
B．图像关于y轴对称
C．图像关于原点对称
D．图像关于x轴对称
解析：选C.函数y＝cos的周期为：＝π，所以A项不正确；函数y＝cos＝sin 2x，当x＝0时，函数取得0，函数关于原点对称，故B项不正确，D项不正确．
12．记a＝sin(cos 210°)，b＝sin(sin 210°)，c＝cos(sin 210°)，d＝cos(cos 210°)，则a、b、c、d中最大的是( )
A．a B．b
C．c D．d
解析：选C.注意到210°＝180°＋30°，因此sin 210°＝－sin 30°＝－，cos 210°＝－cos 30°＝－，－<－<0，－<－<0，0<<<，cos >cos >0，a＝sin＝－sin<0，b＝sin＝－sin<0，c＝cos＝cos>d＝cos＝cos>0，因此选C.
13．已知函数y＝2cos的周期为T，且T∈(1，3)，则正整数k＝________．
解析：因为T＝＝(k∈Z)，
所以1<<3(k∈Z)．
所以答案：1
14．已知函数f(x)＝2cos ωx(ω＞0)，且函数y＝f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间．
解：(1)因为f(x)的周期T＝π，
故＝π，所以ω＝2，
所以f(x)＝2cos 2x，
所以f＝2cos ＝.
(2)将y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到y＝f 的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝f的图像，所以g(x)＝f＝2cos＝2cos.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
[C 拓展探究]
15．如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω＞0，0≤θ≤)的图像与y轴相交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图像上一点，点Q(x0，y0) 是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．
解：(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)，
得cos θ＝，
因为0≤θ≤，所以θ＝.
由已知T＝π，且ω＞0，
得ω＝＝＝2.
(2)因为点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
所以点P的坐标为(2x0－，)．
又因为点P在y＝2cos的图像上，
且≤x0≤π，
所以cos＝，
≤4x0－≤，
从而得4x0－＝或4x0－＝，
即x0＝或x0＝.
