[A 基础达标]
1．将函数y＝sin 3x的图像向左平移个单位长度，所得函数的解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D.y＝sin 3x的图像向左平移个单位长度得y＝sin 3＝sin.故选D.
2．已知函数f(x)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝2cos
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
解析：选A.由图像知，A＝2，排除B项．
又＝－＝π，知T＝4π，
所以＝4π.
所以ω＝，排除D项．
把x＝0，y＝1代入A，C项中检验，知C项错误．
3．要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x 的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选D.因为y＝sin＝sin，故要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x 的图像向右平移个单位．
4．使函数y＝3sin(x∈[0，π])为增函数的区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.y＝3sin＝－3sin，求该函数的递增区间就是求y＝sin(x∈[0，π])的递减区间．
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因为x∈[0，π]，所以取k＝0.
所以≤x≤.
5．将函数f(x)＝sin的图像分别向左、向右平移φ个单位后，所得的图像都关于y轴对称，则φ的最小值分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选A.函数f(x)的图像向左平移φ个单位得到函数g(x)＝sin的图像，向右平移φ个单位得到函数h(x)＝sin的图像，于是，2φ＋＝＋kπ，k∈Z，－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，于是φ的最小值分别为，.故选A.
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图像如图所示，则φ＝________．
解析：由题意得＝2π－π，
所以T＝π，ω＝.
又由x＝π时，y＝－1得，－1＝sin，
－<π＋φ<π，
所以π＋φ＝π，
所以φ＝π.
答案：π
7．若g(x)＝2sin＋a在上的最大值与最小值之和为7，则a＝________．
解析：当0≤x≤时，≤2x＋≤，≤sin≤1，所以1＋a≤2sin＋a≤2＋a，由1＋a＋2＋a＝7，得a＝2.
答案：2
8．函数y＝sin 的单调递减区间是________．
解：令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
则＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.
答案：(k∈Z)
9．函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈(0，7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，最大值为3；当x＝6π时，最小值为－3.
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数的单调递增区间．
解：(1)由题意得A＝3，T＝5π，
所以T＝10π，所以ω＝＝，
则y＝3sin.
因为点(π，3)在此函数图像上，
则3sin＝3.
又因为0≤φ≤，
有φ＝－＝，
所以y＝3sin.
(2)当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ，k∈Z时，
函数y＝3sin单调递增．
所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ](k∈Z)．
10．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，
解得f(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；
由2x－＝kπ，k∈Z解得对称中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得单调递增区间是，k∈Z；
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
解得单调递减区间是，k∈Z.
(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤π，
所以当2x－＝－，
即x＝0时，f(x)取最小值为－1；
当2x－＝，
即x＝时，f(x)取最大值为2.
[B 能力提升]
11．将函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sinx D．y＝sin
解析：选D.函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin 的图像，再将此图像向左平移个单位，得y＝sin＝sin的图像，选D.
12．已知函数f(x)＝2sin(x＋φ)的部分图像如图所示，则
f的值是________．
解析：函数f(x)的周期为2π，由图像可知f＝f＝f＝2.
答案：2
13．将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________．
解析：将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，
即g(x)＝2sin＝2sin ωx.
由g(x)＝2sin ωx在上为增函数，知g(x)＝2sin ωx 在上为增函数，
根据正弦函数的性质知：2kπ－≤ωx≤2kπ＋，
即－≤x≤＋时，y＝g(x)为增函数，
故?，
所以≤，又ω>0，则0<ω≤2，
所以ω的最大值为2.
答案：2
14．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|<)的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
解：(1)因为图像最高点坐标为，
所以A＝5.
因为＝－＝，
所以T＝π.
所以ω＝＝2.
所以y＝5sin(2x＋φ)．
代入点，得sin＝1.
所以π＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，
所以y＝5sin.
(2)因为函数的增区间满足
2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)．
所以kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以增区间为(k∈Z)．
(3)因为5sin≤0，
所以2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
所以kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．
[C 拓展探究]
15．函数y＝f(x)的图像与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积．已知函数y＝ sin nx在上的面积为(n∈N＋)．
(1)求函数y＝sin 3x在上的面积；
(2)求函数y＝sin(3x－π)＋1在上的面积．
解：(1)y＝sin 3x在上的图像如图所示，
由函数y＝sin 3x在上的面积为，
所以在[0，π]上的面积为.
(2)结合(1)，由图可知阴影面积为S＝SABCD＋＝π＋.
7．3.2 正弦型函数的性质与图像
考点
学习目标
核心素养
正弦型函数的性质
了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数
对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等
数学抽象、逻辑推理
正弦型函数的图像
会用“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
直观想象
问题导学
预习教材P43－P49，并思考以下问题：
1．如何用 y＝sin x的图像变换为 y＝sin(x＋φ)(其中 φ≠0)的图像？
2．如何用 y＝sin x的图像变换为 y＝Asin x(A>0且 A≠1)的图像？
3．如何用 y＝sin x的图像变换为 y＝sin ωx(ω>0 且 ω≠1)的图像？
1．正弦型函数
(1)一般地，形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．
(2)一般地，正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的定义域为R，值域为[－|A|，|A|]，周期是，频率f＝，初相为，|A|称为振幅．
2．A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响
(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响
(3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响
■名师点拨
A，ω，φ对函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响
(1)A越大，函数图像的最大值越大，最大值与 A 是正比例关系．
(2)|ω|越大，函数图像的周期越小，|ω|越小，周期越大，周期与|ω|为反比例关系．
(3)φ> 0 时，函数图像向左平移，φ<0 时，函数图像向右平移，即“左加右减”．
函数y＝4sin＋1的最小正周期为( )
A. B．π C．2π D．4π
解析：选B.T＝＝π.
要得到y＝sin的图像，只要将y＝sin x的图像( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
解析：选B.将y＝sin x的图像向左平移个单位可得到y＝sin的图像．
已知函数y＝3sin，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是________，________，________．
解析：由函数y＝3sin的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝＝10π，初相为.
答案：10π 3
三角函数的图像变换
函数y＝2sin－2的图像是由函数y＝sin x 的图像通过怎样的变换得到的？
【解】 法一：y＝sin x
y＝sin 2x
y＝sin
y＝2sin
y＝2sin－2.
法二：y＝sin x
y＝sin
y＝sin
y＝2sin
y＝2sin－2.
三角函数图像平移变换问题的分类及解题策略
(1)确定函数y＝sin x的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言．
(2)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位．
为了得到函数y＝sin，x∈R的图像，只需把函数y＝sin x，x∈R的图像上所有的点：
①向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
②向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
③向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；
④向右平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．
其中正确的是________．
解析：y＝sin xy＝sin
y＝sin.
答案：③
求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，确定其函数解析式．
【解】 由题图，知A＝3，T＝π，
又图像过点A，
所以所求图像由y＝3sin 2x的图像向左平移个单位得到，
所以y＝3sin 2，即y＝3sin.
根据函数的部分图像求解析式的方法
(1)直接由图像确定振幅和周期，则可确定函数式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取最大值点的数据代入ωx＋φ＝2kπ＋，k∈Z，结合φ的范围求出φ.
(2)通过若干特殊点代入函数式，解方程组求相关待定系数A，ω，φ.
(3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asin ωx，再根据图像平移规律确定相关的参数．
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的部分函数图像如图所示，求此函数的解析式．
解：由题图可知，
A＝2，＝－＝1，所以T＝2，
所以T＝＝2，所以ω＝π，
所以y＝2sin(πx＋φ)．
代入得2sin＝2，
所以sin＝1，因为|φ|＜，
所以φ＝，所以y＝2sin.
正弦型函数的性质与图像的应用
用五点法作函数y＝2sin＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．
【解】 ①列表：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
y
3
5
3
1
3
②描点连线作出一周期的函数图像．
③把此图像左、右扩展即得y＝2sin＋3的图像．
由图像可知函数的定义域为R，值域为[1，5]，
周期为T＝＝2π，频率为f＝＝，初相为φ＝－，最大值为5，最小值为1.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得原函数的单调递增区间为
(k∈Z)．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得原函数的单调递减区间为
(k∈Z)．
令x－＝kπ＋(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋π(k∈Z)．
(1)用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图像，应先令ωx＋φ分别为0，，π，π，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图像．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的自变量x的范围．
设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解：(1)因为x＝是函数y＝f(x)的图像的对称轴，
所以sin(2×＋φ)＝±1，
所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
因为－π<φ<0，
所以φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，
因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
所以函数y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)．
1．函数y＝2sin的周期、振幅依次是( )
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
解析：选B.振幅为2，周期为＝4π.
2．要得到y＝3sin的图像，只需将y＝3sin 2x的图像( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
解析：选C.y＝3sin 2x的图像y＝3sin 2的图像，即y＝3sin的图像．
3．函数y＝2sin图像的一条对称轴是________．(填序号)
①x＝－；②x＝0；③x＝；④x＝－.
解析：由正弦函数的对称轴可知，
x＋＝kπ＋，k∈Z，
x＝kπ＋，k∈Z，
k＝0时，x＝.
答案：③
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像的一部分，试求该函数的解析式．
解：由图像可知A＝2，T＝4×(6－2)＝16，ω＝＝.
又x＝6时，×6＋φ＝0，
所以φ＝－，且|φ|<π.
所以所求函数的解析式为y＝2sin.
[A 基础达标]
1．将函数y＝sin 3x的图像向左平移个单位长度，所得函数的解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D.y＝sin 3x的图像向左平移个单位长度得y＝sin 3＝sin.故选D.
2．已知函数f(x)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝2cos
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
解析：选A.由图像知，A＝2，排除B项．
又＝－＝π，知T＝4π，
所以＝4π.
所以ω＝，排除D项．
把x＝0，y＝1代入A，C项中检验，知C项错误．
3．要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x 的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选D.因为y＝sin＝sin，故要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x 的图像向右平移个单位．
4．使函数y＝3sin(x∈[0，π])为增函数的区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.y＝3sin＝－3sin，求该函数的递增区间就是求y＝sin(x∈[0，π])的递减区间．
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因为x∈[0，π]，所以取k＝0.
所以≤x≤.
5．将函数f(x)＝sin的图像分别向左、向右平移φ个单位后，所得的图像都关于y轴对称，则φ的最小值分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选A.函数f(x)的图像向左平移φ个单位得到函数g(x)＝sin的图像，向右平移φ个单位得到函数h(x)＝sin的图像，于是，2φ＋＝＋kπ，k∈Z，－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，于是φ的最小值分别为，.故选A.
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图像如图所示，则φ＝________．
解析：由题意得＝2π－π，
所以T＝π，ω＝.
又由x＝π时，y＝－1得，－1＝sin，
－<π＋φ<π，
所以π＋φ＝π，
所以φ＝π.
答案：π
7．若g(x)＝2sin＋a在上的最大值与最小值之和为7，则a＝________．
解析：当0≤x≤时，≤2x＋≤，≤sin≤1，所以1＋a≤2sin＋a≤2＋a，由1＋a＋2＋a＝7，得a＝2.
答案：2
8．函数y＝sin 的单调递减区间是________．
解：令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
则＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.
答案：(k∈Z)
9．函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈(0，7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，最大值为3；当x＝6π时，最小值为－3.
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数的单调递增区间．
解：(1)由题意得A＝3，T＝5π，
所以T＝10π，所以ω＝＝，
则y＝3sin.
因为点(π，3)在此函数图像上，
则3sin＝3.
又因为0≤φ≤，
有φ＝－＝，
所以y＝3sin.
(2)当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ，k∈Z时，
函数y＝3sin单调递增．
所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ](k∈Z)．
10．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，
解得f(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；
由2x－＝kπ，k∈Z解得对称中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得单调递增区间是，k∈Z；
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
解得单调递减区间是，k∈Z.
(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤π，
所以当2x－＝－，
即x＝0时，f(x)取最小值为－1；
当2x－＝，
即x＝时，f(x)取最大值为2.
[B 能力提升]
11．将函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sinx D．y＝sin
解析：选D.函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin 的图像，再将此图像向左平移个单位，得y＝sin＝sin的图像，选D.
12．已知函数f(x)＝2sin(x＋φ)的部分图像如图所示，则
f的值是________．
解析：函数f(x)的周期为2π，由图像可知f＝f＝f＝2.
答案：2
13．将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________．
解析：将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，
即g(x)＝2sin＝2sin ωx.
由g(x)＝2sin ωx在上为增函数，知g(x)＝2sin ωx 在上为增函数，
根据正弦函数的性质知：2kπ－≤ωx≤2kπ＋，
即－≤x≤＋时，y＝g(x)为增函数，
故?，
所以≤，又ω>0，则0<ω≤2，
所以ω的最大值为2.
答案：2
14．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|<)的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
解：(1)因为图像最高点坐标为，
所以A＝5.
因为＝－＝，
所以T＝π.
所以ω＝＝2.
所以y＝5sin(2x＋φ)．
代入点，得sin＝1.
所以π＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，
所以y＝5sin.
(2)因为函数的增区间满足
2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)．
所以kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以增区间为(k∈Z)．
(3)因为5sin≤0，
所以2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
所以kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．
[C 拓展探究]
15．函数y＝f(x)的图像与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积．已知函数y＝ sin nx在上的面积为(n∈N＋)．
(1)求函数y＝sin 3x在上的面积；
(2)求函数y＝sin(3x－π)＋1在上的面积．
解：(1)y＝sin 3x在上的图像如图所示，
由函数y＝sin 3x在上的面积为，
所以在[0，π]上的面积为.
(2)结合(1)，由图可知阴影面积为S＝SABCD＋＝π＋.
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