[A 基础达标]
1．函数y＝sin|x|的图像是( )
解析：选B.因为函数y＝sin|x|是偶函数，且x≥0时，sin|x|＝sin x．故应选B.
2．函数y＝9－sin x的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B.y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同．
3．点M在函数y＝sin x的图像上，则m等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：选B.把x＝代入y＝sin x得y＝sin ＝1，所以m＝1.
4．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°
B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°解析：选C.因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，而y＝sin x在[0°，90°]上递增，
所以sin 11°5．在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集是( )
A．(0，π) B.
C. D.
解析：选C.画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下：
因为sin ＝，
所以sin＝－，
sin＝－.
即在[0，2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝.
可知不等式sin x<－的解集是.
6．下列各点：M(0，0)，N，P，Q(π，－2)在函数y＝2sin x图像上的是________．
解析：将点的坐标代入可知符合条件的是点M与N.
答案：M，N
7．函数y＝sin2x＋sin x的值域是________．
解析：令sin x＝t，则－1≤t≤1，
则y＝t2＋t＝－.
由于－1≤t≤1，则－≤y≤2.
答案：
8．函数y＝log2(sin x)的定义域为________．
解析：据题意知sin x＞0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．
答案：(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)
9．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
解：因为f(x)的最小正周期是π，
所以f＝f＝f.
因为f(x)是R上的偶函数，
所以f＝f＝sin ＝，
所以f＝.
10．求函数y＝(sin x－1)2＋2的最大值和最小值，并说出取得最大值和最小值时相应的x的值．
解：设t＝sin x，则有y＝(t－1)2＋2，
且t∈[－1，1]，在闭区间[－1，1]上，
当t＝－1时，函数y＝(t－1)2＋2取得最大值(－1－1)2＋2＝6.
由t＝sin x＝－1，得x＝2kπ－(k∈Z)，
即当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝(sin x－1)2＋2取得最大值6.
在闭区间[－1，1]上，当t＝1时，
函数y＝(t－1)2＋2取得最小值，最小值为2.
由t＝sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，
即当x＝2kπ＋(k∈Z)时，
函数y＝(sin x－1)2＋2取得最小值2.
[B 能力提升]
11．下列函数中，奇函数的个数是( )
①y＝x2sin x；②y＝sin x，x∈[0，2π]；
③y＝sin x，x∈[－π，π]；④y＝xcos x.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.①因为x∈R，定义域关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2·sin(－x)＝－x2·sin x＝－f(x)，是奇函数．②因为x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，所以它是非奇非偶函数．③因为x∈[－π，π]，所以定义域关于原点对称，且f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)，是奇函数．④因为x∈R，定义域关于原点对称且f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－x·cos x＝－f(x)，是奇函数．综上应选C.
12．函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A．0 B.
C. D．π
解析：选C.当φ＝时，y＝sin＝cos 2x，而y＝cos 2x是偶函数，故选C.
13．若x是三角形的最小角，则y＝sin x的值域是________．
解析：由三角形内角和为π知，
若x为三角形中的最小角，
则0＜x≤，
由y＝sin x的图像知y∈.
答案：
14．已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解：令t＝sin x，t∈[－1，1]，则原函数可化为g(t)＝－t2＋t＋a＝－＋a＋.
当t＝时，g(t)max＝a＋，
即f(x)max＝a＋；
当t＝－1时，g(t)min＝a－2，
即f(x)min＝a－2.
故对于一切x∈R，
函数f(x)的值域为.
所以解得3≤a≤4.
[C 拓展探究]
15．在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图像，根据图像判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
解：建立平面直角坐标系xOy，
先画出函数y＝sin x的图像，
描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图像，如图所示．
由图像可知方程sin x＝lg x的解有3个．
7．3 三角函数的性质与图像
7．3.1 正弦函数的性质与图像
考点
学习目标
核心素养
正弦函数的性质
依据正弦线理解正弦函数的性质，会求正弦
函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值
直观想象、逻辑推理
正弦函数的图像
能正确使用“五点法”作出正弦函数的图像
直观想象
问题导学
预习教材P36－P41，并思考以下问题：
1．如何把y＝sin x，x∈[0，2π]的图像变换为y＝sin x，x∈R 的图像？
2．正弦函数图像五个关键点分别是什么？
3．周期函数是如何定义的？
1．正弦函数的性质
(1)函数的周期性
①周期函数：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．
②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
(2)正弦函数的性质
函数
y＝sin x
定义域
R
值域
[－1，1]
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期：2π
单调性
在(k∈Z)上递增；
在(k∈Z)上递减
最值
x＝2kπ＋，(k∈Z)时，y最大值＝1；
x＝2kπ－(k∈Z)时，y最小值＝－1
2.正弦函数的图像
(1)由于y＝sin x的周期是2π，所以正弦函数在[－π＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上的函数图像与其在[－π，π]上的函数图像形状完全相同，因此平移之后可得y＝sin x(x∈R)的图像．一般地，y＝sin x的函数图像称为正弦曲线．
(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为(kπ，0)(k∈Z)．
(3)“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]的图像时，所取的五点分别是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
■名师点拨
(1)由图(图略)可以看出，正弦函数的图像关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图像，点(π，0)，点(2π，0)，…，点(kπ，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图像有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，即图像与x轴的交点，正弦函数的图像还具有轴对称性，对称轴是x＝kπ＋，(k∈Z)，是过图像的最高点或最低点，且与x轴垂直的直线．
(2)“五点法”作图中的“五点”是指正弦、余弦函数的最高点、最低点以及图像与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数图像最常用的方法．
函数y＝xsin x是( )
A．奇函数，不是偶函数 B．偶函数，不是奇函数
C．奇函数，也是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选B.f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sin x)＝xsin x＝f(x)，所以y＝xsin x为偶函数，不是奇函数．
下列图像中，符合y＝－sin x在[0，2π]上的图像的是( )
解析：选D.把y＝sin x，x∈[0，2π]上的图像关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0，2π]上的图像，故选D.
点M在函数y＝sin x的图像上，则m等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：选C.由题意－m＝sin ，所以－m＝1，
所以m＝－1.
正弦函数的图像
用五点法作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
(3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．
【解】 按五个关键点列表
x
－π
－
0
π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1
描点连线得：
(1)由图像可知函数y＝1－2sin x在y＝1上方的部分y>1，在y＝1下方的部分y<1，
所以当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1所以a的取值范围是{a|1(3)由图像可知ymax＝3，
此时x＝－；ymin＝－1，此时x＝.
(1)解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0，，π，，2π，然后求出相应的y值，作出图像．
(2)五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
(3)仔细观察图像，找出函数图像y＝1与y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问题．
用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]上的图像．
解：取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
＋sin x
－
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
正弦函数的单调性及应用
比较下列各组数的大小．
(1)sin 194°和cos 160°；
(2)sin 和cos；
【解】 (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°.
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
因为0°<14°<70°<90°，
所以sin 14°从而－sin 14°>－sin 70°，
即sin 194°>cos 160°.
(2)因为cos＝sin，
又<<π<＋<π，
y＝sin x在上是减函数，
所以sin >sin＝cos，
即sin >cos.
(1)求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图像，同时注意三角函数的周期性．
(2)比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．
比较大小．
(1)sin 250°与sin 260°；
(2)sin与sin.
解析：(1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，
因为0°＜70°＜80°＜90°，
且函数y＝sin x，x∈是增函数，
所以sin 70°＜sin 80°，
所以－sin 70°＞－sin 80°，
即sin 250°＞sin 260°.
(2)sin＝－sin ＝－sin
＝－sin＝－sin ，
sin＝－sin ＝－sin .
因为0＜＜＜，
且函数y＝sin x，x∈是增函数，
所以sin ＜sin ，－sin>－sin，
即sin＜sin.
正弦函数的值域与最值问题
求函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域．
【解】 y＝1－2sin2x＋sin x，
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－2＋.
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图像可知－2≤y≤，
即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为.
(1)换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．
(2)转化成同一函数，要注意不要一见sin x就有－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定．
求函数y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈的最大值和最小值．
解：y＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3
＝2sin2x＋2sin x＋1＝2＋.
因为x∈，所以≤sin x≤1.
当sin x＝1时，ymax＝5；
当sin x＝时，ymin＝.
1．以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图像形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
解析：选B.观察y＝sin x图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B.
2．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
解析：选D.可以用特殊点来验证．当x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A，C；当x＝时，y＝－sin ＝1，排除B.
3．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是__________．
解析：因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，
所以－1≤2m＋1≤1，
解得－1≤m≤0.
答案：[－1，0]
4．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0，2π]上的简图．
解：列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y＝－2sin x
0
－2
0
2
0
描点、连线得y＝－2sin x的图像如图．
[A 基础达标]
1．函数y＝sin|x|的图像是( )
解析：选B.因为函数y＝sin|x|是偶函数，且x≥0时，sin|x|＝sin x．故应选B.
2．函数y＝9－sin x的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B.y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同．
3．点M在函数y＝sin x的图像上，则m等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：选B.把x＝代入y＝sin x得y＝sin ＝1，所以m＝1.
4．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°解析：选C.因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，而y＝sin x在[0°，90°]上递增，
所以sin 11°5．在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集是( )
A．(0，π) B.
C. D.
解析：选C.画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下：
因为sin ＝，
所以sin＝－，
sin＝－.
即在[0，2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝.
可知不等式sin x<－的解集是.
6．下列各点：M(0，0)，N，P，Q(π，－2)在函数y＝2sin x图像上的是________．
解析：将点的坐标代入可知符合条件的是点M与N.
答案：M，N
7．函数y＝sin2x＋sin x的值域是________．
解析：令sin x＝t，则－1≤t≤1，
则y＝t2＋t＝－.
由于－1≤t≤1，则－≤y≤2.
答案：
8．函数y＝log2(sin x)的定义域为________．
解析：据题意知sin x＞0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．
答案：(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)
9．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
解：因为f(x)的最小正周期是π，
所以f＝f＝f.
因为f(x)是R上的偶函数，
所以f＝f＝sin ＝，
所以f＝.
10．求函数y＝(sin x－1)2＋2的最大值和最小值，并说出取得最大值和最小值时相应的x的值．
解：设t＝sin x，则有y＝(t－1)2＋2，
且t∈[－1，1]，在闭区间[－1，1]上，
当t＝－1时，函数y＝(t－1)2＋2取得最大值(－1－1)2＋2＝6.
由t＝sin x＝－1，得x＝2kπ－(k∈Z)，
即当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝(sin x－1)2＋2取得最大值6.
在闭区间[－1，1]上，当t＝1时，
函数y＝(t－1)2＋2取得最小值，最小值为2.
由t＝sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，
即当x＝2kπ＋(k∈Z)时，
函数y＝(sin x－1)2＋2取得最小值2.
[B 能力提升]
11．下列函数中，奇函数的个数是( )
①y＝x2sin x；②y＝sin x，x∈[0，2π]；
③y＝sin x，x∈[－π，π]；④y＝xcos x.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.①因为x∈R，定义域关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2·sin(－x)＝－x2·sin x＝－f(x)，是奇函数．②因为x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，所以它是非奇非偶函数．③因为x∈[－π，π]，所以定义域关于原点对称，且f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)，是奇函数．④因为x∈R，定义域关于原点对称且f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－x·cos x＝－f(x)，是奇函数．综上应选C.
12．函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A．0 B.
C. D．π
解析：选C.当φ＝时，y＝sin＝cos 2x，而y＝cos 2x是偶函数，故选C.
13．若x是三角形的最小角，则y＝sin x的值域是________．
解析：由三角形内角和为π知，
若x为三角形中的最小角，
则0＜x≤，
由y＝sin x的图像知y∈.
答案：
14．已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解：令t＝sin x，t∈[－1，1]，则原函数可化为g(t)＝－t2＋t＋a＝－＋a＋.
当t＝时，g(t)max＝a＋，
即f(x)max＝a＋；
当t＝－1时，g(t)min＝a－2，
即f(x)min＝a－2.
故对于一切x∈R，
函数f(x)的值域为.
所以解得3≤a≤4.
[C 拓展探究]
15．在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图像，根据图像判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
解：建立平面直角坐标系xOy，
先画出函数y＝sin x的图像，
描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图像，如图所示．
由图像可知方程sin x＝lg x的解有3个．
课件31张PPT。第七章 三角函数第七章 三角函数非零常数T每一个所有周期中最小的正数最小的正数R[－1，1]奇1正弦曲线本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 