8．2.4 三角恒等变换的应用
考点
学习目标
核心素养
半角公式的推导
了解半角公式及其推导过程
逻辑推理
积化和差与和差化积公式
能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式
逻辑推理
三角恒等变换
灵活运用和、差、倍角公式、积化和差与和差化积公式进行相关计算及化简、证明
逻辑推理、数学运算
问题导学
预习教材P99－P103，并思考以下问题：
1．如何用cos α表示sin2，cos2和tan2？
2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？
3．积化和差与和差化积公式如何使用？
4．常见的拆角、配角技巧有哪些？
1．半角公式
S：sin＝±__，
C：cos＝±__，
T：tan＝±__＝＝．
■名师点拨
(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．
(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求角所在范围，然后再根据角所在象限确定符号．
2．积化和差公式
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
3．和差化积公式
cos x＋cos y＝2cos__cos__；
cos x－cos y＝－2sin__sin__；
sin x＋sin y＝2sin__cos__；
sin x－sin y＝2cos__sin__．
■名师点拨
只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．
若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为( )
A. B.－
C. D.－
解析：选C.由题意知∈，所以cos >0，
cos＝＝.
下列各式与tan α相等的是( )
A. B.
C. D.
解析：选D. ＝＝＝|tan α|；
＝＝tan ；
＝＝；
＝＝tan α.
sincos化成和差的形式为( )
A.sin(α＋β)＋cos(α－β)
B.cos(α＋β)＋sin(α－β)
C.sin(α＋β)＋sin(α－β)
D.cos(α＋β)＋cos(α－β)
解析：选B.sincos
＝
＝
＝[cos(α＋β)＋sin(α－β)]
＝cos(α＋β)＋sin(α－β)．
所以选B.
应用半角公式求值
已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 的值．
【解】 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－，cos β＝.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.因为＜α＜π且0＜β＜，
所以0＜α－β＜π，即0＜＜.
所以cos ＝ ＝＝.
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2 ＝，cos2 ＝计算．
1．已知sin α＝－且π＜α＜，则sin ＝________．
解析：因为sin α＝－，π＜α＜，
所以cos α＝－.又＜＜，
所以sin ＝＝＝.
答案：
2．已知cos 2θ＝－，<θ<π，求tan的值．
解：因为cos 2θ＝－，<θ<π，由半角公式得
sin θ＝＝＝，
cos θ＝－＝－＝－，
所以tan＝＝＝.
积化和差、和差化积问题
(1)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°；
(2)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值．
【解】 (1)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°
＝cos 10°cos 50°cos 70°
＝
＝cos 70°＋cos 40°cos 70°
＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°)
＝cos 70°＋cos 110°＋＝.
(2)因为cos α－cos β＝，
所以－2sinsin＝.①
又因为sin α－sin β＝－，
所以2cossin＝－.②
因为sin≠0，
所以由①②，得－tan＝－，
即tan＝.
所以sin(α＋β)＝
＝＝＝.
积化和差、和差化积公式应用时的注意事项
(1)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．
(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项．
求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值．
解：原式＝＋＋(sin 70°－sin 30°)
＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋sin 70°－
＝＋(－2sin 70°sin 30°)＋sin 70°
＝－sin 70°＋sin 70°＝.
三角恒等变换与三角函数图像性质的综合应用
已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【解】 (1)f(x)＝4cos ωx·sin
＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋
＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，
即0≤x≤时，函数f(x)单调递增；
当<2x＋≤，
即
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
三角恒等变换与三角函数图像性
质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质．
已知函数f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2 x＋1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝－sin 2x－cos 2x＋3sin 2x－cos 2x
＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，
由于x∈，所以2x－∈，
则sin∈.
所以f(x)在上的最大值为2，最小值为－2.
1．下列等式正确的是( )
A．sin x＋sin y＝2sin sin
B．sin x－sin y＝2cos cos
C．cos x＋cos y＝2cos cos
D．cos x－cos y＝2sin sin
解析：选C.由和差化积公式知C正确．
2．已知sin α－cos α＝－，则sin 2α的值等于( )
A． B．－
C．－ D．
解析：选C.由sin α－cos α＝－，
得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，
所以sin 2α＝－.
3．sin 37.5°cos 7.5°＝________．
解析：sin 37.5°cos 7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝(sin 45°＋sin 30°)
＝×＝.
答案：
4．求证下列各恒等式：
(1)＝；
(2)＝.
证明：(1)＝
＝－＝－
＝.
(2)
＝
＝.
[A 基础达标]
1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.因为cos α＝2cos2－1，
所以cos2＝.
又因为180°<α<360°，
所以90°<<180°，
所以cos ＝－.
2．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A．a>b>c B．aC．a解析：选C.由题可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a3．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选C.因为cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)
＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β，
所以cos2α－sin2β＝.
4．已知cos α＝，α∈，则sin ＝( )
A．－ B. C. D．－
解析：选B.因为cos α＝，
所以sin2＝＝.
又α∈，
所以∈，
所以sin >0，sin ＝.
5．给出下列关系式：
①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；
②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；
③sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ；
④sin θ sin α＝[cos (θ－α)－cos (θ＋α)]．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B.①错，右边应是2sin 4θcos θ；②错，右边应是2sin 4θsin θ；③错，右边应是－2cos 4θsin θ；④正确，公式的变形．
6．若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sin θ－24＝0，则cos ＝________．
解析：由25sin2θ＋sin θ－24＝0，
又θ是第二象限角，
得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去)．
故cos θ＝－＝－，
由cos2 ＝得cos2 ＝.
又是第一、三象限角，所以cos ＝±.
答案：±
7．计算：－＝________．
解析：原式＝
＝＝＝4.
答案：4
8．函数y＝sin 2x＋sin2x，x∈R的值域是________．
解析：y＝sin 2x＋
＝＋
＝sin＋.
显然ymin＝－，ymax＝＋.
故函数的值域是.
答案：
9．已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
10．设函数f(x)＝2cos2ωx＋sin＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值；
(2)设f(x)在区间上的最小值为，求a的值．
解：f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx－cos 2ωx＋a
＝sin＋a＋1.
(1)由2ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)，
得ωx＝kπ＋(k∈Z)．又ω>0，
所以当k＝0时，f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝＝，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋a＋1，
由≤x≤，得≤2x≤，≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，即x＝时，
f(x)取得最小值为＋a＋1.
由＋a＋1＝，
得a＝－.
[B 能力提升]
11．若α是第三象限角且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan 等于( )
A．－5 B．－ C. D．5
解析：选A.sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝sin [(α＋β)－β]＝sin α＝－.
因为α是第三象限角，所以cos α＝－，
所以tan ＝＝＝＝＝－5.
12．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选D.因为α，β∈(0，π)，
所以sin α＋sin β＞0，
所以cos β－cos α＞0，
所以cos β＞cos α，又在(0，π)上，y＝cos x是减函数，
所以β＜α，0＜α－β＜π，由原式可知：
2sincos＝，
所以tan＝，所以＝，所以α－β＝.
13．若θ为锐角，sin θ∶sin ＝8∶5，则tan 2θ＝________．
解析：由已知得，cos ＝，sin ＝，
sin θ＝2sin cos ＝，
cos θ＝2cos2－1＝，tan θ＝，
tan 2θ＝＝－.
答案：－
14．已知函数f(x)＝2cos2 ，g(x)＝.
(1)求证：f＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
解：(1)证明：f(x)＝2cos2 ＝1＋cos x，
g(x)＝
＝1＋2sin cos
＝1＋sin x，
因为f＝1＋cos＝1＋sin x，
所以f＝g(x)，命题得证．
(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos x－sin x
＝＝cos，
因为x∈[0，π]，所以≤x＋≤，
当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)单调递减，
当π所以函数h(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为，
根据函数h(x)的单调性，
可知当x＝时，函数h(x)取到最小值．
[C 拓展探究]
15．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
解：如图所示．因为AB为半圆的直径，
所以∠APB＝，又AB＝1，
所以PA＝cos α，PB＝sin α.
又PT切半圆于P点，
所以∠TPB＝∠PAB＝α，
所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·PB·sin α
＝sin αcos α＋sin2α
＝sin 2α＋(1－cos 2α)
＝sin＋.
因为0＜α＜，
所以－＜2α－＜，
所以当2α－＝，
即α＝时，
S四边形ABTP取得最大值＋.
课件39张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换第八章 向量的数量积与三角恒等变换本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
[A 基础达标]
1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.因为cos α＝2cos2－1，
所以cos2＝.
又因为180°<α<360°，
所以90°<<180°，
所以cos ＝－.
2．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A．a>b>c B．aC．a解析：选C.由题可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a3．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选C.因为cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)
＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β，
所以cos2α－sin2β＝.
4．已知cos α＝，α∈，则sin ＝( )
A．－ B. C. D．－
解析：选B.因为cos α＝，
所以sin2＝＝.
又α∈，
所以∈，
所以sin >0，sin ＝.
5．给出下列关系式：
①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；
②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；
③sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ；
④sin θ sin α＝[cos (θ－α)－cos (θ＋α)]．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B.①错，右边应是2sin 4θcos θ；②错，右边应是2sin 4θsin θ；③错，右边应是－2cos 4θsin θ；④正确，公式的变形．
6．若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sin θ－24＝0，则cos ＝________．
解析：由25sin2θ＋sin θ－24＝0，
又θ是第二象限角，
得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去)．
故cos θ＝－＝－，
由cos2 ＝得cos2 ＝.
又是第一、三象限角，所以cos ＝±.
答案：±
7．计算：－＝________．
解析：原式＝
＝＝＝4.
答案：4
8．函数y＝sin 2x＋sin2x，x∈R的值域是________．
解析：y＝sin 2x＋
＝＋
＝sin＋.
显然ymin＝－，ymax＝＋.
故函数的值域是.
答案：
9．已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
10．设函数f(x)＝2cos2ωx＋sin＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值；
(2)设f(x)在区间上的最小值为，求a的值．
解：f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx－cos 2ωx＋a
＝sin＋a＋1.
(1)由2ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)，
得ωx＝kπ＋(k∈Z)．又ω>0，
所以当k＝0时，f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝＝，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋a＋1，
由≤x≤，得≤2x≤，≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，即x＝时，
f(x)取得最小值为＋a＋1.
由＋a＋1＝，
得a＝－.
[B 能力提升]
11．若α是第三象限角且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan 等于( )
A．－5 B．－ C. D．5
解析：选A.sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝sin [(α＋β)－β]＝sin α＝－.
因为α是第三象限角，所以cos α＝－，
所以tan ＝＝＝＝＝－5.
12．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选D.因为α，β∈(0，π)，
所以sin α＋sin β＞0，
所以cos β－cos α＞0，
所以cos β＞cos α，又在(0，π)上，y＝cos x是减函数，
所以β＜α，0＜α－β＜π，由原式可知：
2sincos＝，
所以tan＝，所以＝，所以α－β＝.
13．若θ为锐角，sin θ∶sin ＝8∶5，则tan 2θ＝________．
解析：由已知得，cos ＝，sin ＝，
sin θ＝2sin cos ＝，
cos θ＝2cos2－1＝，tan θ＝，
tan 2θ＝＝－.
答案：－
14．已知函数f(x)＝2cos2 ，g(x)＝.
(1)求证：f＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
解：(1)证明：f(x)＝2cos2 ＝1＋cos x，
g(x)＝
＝1＋2sin cos
＝1＋sin x，
因为f＝1＋cos＝1＋sin x，
所以f＝g(x)，命题得证．
(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos x－sin x
＝＝cos，
因为x∈[0，π]，所以≤x＋≤，
当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)单调递减，
当π所以函数h(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为，
根据函数h(x)的单调性，
可知当x＝时，函数h(x)取到最小值．
[C 拓展探究]
15．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
解：如图所示．因为AB为半圆的直径，
所以∠APB＝，又AB＝1，
所以PA＝cos α，PB＝sin α.
又PT切半圆于P点，
所以∠TPB＝∠PAB＝α，
所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·PB·sin α
＝sin αcos α＋sin2α
＝sin 2α＋(1－cos 2α)
＝sin＋.
因为0＜α＜，
所以－＜2α－＜，
所以当2α－＝，
即α＝时，
S四边形ABTP取得最大值＋.
