7．3.5 已知三角函数值求角
考点
学习目标
核心素养
三角函数线
掌握利用三角函数线求角的方法
逻辑推理、数学运算
反三角函数
了解用信息技术求arcsin x，arccos x，arctan x表示的角
数学抽象
问题导学
预习教材P57－P60，并思考以下问题：
1．如何利用三角函数线求角？
2．如何利用三角函数图像求角？
事实上，在数学中，任意给定一个y∈[－1，1]，当sin x＝y且x∈时，通常记作：x＝arcsin__y．
类似地，
在区间[0，π]内，满足cos x＝y且(y∈[－1，1])的x只有一个，通常记作：x＝arccos__y．
在区间内，满足tan x＝y(y∈R)的x只有一个，通常记作：x＝arctan__y．
已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝( )
A. B.
C.或 D.或
解析：选D.因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝时，α＝或，故选D.
已知cos x＝－，＜x＜π，则角x等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由x∈，cos＝且cos＝－cos＝－得，x＝.
已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝________．
解析：因为x∈[0，π]，
所以2x∈[0，2π]．
因为tan 2x＝－，
所以2x＝或2x＝，
所以x＝或.
答案：或
已知三角函数值求角
已知sin x＝.
(1)当x∈时，求x的取值集合；
(2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合．
【解】 (1)因为y＝sin x在上是增函数，
且sin ＝，所以x＝，
所以是所求集合．
(2)因为sin x＝＞0，所以x为第一或第二象限的角，且sin ＝sin＝，
所以在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝π，
所以x的取值集合为.
(3)当x∈R时，x的取值集合为
.
给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．
已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
解：因为tan x＝－1＜0，
所以x是第二或第四象限的角．
由tan＝－tan ＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－.
又由tan＝－tan ＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝－π，
所以在[－2π，0]内满足条件的角是－与－.
三角方程与三角不等式
(1)不等式组的解集为________．
(2)若cos x＝cos，求x的值．
【解】 (1)由得在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，如图所示，由三角函数线可得解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为.
故填.
(2)在同一个周期[－π，π]内，
满足cos x＝cos的角有两个：和－.
又y＝cos x的周期为2π，
所以满足cos x＝cos的x为2kπ±(k∈Z)．
(1)解决三角方程和不等式问题要特别熟悉特殊角的三角函数值，并注意三角函数周期性，防止漏解．
(2)充分利用三角函数线或者三角函数图像求解．
三角方程2sin＝1的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C.因为2sin＝1，
所以2cos x＝1，所以cos x＝.
所以x＝2kπ±，k∈Z，故选C.
1．已知tan θ＝－1，且θ∈，则θ的大小是( )
A．－ B.
C. D.，
解析：选B.因为tan θ＝－1，
且θ∈，
则θ＝，故答案选B.
2．使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C.由－2sin x≥0解得：sin x≤，进一步利用单位圆解得：2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，故选C.
3．三角方程cos 2x＝0在区间[0，100]内的所有解的个数是________．
解析：因为cos 2x＝0，
所以2x＝＋kπ(k∈Z)，
所以x＝＋(k∈Z)，因为x∈[0，100]，所以k＝0，1，2，…，63，
因此所有解的个数是64.
答案：64
[A 基础达标]
1．满足tan x＝－的x的集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D.在上，当x＝－时，tan x＝－.所以满足tan x＝－的x的集合为.
2．方程cos x＋＝0，x∈[0，2π]的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.在[0，2π]内，cos＝cos＝－cos＝－.
3．若tan＝，则在区间[0，2π]上解的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选B.因为tan＝，
所以2x＋＝＋kπ(k∈Z)．
所以2x＝－＋kπ(k∈Z)，
所以x＝－＋(k∈Z)，
所以x＝或x＝或x＝或x＝，共4个．
4．使得等式2cos＝1成立的x的集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C.因为2cos＝1，
所以cos＝，所以＝±π＋2kπ，
所以x＝±π＋4kπ，k∈Z.
5．若tan α＝，且α∈，则α＝________．
解析：因为tan＝，又α∈，
所以α＝π＋＝.
答案：
6．已知sin x＝，且x∈[0，2π]，则x的取值集合为________．
解析：因为x∈[0，2π]，且sin x＝＞0，
所以x∈(0，π)，当x∈时，
y＝sin x递增且sin＝，
所以x＝，又sin＝sin＝，
所以x＝也符合题意．
所以x的取值集合为.
答案：
7．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝________．
解析：由已知A＝
＝，
B＝＝，
对于集合B，当k＝2m(m∈Z)时，x＝－＋2mπ，m∈Z；当k＝2m＋1(m∈Z)时，x＝＋2mπ，m∈Z.
所以A∩B＝.
答案：
8．已知sin α＝，根据下列所给范围求α.
(1)α为锐角；
(2)α为第二象限的角．
解：(1)因为sin α＝，且α为锐角，
即α∈，所以α＝.
(2)因为sin α＝，且α为第二象限的角，
所以在(0，2π)内满足条件的角为.
所以符合条件的所有角为α＝2kπ＋(k∈Z)．
9．已知sin ＝－，且α是第二象限角，求角α.
解：因为α是第二象限角，
所以是第一或第三象限角．
又因为sin ＝－＜0，所以是第三象限角．
又sin ＝－，所以＝2kπ＋π(k∈Z)，
所以α＝4kπ＋π(k∈Z)．
[B 能力提升]
10．若x∈，则使等式cos(πcos x)＝0成立的x的值是( )
A. B.或
C.或 D.或或
解析：选D.因为x∈，所以cos x∈[－1，1]，πcos x∈[－π，π]，又因为cos(πcos x)＝0，所以πcos x＝－或.所以cos x＝－或，又x∈，所以x＝或π－或π＋，即x＝或或.
11．若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0，2π)，则角α＝________．
解析：因为x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，所以2cos＝1，所以cos＝.因为α∈(0，2π)，所以α＋∈，所以α＋＝，所以α＝.
答案：
12．已知函数y＝f(x)＝2sin＋1.
(1)求函数y＝f(x)的最大值、最小值以及相应的x值；
(2)若x∈[0，2π]，求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)若y>2，求x的取值范围．
解：(1)当2x－＝2kπ＋，
即x＝kπ＋，k∈Z时，
函数y＝f(x)取得最大值为3；
当2x－＝2kπ－，
即x＝kπ－，k∈Z时，
函数y＝f(x)取得最小值为－1.
(2)令t＝2x－，则当2kπ－≤t≤2kπ＋，
即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
也即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
函数y＝2sin t＋1单调递增，
又x∈[0，2π]，
所以函数y＝f(x)的单调递增区间为
，，.
(3)因为y＝2sin(2x－)＋1>2，
所以sin(2x－)>，
从而2kπ＋<2x－<2kπ＋(k∈Z)，
所以kπ＋故满足条件的x的取值范围为kπ＋13．已知函数y＝sin2x＋sin x＋1，当y取最大值时角x为α，当y取最小值时角x为β，其中α，β∈，求sin(β－α)的值．
解：因为y＝＋，－1≤sin x≤1，
所以当sin α＝1时，ymax＝；
当sin β＝－时，ymin＝.
因为α，β∈，
所以α＝，cos β＝.
所以sin(β－α)＝sin ＝－cos β＝－.
