8．2 三角恒等变换
8．2.1 两角和与差的余弦
考点
学习目标
核心素养
两角差的余弦公式
能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用
数学抽象、逻辑推理
两角和的余弦公式
能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式
逻辑推理
和差角余弦公式应用
能利用两角和与差的余弦公式化简、求值
数学运算
问题导学
预习教材P87－P89，并思考以下问题：
1．两角差的余弦公式是什么？
2．公式中的α、β是任意的吗？
两角和与差的余弦公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角差
的余弦
cos(α－β)＝cos__α·cos__β＋sin__αsin__β
Cα－β
α，β∈R
两角和
的余弦
cos(α＋β)＝cos__α·cos__β－sin__αsin__β
Cα＋β
α，β∈R
■名师点拨
由Cα－β、Cα＋β可知，只要知道cos α，cos β，sin α，sin β的值，就可以求得cos(α－β)，cos(α＋β)的值．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( )
(2)对于任意α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．( )
答案：(1)√ (2)×
cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.原式＝cos(22°＋38°)＝cos 60°＝.
化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为( )
A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β)
C．cos α D．cos β
解析：选C.原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.
cos(－40°)cos 20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________．
解析：原式＝cos(－40°)·cos(－20°)－sin(－40°)·sin(－20°)＝cos[－40°＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
答案：
利用两角和与差的余弦公式化简求值
(1)cos 345°的值等于( )
A. B.
C. D．－
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°＝______．
【解析】 (1)cos 345°＝cos(360°－15°)
＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝.
(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.
【答案】 (1)C (2)
(1)在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．
(2)在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：
①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
求下列各式的值：
(1)cos ；
(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；
(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．
解：(1)cos ＝cos＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝－.
(2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°
＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80°
＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)
＝－cos 60°＝－.
(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)
＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)]
＝cos 60°＝.
给值(式)求值
(1)已知cos α＝，α∈，则cos(α－)＝________．
(2)若α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，则cos α的值为________．
【解析】 (1)因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝－，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝×＋×＝.
(2)因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.
又因为cos(α＋β)＝，所以0<α＋β<，所以0<2α＋β<π.
又因为cos(2α＋β)＝，所以0<2α＋β<，
所以sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，
所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)
＝×＋×＝.
【答案】 (1) (2)
给值求值的解题步骤
(1)找角的差异．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异．
(2)拆角与凑角．根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
(3)求解．结合公式Cα±β求解便可．
已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos β的值．
解：因为α，β∈，
所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又因为β＝(α＋β)－α，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
已知三角函数值求角
已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
【解】 因为α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝，
所以sin α＝，sin β＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×
＝.
又sin α
所以0<α<β<，
所以－<α－β<0.
故α－β＝－.
(1)这类问题的求解，关键环节有两点：
①求出所求角的某种三角函数值；
②确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，即可求解．
(2)确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．
已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，0<α<β<π，求α－β的值．
解：因为(sin α＋sin β)2＝，(cos α＋cos β)2＝，
以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1，
所以cos(α－β)＝－.
因为0<α<β<π，所以－π<α－β<0，所以α－β＝－.
1．下列式子中，正确的个数为( )
①cos(α－β)＝cos α－cos β；
②cos＝sin α；
③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选A.由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos＝－sin α，故②错误，故选A.
2．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.故选A.
3．sin 75°＝________．
解析：sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
答案：
4．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解：因为α，β都是锐角且cos α＝<，
所以sin α＝＝.
又sin(α＋β)＝所以<α＋β<π，
所以cos(α＋β)＝－＝－，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
[A 基础达标]
1．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝.
2．在△ABC中，若sin Asin BA．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：选D.因为sin Asin B所以cos Acos B－sin Asin B>0，
即cos(A＋B)>0，所以cos C＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)<0，
所以角C为钝角，
所以△ABC一定为钝角三角形．
3．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b＝( )
A. B.
C. D．－
解析：选A.a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
4．sin 44°cos 14°－sin 46°cos 76°的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为44°＋46°＝90°，14°＋76°＝90°，
所以原式＝cos 46°cos 14°－sin 46°sin 14°
＝cos(46°＋14°)＝cos 60°＝.
5．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos α·cos β＝( )
A．1 B．－1
C. D．0
解析：选D.由题意得：
两式相加得cos α·cos β＝0，故选D.
6．已知sin θ＝－，且θ∈，那么cos＝________．
解析：因为θ∈，且sin θ＝－，
所以cos θ＝－＝－，
所以cos＝cos θcos ＋sin θsin
＝－×＋×＝－.
答案：－
7．已知cos＝－，则cos x＋cos＝____________．
解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x
＝cos x＋sin x＝cos＝×＝－1.
答案：－1
8．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos(A－B)＝________．
解析：因为cos B＝－，且0所以所以sin B＝ ＝ ＝，且0所以cos A＝＝ ＝，
所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B
＝×＋×＝－.
答案：－
9.如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，求cos(α－β)的值．
解：因为A点的纵坐标为，点B的横坐标为，
所以sin α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，
所以cos α＝，sin β＝.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
10．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈.求角β的值．
解：由α－β∈且cos(α－β)＝－，得
sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，得sin(α＋β)＝－.
cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又因为α－β∈，α＋β∈，
所以2β∈.
所以2β＝π，则β＝.
[B 能力提升]
11．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B.
C. D．－
解析：选D.由已知得(sin α＋sin β)2＝，①
(cos α＋cos β)2＝，②
①＋②得2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝－，
即cos(α－β)＝－.
12．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
由cos α＝得sin α＝，
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
所以β＝.
13．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝________．
解析：因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，所以＝＝＝，
所以tan αtan β＝.
答案：
14．已知2tan α·sin α＝3，－＜α＜0，求cos的值．
解：由2tan α·sin α＝3，
得2··sin α＝3，所以sin2α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos α＋cos2α＝1.所以2cos2α＋3cos α－2＝0.
所以cos α＝或cos α＝－2(舍去)．
因为－＜α＜0，所以sin α＝－.
所以cos＝cos αcos＋sin αsin
＝×－×＝0.
[C 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值；
(3)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)因为T＝＝10π，
所以ω＝.
(2)f
＝2cos
＝2cos＝－2sin α＝－，
所以sin α＝.
f＝2cos
＝2cos β＝，
所以cos β＝，因为α，β∈，
所以cos α＝＝，
sin β＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
(3)f(x)＝2cos，
由2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z，
得10kπ－≤x≤10kπ－，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
