8．2.2 两角和与差的正弦、正切
考点
学习目标
核心素养
两角和与差的正弦、正切公式
理解两角和与差的正弦、正切公式的推导过程
逻辑推理
两角和与差的正弦、正切公式的应用
能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决求值、化简等问题
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P90－P95，并思考以下问题：
1．两角和与差的正弦公式是什么？
2．两角和与差的正切公式是什么？
1．两角和与差的正弦
(1)两角和与差的正弦公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和的正弦
sin(α＋β)＝sin__α·cos__β＋cos__αsin__β
Sα＋β
α，β∈R
两角差的正弦
sin(α－β)＝sin__α·cos__β－cos__αsin__β
Sα－β
α，β∈R
(2)辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(a，b不同时为0)，其中cos φ＝，sin φ＝ .
2．两角和与差的正切
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和的正切
tan(α＋β)＝
Tα＋β
α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z，且tan α·tan β≠1
两角差的正切
tan(α－β)＝
Tα－β
α，β，α－β≠kπ＋，k∈Z，且tan α·tan β≠－1
■名师点拨
公式的记忆方法
(1)理顺公式间的联系．
Cα＋βCα－βSα－βSα＋β.
(2)注意公式的结构特征和符号规律．
对于公式Cα＋β，Cα－β，可记为“同名相乘，符号反”．
对于公式Sα＋β，Sα－β，可记为“异名相乘，符号同”．
(3)两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( )
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )
(4)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )
(5)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
已知tan α＝2，则tan＝( )
A．－3 B．3
C．－4 D．4
答案：A
设α∈，若sin α＝，则2sin等于( )
A. B.
C. D.
答案：A
已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－，则sin(α＋β)＝________．
解析：因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.
又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cos β＝－，
所以cos β＝，sin β＝－.
所以sin(α＋β)＝×＋×＝0.
答案：0
利用公式化简、求值
求下列各式的值：
(1)sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°；
(2)tan 15°；
(3).
【解】 (1)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°
＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.
(2)tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝＝2－.
(3)＝
＝
＝tan(30°－75°)
＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.
(1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
①化为特殊角的三角函数值；
②化为正负相消的项，消去，求值；
③化为分子、分母形式，进行约分再求值．
(2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．
(3)公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
化简、求值：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α－β)；
(3)；
(4)tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°.
解：(1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos cos x－sin sin x＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x
＝sin x＋cos x＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝－.
(3)原式＝
＝
＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.
(4)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－tan 36°tan 84°
＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－tan 36°tan 84°
＝tan 120°＝－.
给值(式)求值
设α∈，β∈，若cos α＝－，sin β＝－，求sin(α＋β)的值．
【解】 因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝，因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
[变条件]若将角β改为第三象限角，其他条件不变，则结果如何？
解：因为α∈，cos α＝－，
所以sin α＝.
因为β为第三象限角，sin β＝－，
所以cos β＝－.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＋＝0.
(1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．
提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．
1．已知α∈，sin α＝，则tan ＝____________．
解析：因为sin α＝，且α∈，所以cos α＝－，
所以tan α＝＝＝－，
故tan＝＝＝.
答案：
2．如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．
解：由题图可知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，
所以tan(α＋β)＝＝＝1.
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
辅助角公式的应用
设函数f(x)＝sin x＋sin.
(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变化得到．
【解】 (1)f(x)＝sin x＋sin xcos ＋cos xsin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x
＝＝sin，
当sin＝－1时，f(x)min＝－，
此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z)．
所以f(x)的最小值为－，x的集合为
.
(2)将y＝sin x的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得y＝sin x的图像；
然后将y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)＝sin的图像.
[变结论]例题中的条件不变，试求函数f(x)的单调区间．
解：由本例解析知函数可化为f(x)＝sin，
当2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)为增函数；
当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)为减函数．
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
辅助角公式及其应用
(1)公式形式：公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x<.
(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)或Acos(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．
解：(1)f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x
＝2＝2sin.
(2)因为0≤x<，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
所以当x＝时，f(x)有最大值2.
1．(2019·北京清华附中月考)若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β) 等于( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：选C.tan(α－β)＝＝＝.
2．函数y＝sin＋sin的最小值为( )
A. B．－2
C．－ D.
解析：选C.因为y＝sin＋sin
＝sin 2xcos＋cos 2xsin＋sin 2xcos－cos 2xsin＝sin 2x，
所以所求函数的最小值为－.
3．若cos α＝－，α∈，则cos＝________．
解析：因为cos α＝－，α∈，
所以sin α＝
＝ ＝，
所以cos＝cos αcos －sin αsin
＝－×－×
＝－.
答案：－
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan.
解：tan＝tan
＝＝＝.
[A 基础达标]
1．下面各式中，不正确的是( )
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
解析：选D.因为sin＝，所以A正确；因为cos＝－cos＝－cos，所以B正确；cos＝
cos，所以C正确；
因为cos＝cos≠cos－cos，所以D不正确．
2．已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C.因为角α的终边经过点(－3，4)，则sin α＝，cos α＝－，所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝×－×＝.
3．已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝( )
A．－4 B．4
C．－ D.
解析：选C.因为cos＝2cos(π－α)，
所以－sin α＝－2cos α?tan α＝2，
所以tan＝＝－.
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A.tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.
5．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：选B.由题意得sin A＝，sin B＝，所以cos C＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝－＝－＝－<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．
6．cos 105°＋sin 195°的值为________．
解析：cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°)
＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
＝2
＝.
答案：
7．已知cos＝sin，则tan α＝________．
解析：cos＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α，sin＝sin αcos －cos αsin ＝sin α－cos α，所以sin α＝cos α，故tan α＝1.
答案：1
8．已知tan α＝，tan(β－α)＝－2，且<β<π，求β.
解：tan β＝tan[α＋(β－α)]
＝＝＝－1.
又因为<β<π，所以β＝.
9．已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求sin α.
解：因为α∈，β∈，
所以α－β∈(0，π)．因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝.
因为β∈，sin β＝－，
所以cos β＝.
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
[B 能力提升]
10．下列四个式子中是恒等式的为( )
A．sin(α＋β)＝sin α＋sin β
B．cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C．tan(α－β)＝
D．sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β
解析：选D.sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，故A错误；
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，故B错误；
tan(α－β)＝，故C错误；
sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin α·cos β－cos αsin β)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(sin2αcos2β＋sin2αsin2β)－(sin2αsin2β＋cos2αsin2β)＝sin2α－sin2β，故D正确．
11.＝________．
解析：原式＝＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－.
答案：2－
12．已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
解：(1)f＝cos
＝cos＝1.
(2)因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－＝－，
所以f＝cos
＝
＝××＋××＝－.
13．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为cos α＝，且α∈，
所以sin α＝，
因为α，β∈，
所以－＜α－β＜，
所以cos(α－β)＝＝，
所以cos(2α－β)＝cos[(α－β)＋α]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，
所以β＝.
[C 拓展探究]
14．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．
解：tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝＝－，而0°
tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝＝＝，而0°所以B＝180°－120°－30°＝30°.
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
课件42张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换第八章 向量的数量积与三角恒等变换√√×√×本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1．下面各式中，不正确的是( )
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
解析：选D.因为sin＝，所以A正确；因为cos＝－cos＝－cos，所以B正确；cos＝
cos，所以C正确；
因为cos＝cos≠cos－cos，所以D不正确．
2．已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C.因为角α的终边经过点(－3，4)，则sin α＝，cos α＝－，所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝×－×＝.
3．已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝( )
A．－4 B．4
C．－ D.
解析：选C.因为cos＝2cos(π－α)，
所以－sin α＝－2cos α?tan α＝2，
所以tan＝＝－.
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A.tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.
5．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：选B.由题意得sin A＝，sin B＝，所以cos C＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝－＝－＝－<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．
6．cos 105°＋sin 195°的值为________．
解析：cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°)
＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
＝2
＝.
答案：
7．已知cos＝sin，则tan α＝________．
解析：cos＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α，sin＝sin αcos －cos αsin ＝sin α－cos α，所以sin α＝cos α，故tan α＝1.
答案：1
8．已知tan α＝，tan(β－α)＝－2，且<β<π，求β.
解：tan β＝tan[α＋(β－α)]
＝＝＝－1.
又因为<β<π，所以β＝.
9．已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求sin α.
解：因为α∈，β∈，
所以α－β∈(0，π)．因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝.
因为β∈，sin β＝－，
所以cos β＝.
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
[B 能力提升]
10．下列四个式子中是恒等式的为( )
A．sin(α＋β)＝sin α＋sin β
B．cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C．tan(α－β)＝
D．sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β
解析：选D.sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，故A错误；
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，故B错误；
tan(α－β)＝，故C错误；
sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin α·cos β－cos αsin β)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(sin2αcos2β＋sin2αsin2β)－(sin2αsin2β＋cos2αsin2β)＝sin2α－sin2β，故D正确．
11.＝________．
解析：原式＝＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－.
答案：2－
12．已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
解：(1)f＝cos
＝cos＝1.
(2)因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－＝－，
所以f＝cos
＝
＝××＋××＝－.
13．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为cos α＝，且α∈，
所以sin α＝，
因为α，β∈，
所以－＜α－β＜，
所以cos(α－β)＝＝，
所以cos(2α－β)＝cos[(α－β)＋α]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，
所以β＝.
[C 拓展探究]
14．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．
解：tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝＝－，而0°tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝＝＝，而0°所以B＝180°－120°－30°＝30°.
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
