8．2.3 倍角公式
考点
学习目标
核心素养
二倍角的正弦、余弦、正切公式
会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式
逻辑推理
二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用
能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P96－P98，并思考以下问题：
1．在公式Cα＋β，Sα＋β和Tα＋β中，若α＝β，公式还成立吗？
2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么结论？
倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin__αcos__α .
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α .
T2α：tan 2α＝．
■名师点拨
正确理解二倍角公式
(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的2倍，α是的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)10α是5α的倍角，5α是的倍角．( )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(4)对于任意角α，总有tan 2α＝.( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A. B.
C. D.
答案：B
已知tan α＝，则tan 2α＝________．
答案：－
利用二倍角公式化简、求值
化简求值．
(1)cos4 －sin4 ；
(2)sin·cos ·cos ；
(3)1－2sin2750°；
(4)tan 150°＋.
【解】 (1)cos4 －sin4
＝＝cos α.
(2)原式＝cos
＝sin cos ＝
＝sin ＝.
(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝.
(4)原式＝
＝＝
＝＝
＝－＝－.
二倍角公式的灵活运用
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.
(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：
1±sin 2α＝sin2 α＋cos2 α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2 α，cos2 α＝，sin2 α＝.
求下列各式的值：
(1)sincos ；
(2)2sin2＋1；
(3)cos 20°cos 40°cos 80°.
解：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝－＋2＝2－cos ＝.
(3)原式＝
＝
＝＝＝.
利用二倍角公式解决条件求值问题
(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )
A．2 B．－2
C． D．－
(2)已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈.
①求sin 2α的值；
②求cos(2α＋β)的值．
【解】 (1)选D.因为sin α＝3cos α，
所以tan α＝3，
所以tan 2α＝＝＝－.
(2)①因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝.
②因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝－＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－×＝－.
直接应用二倍角公式求值的三种类型
(1)sin α(或cos α)cos α(或sin α)sin 2α(或cos 2α)．
(2)sin α(或cos α)cos 2α＝1－2sin2α(或2cos2α－1)．
(3)sin α(或cos α)
tan αtan 2α.
1．已知α∈，sin α＝，则sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________．
解析：因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，tan 2α＝＝－.
答案：－ －
2．已知sinsin＝，且α∈，求tan 4α 的值．
解：因为sin＝sin＝cos，
则已知条件可化为sincos＝，
即sin＝，
所以sin＝，
所以cos 2α＝.因为α∈，所以2α∈(π，2π)，
从而sin 2α＝－＝－，
所以tan 2α＝＝－2，
故tan 4α＝＝－＝.
二倍角公式的综合应用
求证：＝sin 2α.
【证明】 法一：左边＝＝
＝＝
＝sincoscos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．
所以原式成立．
法二：左边＝＝cos2α·＝
cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．
证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
1．求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.
证明：左边＝－
＝
＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边，所以等式成立．
2．求函数y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间．
解：y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋2sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝2
＝2sin，
所以T＝＝π，ymin＝－2.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
又x∈[0，π]，
所以令k＝0，
得函数的单调递减区间为.
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.通解：依题意得4sin αcos α＝2cos2α，由α∈，知cos α>0，所以2sin α＝cos α.又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝.又α∈，所以sin α＝，选B.
优解：依题意得＝，
即tan α＝，
所以sin α＝
＝＝，选B.
2.的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.原式＝cos2－sin2＝cos ＝.
3．已知tan α＝－，则＝________．
解析：＝
＝＝tan α－＝－.
答案：－
4．求下列各式的值：
(1)coscos ；
(2)－cos2.
解：(1)原式＝
＝＝＝＝.
(2)原式＝
＝－
＝－cos＝－.
[A 基础达标]
1．若sin α－cos α＝，则sin 2α等于( )
A．2 B.
C．1 D．－1
解析：选D.因为sin α－cos α＝，
所以(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1.
2.·等于( )
A．tan α B．tan 2α
C．1 D.
解析：选B.原式＝·＝＝tan 2α.
3．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为θ∈，所以2θ∈.
所以cos 2θ＝－＝－，
所以sin θ＝＝.
4．若sin x·tan x<0，则等于( )
A.cos x B．－cos x
C.sin x D．－sin x
解析：选B.因为sin x·tan x<0，
所以x为第二、三象限角，所以cos x<0，
所以＝＝|cos x|＝－cos x.
5．已知＝，则sin 2x＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A.因为＝，
所以＝，
所以cos x＋sin x＝，
所以1＋sin 2x＝，
所以sin 2x＝－.
6．已知sin＝，则sin 2x的值等于________．
解析：法一：因为sin＝，
所以cos＝1－2sin2＝1－2×＝，
所以sin 2x＝cos＝.
法二：由sin＝，
得(sin x－cos x)＝－，
所以sin x－cos x＝－，两边平方得
1－sin 2x＝，所以sin 2x＝.
答案：
7．已知sin 2α＝，α∈，则cos α－sin α＝________．
解析：因为α∈，所以sin α>cos α即cos α－sin α<0，又sin 2α＝，则有cos α－sin α＝－＝
－＝－＝－.
答案：－
8．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
解析：因为2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，
所以1＋sin＝Asin(ωx＋φ)＋b，所以A＝，b＝1.
答案： 1
9．化简.
解：原式＝
＝＝＝＝1.
10．(1)已知sin α＋cos α＝，求cos 2α，tan 2α的值；
(2)已知sin sin ＝，求sin 2α的值．
解：(1)因为(sin α＋cos α)2＝，所以1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝sin 2α＝－，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
又<α<π，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α＝，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝×＝－，
所以tan 2α＝＝＝.
(2)因为sin＝sin＝cos.
所以sinsin＝sincos
＝sin ＝sin ＝cos 2α＝，所以cos 2α＝.
又因为0<α<，所以0<2α<π，所以sin 2α＝.
[B 能力提升]
11．已知tan x＝2，则tan等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：选C.tan
＝tan＝
＝＝－
＝－＝＝.
12．已知θ∈，＋＝2，则sin＝________．
解析：＋＝2?＝2
?sin θ＋cos θ＝2sin θcos θ?1＋sin 2θ＝2sin22θ，
因为θ∈，所以2θ∈(π，2π)，
所以sin 2θ＝－，所以sin θ＋cos θ<0，
所以θ∈，所以2θ∈，
所以cos 2θ＝，所以sin＝sin 2θcos＋sincos 2θ＝.
答案：
13．已知cos＝，≤α＜，求cos(2α＋)的值．
解：因为≤α＜，所以≤α＋＜.
因为cos>0，所以<α＋<.
所以sin＝－
＝－＝－.
所以cos 2α＝sin
＝2sincos
＝2××＝－，
sin 2α＝－cos
＝1－2cos2
＝1－2×＝.
所以cos＝cos 2α－sin 2α
＝×＝－.
14．已知sin －2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin －2cos ＝0，
知cos ≠0，所以tan ＝2，
所以tan x＝＝＝－.
(2)由(1)知tan x＝－，
所以
＝
＝
＝
＝×
＝×＝.
[C 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝＋.
(1)化简f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)若f(α)＝8，求cos 2α；
(3)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)因为
f(x)＝＋
＝＋＝，
所以最小正周期T＝2π.
(2)因为f(α)＝8，所以sin α＝，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝.
(3)设u＝sin x，因为函数y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，
所以要求f(x)的单调递增区间，即求u＝sin x(x≠kπ，且x≠－＋2kπ，k∈Z)的单调递减区间，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)和(k∈Z)．
课件38张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换第八章 向量的数量积与三角恒等变换√×√×本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
[A 基础达标]
1．若sin α－cos α＝，则sin 2α等于( )
A．2 B.
C．1 D．－1
解析：选D.因为sin α－cos α＝，
所以(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1.
2.·等于( )
A．tan α B．tan 2α
C．1 D.
解析：选B.原式＝·＝＝tan 2α.
3．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为θ∈，所以2θ∈.
所以cos 2θ＝－＝－，
所以sin θ＝＝.
4．若sin x·tan x<0，则等于( )
A.cos x B．－cos x
C.sin x D．－sin x
解析：选B.因为sin x·tan x<0，
所以x为第二、三象限角，所以cos x<0，
所以＝＝|cos x|＝－cos x.
5．已知＝，则sin 2x＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A.因为＝，
所以＝，
所以cos x＋sin x＝，
所以1＋sin 2x＝，
所以sin 2x＝－.
6．已知sin＝，则sin 2x的值等于________．
解析：法一：因为sin＝，
所以cos＝1－2sin2＝1－2×＝，
所以sin 2x＝cos＝.
法二：由sin＝，
得(sin x－cos x)＝－，
所以sin x－cos x＝－，两边平方得
1－sin 2x＝，所以sin 2x＝.
答案：
7．已知sin 2α＝，α∈，则cos α－sin α＝________．
解析：因为α∈，所以sin α>cos α即cos α－sin α<0，又sin 2α＝，则有cos α－sin α＝－＝
－＝－＝－.
答案：－
8．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
解析：因为2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，
所以1＋sin＝Asin(ωx＋φ)＋b，所以A＝，b＝1.
答案： 1
9．化简.
解：原式＝
＝＝＝＝1.
10．(1)已知sin α＋cos α＝，求cos 2α，tan 2α的值；
(2)已知sin sin ＝，求sin 2α的值．
解：(1)因为(sin α＋cos α)2＝，所以1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝sin 2α＝－，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
又<α<π，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α＝，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝×＝－，
所以tan 2α＝＝＝.
(2)因为sin＝sin＝cos.
所以sinsin＝sincos
＝sin ＝sin ＝cos 2α＝，所以cos 2α＝.
又因为0<α<，所以0<2α<π，所以sin 2α＝.
[B 能力提升]
11．已知tan x＝2，则tan等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：选C.tan
＝tan＝
＝＝－
＝－＝＝.
12．已知θ∈，＋＝2，则sin＝________．
解析：＋＝2?＝2
?sin θ＋cos θ＝2sin θcos θ?1＋sin 2θ＝2sin22θ，
因为θ∈，所以2θ∈(π，2π)，
所以sin 2θ＝－，所以sin θ＋cos θ<0，
所以θ∈，所以2θ∈，
所以cos 2θ＝，所以sin＝sin 2θcos＋sincos 2θ＝.
答案：
13．已知cos＝，≤α＜，求cos(2α＋)的值．
解：因为≤α＜，所以≤α＋＜.
因为cos>0，所以<α＋<.
所以sin＝－
＝－＝－.
所以cos 2α＝sin
＝2sincos
＝2××＝－，
sin 2α＝－cos
＝1－2cos2
＝1－2×＝.
所以cos＝cos 2α－sin 2α
＝×＝－.
14．已知sin －2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin －2cos ＝0，
知cos ≠0，所以tan ＝2，
所以tan x＝＝＝－.
(2)由(1)知tan x＝－，
所以
＝
＝
＝
＝×
＝×＝.
[C 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝＋.
(1)化简f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)若f(α)＝8，求cos 2α；
(3)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)因为
f(x)＝＋
＝＋＝，
所以最小正周期T＝2π.
(2)因为f(α)＝8，所以sin α＝，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝.
(3)设u＝sin x，因为函数y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，
所以要求f(x)的单调递增区间，即求u＝sin x(x≠kπ，且x≠－＋2kπ，k∈Z)的单调递减区间，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)和(k∈Z)．
