[A 基础达标]
1．函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D.由＋x≠kπ＋得x≠kπ＋(k∈Z)，故选D.
2．已知函数f(x)＝tan，下列判断正确的是( )
A．f(x)是定义域上的增函数，且周期是
B．f(x)在(k∈Z)上是增函数，且周期是2π
C．f(x)在上是减函数，且周期是
D．f(x)在上是减函数，且周期是2π
解析：选C.利用正切函数的周期性和单调性可得．
3．函数y＝tan x是( )
A．增函数 B．偶函数
C．奇函数 D．减函数
解析：选C.函数y＝tan x的定义域关于原点对称，并且tan(－x)＝－tan x，所以它是奇函数，对y＝tan x只能说它在每一个开区间，k∈Z上为增函数．
4．函数y＝tan图像的对称中心为( )
A．(0，0) B.
C.，k∈Z D.，k∈Z
解析：选D.由函数y＝tan x的对称中心为，k∈Z，令3x＋＝，k∈Z，则x＝－(k∈Z)，所以y＝tan的对称中心为，k∈Z.故选D.
5．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x) 的部分图像如图，则f＝( )
A．2＋ B.
C. D．2－
解析：选B.由图像可知，T＝2＝，所以ω＝2，
所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝.又f(0)＝1，所以Atan＝1，得A＝1，
所以f(x)＝tan，
所以f＝tan＝tan＝，故选B.
6．已知f(x)＝asin x＋btan x＋1满足f(5)＝7，则f(－5)＝________．
解析：因为f(5)＝asin 5＋btan 5＋1＝7，
所以asin 5＋btan 5＝6，
所以f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1
＝－(asin 5＋btan 5)＋1＝－6＋1＝－5.
答案：－5
7．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围为________．
解析：由题意可知ω<0，又≥π，故－1≤ω<0.
答案：－1≤ω<0
8．函数y＝sin x与y＝tan x的图像在[－2π，2π]上的交点个数为________．
解析：由得sin x＝tan x，
即sin x＝0，
所以sin x＝0或1－＝0，
即x＝kπ(k∈Z)，
又－2π≤x≤2π，所以x＝－2π，－π，0，π，2π，
从而两图像的交点个数为5.
答案：5
9．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性、单调性．
解：由3x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以所求定义域为.
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．
在区间(k∈Z)上是单调递增函数．
10．已知x∈，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值．
解：f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，
因为x∈，
所以tan x∈[－，1]，
所以当tan x＝－1，
即x＝－时，f(x)有最小值1；当tan x＝1，
即x＝时，f(x)有最大值5.
[B 能力提升]
11．函数f(x)＝lg(tan x＋)为( )
A．奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：选A.因为＋tan x>|tan x|＋tan x≥0，恒成立，所以其定义域为，关于原点对称，又f(－x)＋f(x)＝lg(－tan x＋)＋lg(tan x＋)＝lg 1＝0，所以f(x)为奇函数，故选A.
12．当x在[0，2π]内时，使不等式tan x≤成立的x的集合是________．
解析：当tan x≤时，－＋kπ
答案：∪∪
13．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像如图中的________．
解析：函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|
＝故图像为④.
答案：④
14．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图像与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．
解：(1)由题意可得f(x)的周期为T＝－＝＝，所以ω＝，
得f(x)＝Atan，
因为它的图像过点，
所以A tan＝0，即tan＝0，
所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－，
又|φ|<，所以φ＝－，
于是f(x)＝Atan，
又它的图像过点(0，－3)，
所以Atan＝－3，得A＝3，
所以f(x)＝3tan.
(2)由(1)得3tan≥ ，
所以tan≥，
得kπ＋≤x－解得＋≤x<＋(k∈Z)，
所以满足f(x)≥ 的x的取值范围是(k∈Z)．
[C 拓展探究]
15．设函数y＝10tan[(2k－1)·]，k∈N＋.当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义，求k的最小正整数值．
解：由题意可得，当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时，至少包含函数的2个周期，故函数的最小正周期T满足T≤，即≤，
求得k≥，故k的最小正整数值为17.
7．3.4 正切函数的性质与图像
考点
学习目标
核心素养
正切函数的定义域与值域
掌握正切函数的定义域、值域
数学抽象
正切函数的单调性及应用
会利用正切函数图像研究其单调性，并利用单调性解决其相应问题
直观想象、逻辑推理
正切函数的周期性与奇偶性
掌握正切函数的周期性及奇偶性
逻辑推理、数学运算
问题导学
预习教材P54－P56，并思考以下问题：
1．如何借助正切线画正切函数图像？
2．正切函数的性质与正弦函数性质有何不同？
3．正切函数在定义域内是不是单调函数？
1．正切函数的性质
解析式
y＝tan x
定义域
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在k∈Z内
都是增函数
零点
kπ(k∈Z)
2.正切函数的图像
(1)y＝tan x的图像如图．
(2)一般地，y＝tan x的函数图像称为正切曲线．正切曲线是中心对称图形，其对称中心为(k∈Z)．
■名师点拨
(1)正切函数在每一个开区间(k∈Z)内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数，无单调递减区间．
(2)画正切函数图像常用三点两线法：“三点”是指(－，－1)，(0，0)，(，1)，“两线”是指x＝－和x＝，大致画出正切函数在上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期公式为T＝.( )
(2)正切函数在R上是单调递增函数．( )
(3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
函数y＝－3tan x＋7的值域是( )
A．R
B．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
C．(0，＋∞)
D.(k∈Z)
解析：选A.因为y＝tan x，x∈R的值域为R，所以y＝－3tan x＋7的值域也为R.
y＝tan的定义域为________．
解析：因为2x－≠kπ＋，k∈Z，所以x≠＋π，k∈Z.
答案：
函数y＝tan的单调增区间为________．
解析：令kπ－得kπ－π即y＝tan的单调增区间为
，k∈Z.
答案：，k∈Z
正切函数的定义域、值域问题
(1)函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域是________．
(2)函数y＝tan(sin x)的值域为________．
(3)求函数y＝－tan2x＋2tan x＋5，x∈的值域．
【解】 (1)要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则即－1≤tan x<1.
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为.
(2)因为－1≤sin x≤1，且[－1，1]?，
所以y＝tan x在[－1，1]上是增函数，
因此tan(－1)≤tan x≤tan 1，
即函数y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]．
(3)令t＝tan x，
因为x∈，
所以t＝tan x∈[－，)，
所以y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为直线t＝1，
所以t＝1时，取最大值6，t＝－时，取最小值2－2，
所以函数y＝－tan2x＋2tan x＋5，x∈的值域为[2－2，6]．
(1)求正切函数定义域的方法及求值域的注意点
①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z；
②求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
(2)解正切不等式的两种方法
①图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；
②三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．
求函数y＝的定义域．
解：根据题意，
得解得
(k∈Z)．
所以函数的定义域为
∪(k∈Z)．
正切函数的奇偶性、周期性
(1)函数y＝4tan的周期为________．
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝；
②f(x)＝tan＋tan.
【解】 (1)由于ω＝3，故函数的周期为T＝＝.
(2)①由
得f(x)的定义域为
，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
②函数的定义域为，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan
＝－tan－tan
＝－f(x)，
所以函数是奇函数．
(1)函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法
①定义法．
②公式法：函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的周期T＝.
③观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
(2)判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
(1)求f(x)＝tan的周期；
(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性．
解：(1)因为tan＝tan，
即tan＝tan，
所以f(x)＝tan的周期是.
(2)定义域为，关于原点对称，
因为f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
所以函数是奇函数．
正切函数的单调性及其应用
(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
【解】 (1)y＝tan＝－tan，
由kπ－<x－得2kπ－所以函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)，无增区间．
(2)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又因为<2<π，所以－<2－π<0，
因为<3<π，所以－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
所以tan(2－π)即tan 2
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
①若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
②若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小．
解：(1)因为y＝tan x的单调递增区间为(k∈Z)，
所以kπ－<2x－＋所以函数y＝tan的单调递增区间为
k∈Z.无递减区间．
(2)由于tan＝tan＝tan ＝－tan ，tan＝－tan＝－tan ，
又0<<<，
而y＝tan x在上单调递增，
所以tan －tan ，
即tan>tan.
1．函数y＝tan x的值域是( )
A．[－1，1] B．[－1，0)∪(0，1]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
解析：选B.根据函数的单调性可得．
2．直线y＝3与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π B.
C. D.
解析：选C.直线y＝3与函数y＝tan ωx的图像的相邻交点间的距离为y＝tan ωx的周期，故距离为.
3．已知A为锐角，且tan A＝，那么下列判断正确的是( )
A．0°C．45°解析：因为<<1，
由正切函数随锐角的增大而增大，得
tan 30°即30°4．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________．
解析：由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋kπ(k∈Z)．
故定义域为，且f＝tan＝.
答案：
[A 基础达标]
1．函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D.由＋x≠kπ＋得x≠kπ＋(k∈Z)，故选D.
2．已知函数f(x)＝tan，下列判断正确的是( )
A．f(x)是定义域上的增函数，且周期是
B．f(x)在(k∈Z)上是增函数，且周期是2π
C．f(x)在上是减函数，且周期是
D．f(x)在上是减函数，且周期是2π
解析：选C.利用正切函数的周期性和单调性可得．
3．函数y＝tan x是( )
A．增函数 B．偶函数
C．奇函数 D．减函数
解析：选C.函数y＝tan x的定义域关于原点对称，并且tan(－x)＝－tan x，所以它是奇函数，对y＝tan x只能说它在每一个开区间，k∈Z上为增函数．
4．函数y＝tan图像的对称中心为( )
A．(0，0) B.
C.，k∈Z D.，k∈Z
解析：选D.由函数y＝tan x的对称中心为，k∈Z，令3x＋＝，k∈Z，则x＝－(k∈Z)，所以y＝tan的对称中心为，k∈Z.故选D.
5．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x) 的部分图像如图，则f＝( )
A．2＋ B.
C. D．2－
解析：选B.由图像可知，T＝2＝，所以ω＝2，
所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝.又f(0)＝1，所以Atan＝1，得A＝1，
所以f(x)＝tan，
所以f＝tan＝tan＝，故选B.
6．已知f(x)＝asin x＋btan x＋1满足f(5)＝7，则f(－5)＝________．
解析：因为f(5)＝asin 5＋btan 5＋1＝7，
所以asin 5＋btan 5＝6，
所以f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1
＝－(asin 5＋btan 5)＋1＝－6＋1＝－5.
答案：－5
7．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围为________．
解析：由题意可知ω<0，又≥π，故－1≤ω<0.
答案：－1≤ω<0
8．函数y＝sin x与y＝tan x的图像在[－2π，2π]上的交点个数为________．
解析：由得sin x＝tan x，
即sin x＝0，
所以sin x＝0或1－＝0，
即x＝kπ(k∈Z)，
又－2π≤x≤2π，所以x＝－2π，－π，0，π，2π，
从而两图像的交点个数为5.
答案：5
9．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性、单调性．
解：由3x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以所求定义域为.
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．
在区间(k∈Z)上是单调递增函数．
10．已知x∈，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值．
解：f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，
因为x∈，
所以tan x∈[－，1]，
所以当tan x＝－1，
即x＝－时，f(x)有最小值1；当tan x＝1，
即x＝时，f(x)有最大值5.
[B 能力提升]
11．函数f(x)＝lg(tan x＋)为( )
A．奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：选A.因为＋tan x>|tan x|＋tan x≥0，恒成立，所以其定义域为，关于原点对称，又f(－x)＋f(x)＝lg(－tan x＋)＋lg(tan x＋)＝lg 1＝0，所以f(x)为奇函数，故选A.
12．当x在[0，2π]内时，使不等式tan x≤成立的x的集合是________．
解析：当tan x≤时，－＋kπ答案：∪∪
13．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像如图中的________．
解析：函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|
＝故图像为④.
答案：④
14．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图像与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．
解：(1)由题意可得f(x)的周期为T＝－＝＝，所以ω＝，
得f(x)＝Atan，
因为它的图像过点，
所以A tan＝0，即tan＝0，
所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－，
又|φ|<，所以φ＝－，
于是f(x)＝Atan，
又它的图像过点(0，－3)，
所以Atan＝－3，得A＝3，
所以f(x)＝3tan.
(2)由(1)得3tan≥ ，
所以tan≥，
得kπ＋≤x－解得＋≤x<＋(k∈Z)，
所以满足f(x)≥ 的x的取值范围是(k∈Z)．
[C 拓展探究]
15．设函数y＝10tan[(2k－1)·]，k∈N＋.当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义，求k的最小正整数值．
解：由题意可得，当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时，至少包含函数的2个周期，故函数的最小正周期T满足T≤，即≤，
求得k≥，故k的最小正整数值为17.
课件36张PPT。第七章 三角函数第七章 三角函数奇正切曲线×××本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 